《高等数学》第二章.导数和微分的习试题库完整

第二章 导数与微分

一、判断题

1. f'(x0)f(x0)' ,其中x0是函数f(x)定义域内的一个点。 （ ） 2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。

（ ）

3. 因为f(x)x在x0处连续，所以f(x)在x0处可导。 （ ）

4. 因为f(x)x在x0处的左、右导数都存在，所以f(x)在x0处可导。（ ） 5. f(x)在x0处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 6. 若曲线yf(x)在x0处存在切线，则f'(x0)必存在。

（ ） （ ）

7. 若f(x)在点x0处可导，则曲线f(x)在点x0处切线的斜率为fx0。（ ）

sinxsinxcosxtanxcotx。 8. cosxcosxsinx （ ）

sinxcosxcosxsinxsinx9. tanxsec2x。 2cosxcosx（ ）

10. 若f(x)，g(x)在x处均可导，则f(x)g(x)f(x)g(x)。 （ ）

'x)'(sinx)cosx。 11. 设f(x)sinxcosx，f'(x)(sinx).(cos（ ）

exex'12. 设f(x)2，则f(x)。

x2x （ ）

1y'13. 由参数方程eyxy0的两边求导得eyxxy'0，于是y(ey)。（ ）

x14. ex(n)ex。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

15. (cosx)3sinx。

16. (sinx)3cosx。

(n)17. (cosx)cos(xn)。

2(n)(n)18. 由(sinx)sin(xn)得(sin2x)sin(2xn)。

2219. ln(1x)43!1xn。

20. yf(x)在x0处可导的充要条件是yf(x)在x0处可微。 （ ）

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'21. 函数yf(x)在x0处可微，且f(x0)0，则当x0时y与dy是的等价无穷小。

（ ）

二、选择题

1. 当函数f(x)的自变量x由x0改变到x0x时，函数值的改变量y（ ）

fx0x) A.（'x0x) B.f（fx0x)f(x0) C.（D.f(x0)x

（ ）

2. 设f(x)在xx0处可导,则f'(x0)=

（fx0x)f(x0)

x0x（fx0)f(x02x)C.lim x02x

A.lim

（fx0h)f(x0h)

h02h（fx)f(0)D.lim x0xB.lim3. 函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的

A.必要但非充分条件

C.充分必要条件

（ ）

B.充分但非必要条件 D.既非充分又必要条件

23x,x14. 若f(x)3则f(x)在x1处

2x,x1A.左、右导数都存在

C. 右导数存在，但左导数不存在

（ ）

B. 左导数存在，但右导数不存在 D. 左、右导数都不存在

5. 曲线ylnx在哪一点处的切线平行于直线y2x3

1A.(,ln2)

2（ ）

11B.(,ln)

22h0 C.(2,ln2) D.(2,ln2)

6. 设函数f(x)在x0处可导，则limf(2h)f(3h)=

h（ ）

A.f'(0) B.f'(0) C.5f'(0) D.2f'(0)

f2(xx)f2(x)7. 设f(x)可导，则lim

x0x （ ）

A.0 B.2f(x) C. 2f'(x) D.2f(x)f'(x)

fx）=(x-a)(x),其中(x)在xa连续，则 8. 设（'x）=(x) A.f（ （ ）

'a）=(a) B.f（'a）='(a) C.f（ 'x）=(x)(xa)'(x) D.f（'x）=4x3x,f(1)1，则该函数为 9. 若对于任意x，有f（（ ）

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x2fx）=x A.（24

x25fx）=x B.（224fx）=12x21 C.（fx）=x4x23 D.（10. 曲线y=x33x上切线平行于x轴的点是

（ ）

A.(0,0) B. (2,2) C. (1,2) D. (2,2) 11. 已知f(x)为可导的偶函数，且limx0切线方程是

f(1x)f(1)2则曲线yf(x)在处(1,2)的

2x （ ）

A.y4x6 B.y4x2 C.y4x6

1dy12. 设yxsinx，则

2dx1A.1cosy

2

D.y4x2 D.

（ ）

C.

1B.1cosx

22

2cosy2

2cosx13. 若f(x)(xa)(xb)(xc)(xd)，f'(x0)(ab)(ac)(ad)，则（ ）

A.x0a

B.x0b

dx dy

Ｃ.x0c

D.x0d

x x114. 设yxlnx，则

A.

x1 x（ ）

x1 C. 1 x1xd15. 设f'(x)g(x)，则f(sin2x)

dxB. D. 

