2021年上海市金山区初三数学一模试卷

初三数学试卷

（满分150分，考试时间100分钟）（2021．1）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.已知二次函数yx21，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）

2（A）直线x2； （B）直线x2； （C）直线x1； （D）直线x1. 2.下列各点在抛物线y2x上的是（ ）

24； （C）2,8； （D）2,16. （A）2,2； （B）2，3.在RtABC中，C90，那么锐角A的正弦等于（ ） （A）

锐角A的对边锐角A的对边锐角A的邻边锐角A的邻边；（B）；（C）；（D）.

锐角A的邻边斜边斜边锐角A的对边4.若是锐角，sin152，那么锐角等于（ ） 2（A）15； （B）30； （C）45； （D）60.

5.如图，已知点D、E分别在ABC的边AB、AC上，DE//BC，AD2，BD3，

BCa，那么ED等于（ ）

（A）

2222a； （B）a； （C）a； （D）a. 33556.如图，已知RtABC中，C90，AC3，BC4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ） （A）0r

B C C

第6题图

121212； （B）r3； （C）r4； （D）3r4. 555A

B D E 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】

1

第5题图

A

7.计算：a23ab ． 228.已知fxx3x，那么f2 ．

9.抛物线y2x沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 10.正十边形的中心角等于 度．

11.已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于 ．

12.在RtABC中，C90，AB15，sinA24，那么BC ． 513.在ABC中，AB:AC:BC1:2:5，那么tanB ．

14.已知：如图，ABC的中线AE与BD交于点G，DF//AE交BC于F，那么

DF ． AG15.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC2AD，设ABa，ADb，那么向量CD用向量a、b表示为 ．

16.如图，已知⊙O中，AOB120，弦AB18，那么⊙O的半径长等于 ．

A

O D G

B A C B E F C B 第15题图 第14题图 第16题图

17.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE2BE，ABC的面积等于15，那么FEC的面积等于 ．

18.已知在RtABC中，C90，BC1，AC2，以点C为直角顶点的RtDCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tanCED那么BD的长等于 ．

B

2

A D 1，CEGE，2A

E F

C

A D

第17题图

B

第18题图

C

三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）

如图，已知在RtABC中，C90，AC3，BC4.

A

求：tanBsinA1cosBtanA的值. 24tan30C

第19题图

20. （本题满分10分，每小题满分5分）

B

已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B.

（1）求证：O1A//O2B；

（2）若O1A2，O2B3,AB7，求AT的长.

21. （本题满分10分，每小题满分5分）

已知抛物线y2xbxc经过点A0,1、B1,5.

2A

O1 T O2 B

第20题图

（1）求抛物线的表达式；

（2）把表达式化成y2xmk的形式，并写出顶点坐标与对称轴.

2

22. （本题满分10分，每小题满分5分）

如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i1:3，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡

G

顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）.

（1）求山坡的高度；

（2）求铁塔的高度GH.（结果保留根号）

A B H

第22题图 23. （本题满分12分，每小题满分6分）

已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且MANABD. A （1）求证：ABBFDE；

2BEDN（2）若，求证：EF//MN. DEDC

3

B

M E F N C D

第23题图

24. （本题满分12分，每小题满分4分） 在平面直角坐标系xoy中，直线y31x2与直线yx3相交于点A，抛物线42yyaxbx1(a0)经过点A.

（1）求点A的坐标；

（2）若抛物线yaxbx1向上平移两个单位后，

22经过点1,2，求抛物线yaxbx1的表达式；

2xO（3）若抛物线yaxbxca0与yaxbx1关于x轴 22对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P与点P，当SOPP3时， 求抛物线yaxbx1的表达式.

2第24题图

25. （本题满分14分，第(1)分4分，第(2)分6分，第(3)分4分）

1O. 2已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DC交射

3线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tanOAC.

4(1)求弦AC的长.

(2)当点E在线段OA上时，若DOE与AEC相似，求DCA的正切值. (3)当OE1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）.

定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，A

A

O D B

A C

E O O C A 第25题备用图

C 第25题图1

第25题图2

4

参和评分标准

一．选择题： 1．A； 2．C； 3．B； 4．B； 5．D； 6．C．

二．填空题： 7．4a2b； 8．2； 9．上升；10．36；11．1；12．12；13．2； 14．

3；15．ab；16．63；17．4；18．25． 419.解：在RtABC中，C90，AC3，BC4，由勾股定理得，AB2AC2BC2， ∴AB∴tanBAC2BC232425；……………………………………（2分）

AC3BC4BC4BC4 ；sinA；cosB；tanA……（4分）

BC4AB5AB5AC3∴原式3441455433432；……………………（2分）

491.………………（2分） 5520.（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，……（1分） ∴O1O2经过点T；………………………………………（1分）

