2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级(上)期中数学试卷(解析版)

卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列线段长能构成三角形的是（ ） A．3、7、5

B．2、3、5

C．5、6、11

D．1、2、4

2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．房屋顶支撑架 C．拉闸门

B．自行车三脚架

D．木门上钉一根木条

4．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A．五边形

B．六边形

C．七边形

D．八边形

5．如图所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠B的度数是（ ）

A．33° B．47° C．53° D．100°

6．AD是△ABC的角平分线，AC＝3：2， 已知：如图，且AB：则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）

A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：9

7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（ ）

A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm

8．如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：

（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）； （2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）

A．60° B．67.5° C．72° D．75°

9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝20°，则∠CDE＝（ ）

A．10° B．15° C．20° D．30°

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．点P（1，3）关于y轴对称点的坐标为 ．

12．已知△ABC中的∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ．

13．小华要从长度分别为5cm，6cm，11cm，16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为 cm．

14．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 （填上适当的一个条件即可）

15．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ ．

16．AD是高，AE平分∠BAC， 在△ABC中，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，则∠EAD的度数为 ．三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

18．（8分）已知等腰三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．

19．（8分）如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向．求∠C的度数．

20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）． （1）请在图中作出△ABC关于直线x＝﹣1的轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标； （2）求四边形ABED的面积．

21．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证： （1）∠EAD＝∠EDA； （2）DF∥AC； （3）∠EAC＝∠B．

22．（10分）如图，∠ECF＝90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，

（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）

（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．

23．（10分）在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP＝AQ．

（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ． （3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA＝ 时，AQ＝2BD．

24．（12分）如图1，A（m，0），B（0，n），且m，n满足（m﹣2）2+（1）求S△ABO；

＝0．

（2）点C为y轴负半轴上一点，BD⊥CA交CA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAO，求 的值；

（3）点E为y轴负半轴上一点，OH⊥AE于H，HO，AB的延长线交于点F，G为y轴正半轴上一点，且BG＝OE，FG，EA的延长线交于点P，求证：点P的纵坐标是定值．

2018-2019学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级（上）期

中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列线段长能构成三角形的是（ ） A．3、7、5

B．2、3、5

C．5、6、11

D．1、2、4

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：A、3+5＞7，能构成三角形，故此选项符合题意； B、3+2＝5，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、5+6＝11，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、1+2＜4，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：A．

【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．

2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形， 故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．房屋顶支撑架 C．拉闸门

B．自行车三脚架

D．木门上钉一根木条

【分析】利用三角形的稳定性进行解答．

【解答】解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性， 故选：C．

【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．

4．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A．五边形

B．六边形

C．七边形

D．八边形

【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值． 【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°＝2×360， 解得：n＝6．

故这个多边形是六边形． 故选：B．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

5．如图所示，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠B的度数是（ ）

A．33° B．47° C．53° D．100°

【分析】由全等三角形的对应角相等可得∠C＝∠F＝47°，再利用三角形内角和定理可求得∠B的度数．

【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F＝47°，

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣100°﹣47°＝33°， 故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．

6．AD是△ABC的角平分线，AC＝3：2， 已知：如图，且AB：则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）

A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：9

【分析】过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE＝DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，把DE＝DF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DE＝DF，又AB：AC＝3：2，

∴S△ABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝AB：AC＝3：2． 故选：A．

【点评】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题． 7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为（ ）

A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，故CE+BE＝AB，再由△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB即可得出结论．

【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，

∴AE＝CE，

∴CE+BE＝AB＝10cm． ∵BC＝8cm，

∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB＝8+10＝18（cm）． 故选：D．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

8．如图，将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：

（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）； （2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ）

A．60° B．67.5° C．72° D．75°

【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，可利用角度的关系求解． 【解答】解：第一次折叠后，∠EAD＝45°，∠AEC＝135°； 第二次折叠后，∠AEF＝67.5°，∠FAE＝45°； 故由三角形内角和定理知，∠AFE＝67.5度． 故选：B．

【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．

关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．

9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝20°，则∠CDE＝（ ）

A．10° B．15° C．20° D．30°

【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+22°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根据∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出结论． 【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+20°， ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+20°﹣∠EDC， 解得∠EDC＝10°． 故选：A．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确． 【解答】解：∵BF∥AC， ∴∠C＝∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确， 在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确； ∵AE＝2BF，

∴AC＝3BF，故④正确． 故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．点P（1，3）关于y轴对称点的坐标为 （﹣1，3） ． 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【解答】解：点P（1，3）关于y轴对称点的坐标为：（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．

12．已知△ABC中的∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，则∠A＝ 50° ，∠B＝ 60° ，∠C＝ 70° ．