（ ）

A.2g(x)sinx B.g(x)sin2x C.g(x)sin2x 16. 设yf(ex)ef(x)，且f'(x)存在则y'

A. f'(ex)ef(x)f'(ex)ef(x) C.f'(ex)ef(x)

D.g(sin2x)sin2x

（ ）

B.f'(ex)ef(x)f'(x)

'xxx'f(x)D. f(e)ef(e)f(x)e17. 已知a是大于零的常数，f(x)ln(1a2x)则f('0)

A.lna

B.lna

1

Ｃ.lna

2

（ ）

D.

1 218. 已知ylnx，则y(n)=

A.(1)nn!xn

( )

B.(1)n(n1)!x2n

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C.(1)n1(n1)!xn D.(1)n1n!xn1

n) 419. 函数ycos(2x)，则y(n)

42n+1A.2ncos(2x+)

4C.cos(2xn) 2（ ）

B.2ncos(2x

(2n+1)D.cos2x 420. yxna1xn1an，则y(n)=

（ ）

A.0 B.(n1)a C.(n1)! D.n ！d2x21. 设xat,ybt，则2

dy23 C. D.

（ ）

A.2a 9b2t4B.

2a 9b2t4

2a 3b2t42a 3b2t43d2yxacost22. 参数方程确定的函数的二阶导数2 3dxyasint（ ）

D.

1sec4tcsct 3aA. 3acos2tsint B.3asin2tcost

C.

1sec4tcsct 2a23. 由方程exysin(xy)0所确定函数的一阶导数y

（ ）

yexycos(xy)yexycos(xy)exycos(xy)yexycos(xy)A. xy B.xy C.xy D.xy

xecos(xy)xecos(xy)xecos(xy)ecos(xy)d2y24. 由方程exy0所确定函数的二阶导数2

dxy （ ）

A.

2yyeyxy2eyeyx2 B.

2yeyxy2eyeyx3 C.

2yeyxy2eyxexy3 D.

2yeyxy2eyeyx2

25. 若f(x)可微当x0时在点x处的ydy是关于x的 （ ）

A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小

26. f(x)x2在点x0处有增量x0.2，对应函数值增量的主部为1.2时，x0=（ ）

A.3 B.-3 C.0.3 D.-0.3

三、填空题

f(1x)f(1)2，则f(1) 。

x0xf(12x)f(1) 。 2. 已知f(1)2，则limx0x1. 已知lim word版 整理

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f(x0x) 。

x0xf(x0h)f(x0h)4. 若f(x)在x0处的导数f(x0)，则lim 。

h0hf(x)5. f'(0)存在且f(0)0，则lim 。

x0xf(3h)f(3)6. 若f32，则lim 。

h02h3. 若f(x0)0，f(x0)4，则极限lim7. 曲线yex在点x= 处切线与连接曲线上两点(0,1)，(1,e)的弦平行。 8. 若函数y3x22，则y 。 9. 若函数y3x25x1，则y 。 10. 若函数y2x3x1，则y 。

111. 若函数y2x43，则y 。

x12. 若函数f(x)2x35x23x7，则f(1) 。 13. 设函数y5x32x3ex2，y 。 14. 若函数yx34cosxsin2，则y 。

15. 若函数yexsinx，则y 。 16. 若函数yexcosx，则y 。 17. 若函数yecos2x，则y 。 18. 若函数yxlnx，则y 。

sinx，则y 。

cosx1cosx20. 若函数y，则y 。

sinx1x121. 若函数y，则y 。

x1x219. 若函数yx3x122. 若函数y，则y 。 3x1lnx，则y 。 xsin2x24. 若函数y，则y 。

x23. 若函数y25. 若函数ycosx31，则y 。

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26. 若函数yx5x31，则y 。

n27. 若函数ylncos2x，则y 。 28. 若函数ylncosx2，则y 。 29. 若函数ylnx1x2，则y 。 30. 若函数yxx，则y 。

x，则y 。 2x32. 若函数ysin2，则y 。

231. 若函数ycos23dyxacost33. 由参数方程确定的函数的导数 。 3dxyasinttdyx3e34. 由参数方程确定的函数的导数 。 tdxy2etdyxesint35. 由参数方程确定的函数的导数 。 tdxyecostxln(1t2)dy36. 由参数方程确定的函数的导数 。

dxytarctant37. 函数yesin2x的微分dy 。

38. 函数yeaxcosbx的微分dy 。 39. 函数yarcsin1x2的微分dy 。 40. 函数ylncosx2的微分dy 。 41. 函数yln1x3的微分dy 。 42. 函数yxx的微分dy 。