∵O1AO1T,O2BO2T；∴AO1TA,BO2TB；……………………（1分） ∵O1TAO2TB； ∴AB；……………（1分） ∴O1A//O2B.……………………（1分） （2）∵O1A//O2B ∴

AO1AT；……………………………（2分） BO2BT∵O1A2，O2B3,AB7； ∴

22AT14，解得：AT.……………（3分） 37AT521．解：（1）由抛物线y2xbxc经过点A0,1、B1,5两点可得：

5

c1b4………………（2分）解得：；…………………（2分） 2bc5c1∴抛物线的解析式为：y2x4x1.……………………（1分） （2）y2x4x12x13；……………（3分）

222∴y2x13，顶点坐标为：1,3，对称轴为：直线x1.……………（1+1分）

222．解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D.……………（1分） 即ADB90；

由题意得：i1:3，AB60（米）； ∴

AD1，即BD3AD；………（1分） BD3又∵ABADBD，即402AD2∴AD20（米）.……………（1分）

2223AD……………（1分）

2答：山坡的高度为20米.…………………（1分） （2）作AE//BH交GH于点E.………………（1分） ∵ADBH，GHBH；∴AD//GH； 即：四边形ADHE是平行四边形；

由题意可知：GAE30，BH60（米）；

∵BD3AD203（米）； ∴AEDH60203（米）；……………（1分） 在RtAGE中，tanGAE又∵EHAD20（米）；

∴GHGEEH40203（米）；……………（1分）

GE； ∴GE20203（米）.……………（1分） AE（40203）答：铁塔的高度GH为米.……………（1分）

23．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形； ∴ABAD；……………（1分） ∴ABDADB；……………（1分）

∵AEDABDBAE,BAFMANBAE； 又∵MANABD；

6

∴AEDBAF；……………（1分） ∴AED∽FAB；……………（1分） ∴

ADDE，即ADABBFDE；……………（1分） BFAB∴AB2BFDE.……………（1分） （2）∵四边形ABCD是菱形；

∴ADBC，AD//BC；……………（1分）

BEBMBEDN；……………（2分） ∵； DEADDEDCBMDNBMDN∴，……………（1分）∴；……………（1分） ADDCBCDC∴

∴MN//BD，即EF//MN.……………（1分） 24．解：（1）∵直线y31x2与直线yx3相交于点A， 423yx2x44∴，解得：；……………（3分）

y1y1x321.……………（1分） ∴点A的坐标为4，1， （2）∵抛物线yaxbx1(a0)经过点A4，2∴16a4b11即b4a……………（1分） ∴yax4ax1

∴平移后的抛物线的表达式是yax4ax1；……………（1分） ∴2a4a1，解得：a1………………（1分）

∴抛物线yaxbx1的表达式是：yx4x1.……………（1分） （3）∵yax4ax1

22222ax24a1

24a1……………（1分） ∴P2，4y2321–4–3–2–1∵抛物线yaxbxca0与yax4ax12P'1234 7

O–1–2–3–4DxP关于x轴对称，

4a1……………（1分） ∴P2，∵a0，∴a0； ∴PP8a2；

1ODPP； 211∴28a23，解得：a.………（1分） 28112∴抛物线yaxbx1的表达式是yx2x1.………………（1分）

82又∵OD2，SOPP25．（1）解：作OHAC垂足为点H，OH过圆心，

1AC；……………………………（1分） 2OH3∵在RtOAH中tanOAC，设OH3x,AH4x，……………（1分）

AH4由垂径定理得：AHCH3x4x52，∴在RtOAH中，可得：由⊙O的半径为5可得： OH2AH2OA2，

22解得：x1，（x1舍去）∴OH3,AH4,………………………（1分） ∴AC2AH8.………………………（1分） (2)∵DEOAEC，

∴当DOE与AEC相似时可得：DOEA或者DOEACD； 由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：ACD1 DOE，

2∴ACDDOE

∴当DOE与AEC相似时不存在DOEACD情况.………………………（1分） ∴当DOE与AEC相似时，DOEA，

ODOE；……………（1分） ACAE55AE40∵ODOA5,AC8，得,∴AE；…………………（1分）

8AE13∴OD//AC，∴

作EGAC垂足为G，可得：AGEAHO90,∴GE//OH，

40AEEGAG13EGAG∴即, AOOHAH53424∴EG，……………（1分）

13323272，CG8,…………（1分） AG131313

8

D E A O G H C 24EG131∴在RtCEG中，tanDCA.…………………………（1分）

72CG31318（3）当OE1时，AD的长是25或145.……………………………（2+2分）

29

9