【分析】设：∠A＝x°，则：∠B＝10°+x°，∠C＝20°+x°，根据三角形内角和等于180度即可求解．

【解答】解：设：∠A＝x°，则：∠B＝10°+x°，∠C＝20°+x°， 而∠B+∠A+∠C＝180°，解得：x＝50， 故：答案是50°，60°，70°．

【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题．

13．小华要从长度分别为5cm，6cm，11cm，16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为 33 cm．

【分析】根据题意得出四根小木棒选出三根的所有等可能的情况，找出能构成三角形的情况，即可求出答案．

【解答】解：根据题意得：四根小木棒选出三根的情况有：5cm，6cm，11cm；5cm，6cm，16cm；5cm，11cm，16cm；6cm，11cm，16cm，共4种情况，其中构成三角形的情况有：6cm，11cm，16cm，1种情况，

则他选的三根木棒形成的三角形的周长为：33cm． 故答案为：33．

【点评】此题考查了三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．

14．如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 BC＝BD （填上适当的一个条件即可）

【分析】求出∠ABC＝∠ABD，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 【解答】解：BC＝BD，

理由是：∵∠CBE＝∠DBE，∠CBE+∠ABC＝180°，∠DBE+∠ABD＝180°， ∴∠ABC＝∠ABD， 在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD， 故答案为：BC＝BD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，主要考查学生的推理能力．

15．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ 1.5 ．

【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案． 【解答】解：连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE， ∴AE＝AF，

∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE＝CF，

∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE， ∵AB＝6，AC＝3， ∴BE＝1.5． 故答案为：1.5．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

16．AD是高，AE平分∠BAC，在△ABC中，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，则∠EAD的度数为 20°或40° ．

【分析】分∠C为锐角或钝角两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE；②当∠C为钝角时，如下图所示，∠EAD＝∠DAC+∠EAC，分别求解即可． 【解答】解：①当∠C为锐角时，如下图所示，

∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°， AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝×80°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°， 故：答案是20°．

②当∠C为钝角时，如下图所示，

∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝20°，

则：∠EAD＝∠DAC+∠EAC＝40°， 故：答案为20°或40°．

【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF，从而得出AB＝CD． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF， ∴AB＝CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质证出∠B＝∠C．

18．（8分）已知等腰三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．

【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析．

【解答】解：若底边为5，设腰长为x， 则5+2x＝22， 解得x＝8.5，

若腰为5，设底边为xcm， 则2×5+x＝22， 解得x＝12， ∵5+5＜12， ∴不合题意．

所以等腰三角形另外两边长分别为8.5和8.5．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

19．（8分）如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向．求∠C的度数．

【分析】本题可通过平行线的性质，三角形的内角和等知识点进行计算． 【解答】解：过A沿南向做射线AD交BC于D， 由题意∠BAD＝57°，∠CAD＝15°，∠EBC＝82°， ∵AD∥BE，

∴∠EBA＝∠BAD＝57°． ∴∠ABC＝∠EBC﹣∠EBA＝25°． △ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝72°， ∴∠C＝180°﹣25°﹣72°＝83°． 即：∠C的度数为83°．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和等知识点．要注意的是方向角的问题：南北方向与东西方向垂直，同一方向平行，难度适中．

20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）． （1）请在图中作出△ABC关于直线x＝﹣1的轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标； （2）求四边形ABED的面积．

【分析】（1）先找出对称轴，再从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，

顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标；

（2）从图中可以看出四边形ABED是一个梯形，根据梯形的面积公式计算． 【解答】解：（1）

D（﹣4，3）；E（﹣5，1）；F（0，﹣2）；（5分）

（2）AD＝6，BE＝8，

∴S四边形ABED＝（AD+BE）•2＝AD+BE＝14．（8分） 【点评】本题的关键是找出各点的对应点，然后顺次连接．

21．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证： （1）∠EAD＝∠EDA； （2）DF∥AC； （3）∠EAC＝∠B．

【分析】（1）由AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，根据线段垂直平分线的性质，易得AE＝DE，又由等边对等角的性质，证得∠EAD＝∠EDA；

（2）由AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，可得AF＝DF，又由AD是∠BAC平分线，易得∠FDA＝∠CAD，即可判定DF∥AC；

（3）由三角形外角的性质，可得∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，又由∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，即可证得结论． 【解答】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE＝DE， ∴∠EAD＝∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分线， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵AD是∠BAC平分线， ∴∠FAD＝∠CAD， ∴∠FDA＝∠CAD， ∴DF∥AC；

（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

22．（10分）如图，∠ECF＝90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，

（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）

（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．

【分析】（1）根据角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理整理即可得出答案； （2）根据（1）中结论即可推理得出答案． 【解答】解：（1）∠C＝2∠D 即：∠D＝45°， ∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB， ∴∠EAB＝2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，