四、求解题

1. 已知f23，求limx0f2xf2x。

x

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2. 已知limh0h3，求f2。

f2f2h

sinx,x03. 求函数fx3在x0处的是否可导，并讨论在x0处的连续性。

x,x0

sinxx04. 求fx在x0处的导数。

ln(1x)x0

5. 求fxx在x0处的可导性。

6. 求fxx1在x1处的可导性。

12xsin,x07. 求函数y在x0处的连续性与可导性。 xx00,

8. 求函数ysinx在x0处的连续性与可导性。

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x2;x39. 使函数y在x3处可导，a,b应取什么值？

axb;x3

x2;x110. 使函数y在x1处可导，a,b应取什么值？

axb;x1

11. 设f(x)在x0处的导数为f(x0)，求lim

12. 设f(x)在x0处的导数为f(x0)，求lim

13. 设f(0)存在，且limf(x)0，求limx0x0x0x0f(x03x)f(x0)。

xf(x03x)f(x02x)。

xf(x)。 x

14. 求曲线ylnx在点e,1处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。

15. 求曲线yx2x2在点1,2处的切线方程和法线方程。

16. 求曲线y

17. 求曲线yex在点0,1处的切线方程和法线方程。

18. 求曲线yx2上的一点，使得曲线上过点x11，x23连线平行的切线。且求出过

该点的切线方程和法线方程。

19. f(x)(xa)(x)，(x)在xa处有连续的一阶导数，求f'(a)。

20. f(x)x(x1)(x2)(x2015)，求f'(0)。

11在点,2处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。 x2 word版 整理

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21. 设函数y1lnx，求y。 1lnx22. 设函数yln(secxtanx)，求y。 23. 设函数yln(cscxcotx)，求y。 24. 设函数y1ln2x，求y。

x25. 设函数ylntan，求y。

226. 设函数ylnlnlnx，求y。 27. 设函数ye，求y。 28. 设函数y(3x35)5，求y。

1x23)，求y。 29. 设函数y(1xx330. 设函数ycos34x，求y。 31. 设函数ylncosex，求y。 32. 设函数ysin2x，求y。 21x33. 设函数ylnsinx，求y。 34. 设函数y312x2，求y。 35. 设函数ylnsinex，求y。 36. 设函数y 37. 设函数y

38. 设函数y3x1x2，求。

yx3x41x，求y。 1xx2(3x)4求y。 5(x1) word版 整理

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39. 设函数y3

x(x21)求y。 22(x1)40. 设函数yxsinx，求y。

41. 求由方程xy3x25y70所确定的隐函数yf(x)的导数。 42. 求由方程y1xey所确定的隐函数yf(x)的导数以及y(0)。

43. 求由方程y1xey所确定的隐函数yf(x)的导数。 44. 求由方程y22xyb20所确定的隐函数yf(x)的导数。 45. 求由方程xyexy所确定的隐函数yf(x)的导数。 46. 求由方程y22xy90所确定的隐函数yf(x)的导数。 47. 求由方程x3y33axy0所确定的隐函数yf(x)的导数。 48. 求由方程xeylny50所确定的隐函数yf(x)的导数。 49. 求曲线yxlnx平行于直线2x2y30的法线方程。

tx2e50. 求曲线y在t0处的切线方程和法线方程。 tyexsint51. 求曲线在t所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程。

4ycostx2y21相切的切线方程。 52. 求过椭圆外一点(4,1)与椭圆63

53. 求yetsint的二阶导数。 54. 求yln(1x2)的二阶导数。 55. 求y1的二阶导数。 1x223d2y56. 求方程yxy2x所确定的隐函数yf(x)的二阶导数2。

dx word版 整理

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57. 设函数yarccos(1x)，求y。 1x1x)，求y。 1x58. 设函数yarcsin(59. 设函数yarcsin1，求y。 x60. 设函数y(arcsinx)3，求y。 61. 设函数yesin1x，求y。

62. 求ysinxe2x1的二阶导数。 63. 求yln(x1x2)的二阶导数。 . 设f(x)(x10)6,求f(5)9，f(20)x。 65. 求yxlnx的n阶导数。 66. 求yxex的n阶导数。 67. 求31.01的近似值。

68. 求3998.5的近似值。

69. 求26的近似值。

70. 求lg11的近似值。（ln102.30585 小数点后保留4位数）

四、证明题

1. 证明当x很小时，近似公式1x1

2. 证明当x很小时，近似公式ln(1x)x。

3. 证明当x很小时，近似公式tanxx。（其中x的单位为弧度）

五、应用题

1. 半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径增大了0.05cm，问该圆片面积增大了多少？

x。 2 word版 整理

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该圆片面积增大的近似值是多少？

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