∵∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠BAC+∠ABC＝90°，即180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，

整理得出∠GAB﹣∠DBA＝45°， ∴∠D＝∠C＝45°；

（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立，∵∠CAB+∠ABC＝∠C＝90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的， 整理这个式子：∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，得：180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得∠GAB﹣∠DBA＝45度，恒定不变，即：∠D＝45°的结论不变， ∴∠C＝2∠D恒成立．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理，比较综合，难度较大．23．（10分）在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．

（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP＝AQ．

（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ． （3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA＝ 22.5° 时，AQ＝2BD．

【分析】（1）首先根据内角和定理得出∠DAP＝∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；（2）首先证明△AQC≌△BPC（ASA），进而得出PC＝CQ，利用等腰三角形的性质得出即可； （3）首先证明∠P＝∠Q，进而得出△ACQ≌△BCP（ASA），即可得出BP＝AQ，求出即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∠APD＝∠BPC，

∴∠DAP＝∠CBP， 在△ACQ和△BCP中

，

∴△ACQ≌△BCP（ASA）， ∴BP＝AQ；

（2）解：如图2所示：

∵∠ACQ＝∠BDQ＝90°，∠AQC＝∠BQD， ∴∠CAQ＝∠DBQ， 在△AQC和△BPC中

，

∴△AQC≌△BPC（ASA）， ∴QC＝CP， ∵∠QCD＝90°， ∴∠CQP＝∠CPQ＝45°；

（3）解：当∠DBA＝22.5°时，AQ＝2BD； ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠P＝22.5°， ∴∠DBA＝∠P， ∴AP＝AB， ∵AD⊥BP， ∴AD＝DP，

∵∠ACQ＝∠ADP＝90°，∠PAD＝∠QAC， ∴∠P＝∠Q， 在△ACQ和△BCP中

，

∴△ACQ≌△BCP（ASA）， ∴BP＝AQ，

∴此时AQ＝BP＝2BD． 故答案为：22.5°．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理等知识，根据题意得出全等三角形是解题关键．

24．（12分）如图1，A（m，0），B（0，n），且m，n满足（m﹣2）2+（1）求S△ABO；

（2）点C为y轴负半轴上一点，BD⊥CA交CA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAO，求

的值；

＝0．

（3）点E为y轴负半轴上一点，OH⊥AE于H，HO，AB的延长线交于点F，G为y轴正半轴上一点，且BG＝OE，FG，EA的延长线交于点P，求证：点P的纵坐标是定值．

【分析】（1）利用非负性得出m，n值，即可得出点A，B坐标，最后用三角形的面积公式即可； （2）先求出先求出OC，进而得出22.5°的正切值，再求出AC的平方，再求出BD的平方即可； （3）设出点E坐标，用待定系数法和直线交点坐标即可确定出点P坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（m﹣2）2+

＝0．

∴m＝n＝2，

∴A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∴S△AOB＝OA×OB＝2；

（2）如图1，在OC上取一点E，使OE＝OA＝2，

由（1）知，OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°， ∴AE＝2

，

∵∠BAD＝∠CAO， ∴∠BAD＝∠CAO＝67.5°， ∵∠ADB＝∠AOC＝90°， ∴∠ABD＝∠ACO＝22.5°， ∴CE＝AE＝2

，

+1），

+1）2＝8（2+

），tan∠ACO＝

＝

＝

﹣1，

∴OC＝OE+CE＝2（

∴AC2＝OA2+OC2＝4+4（

在Rt△ABD中，tan∠ABD＝tan22.5°＝tan∠ACO＝∴AD＝（

﹣1）BD，

﹣1，

在Rt△AOB中，OA＝OB＝2， ∴AB＝2

，

根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2， ∴[（

﹣1）BD]2+BD2＝8，

∴BD2＝2（2+

），＝＝，

∴

＝；

（3）如图2，

由（1）知，A（2，0），B（0，2）， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+2①， 设E（0，a）， ∴OE＝|a|＝﹣a， ∵BG＝OE， ∴BG＝﹣a， ∴OG＝2﹣a， ∴G（0，2﹣a）， ∵A（0，2），E（0，a）， ∴直线AE解析式为y＝﹣x+a②， ∵OH⊥AE，

∴直线OH解析式为y＝x③， 联立①③得，x＝∴F（

，

，y＝

，

），

∵G（0，2﹣a），

∴直线FG的解析式为y＝x+2﹣a④，

联立②④得，x＝∴P（

，1），

，y＝1，

∴点P的纵坐标是定值，定值为1．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的特征，三角形的面积公式，待定系数法，直线交点的确定方法，解本题的关键是用待定系数法确定直线解析式和确定直线的交点坐标，是一道比较简单，但计算量大的常考试题．