高等数学同济下册期末考试题及答案套

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(x2y2)(a0)的定义域为D= 。 2、二重积分

|x||y|122ln(xy)dxdy的符号为 。 3、由曲线ylnx及直线xye1，y1所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

x(t)4、设曲线L的参数方程表示为y(t)(x),则弧长元素ds 。

5、设曲面∑为x2y29介于z0及z3间的部分的外侧，则

22（xy1)ds 。 6、微分方程

dyyytan的通解为 。 dxxx7、方程y(4)4y0的通解为 。 8、级数1的和为 。

n(n1)n1二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

（C） zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y当(x)2(y)20时，是无穷小；

lim（D）x0y0zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y(x)(y)220。

xy2u2u2、设uyf()xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2y2等于（ ）

yxxy（A）xy； （B）x； (C)y； (D)0 。

3、设：x2y2z21,z0,则三重积分IzdV等于（ ）

00（A）42d2drsincosdr；（B）2ddr2sindr；

0000131（C）d2dr3sincosdr；（D）ddr3sincosdr。

00000021214、球面x2y2z24a2与柱面x2y22ax所围成的立体体积V=（ ）

 （A）4d202acos04ardr； （B）4d20222acos0r4a2r2dr；

 （C）82d02acos0r4ardr； （D）222d22acos0r4a2r2dr。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则PdxQdy(L)

（A）(DPQQP)dxdy； （B）()dxdy； yxyxDPQQP)dxdy； （D）()dxdy。 xyxyD （C）(D6、下列说法中错误的是（ ）

（A） （B） （C） （D）

方程xy2yx2y0是三阶微分方程； 方程ydydyxysinx是一阶微分方程； dxdx方程(x22xy3)dx(y23x2y2)dy0是全微分方程； 方程

dy12y是伯努利方程。 xdx2x7、已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy60平行，而y(x) 满足微分方程y2y5y0，则曲线的方程为y（ ） （A）exsin2x； （B）ex(sin2xcos2x)； （C）ex(cos2xsin2x)； （D）exsin2x。

8、设limnun0 , 则un（ ）

nn1 （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设f,g均为连续可微函数。uf(x,xy),vg(xxy)， 求

uu,。 xyxtxt2、（8分）设u(x,t)f(z)dz，求

uu,。 xt四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算Idxeydy。（7分）

0x2222、计算I(x2y2)dV，其中是由x2y22z,z1及z2所围成的空间闭区域（8

分）

五、（13分）计算ILxdyydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过

x2y2原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)，且f(0)存在，求f(x)。

1f(x)f(y)(x2)2n1七、（8分）求级数(1)的收敛区间。

2n1n1n高等数学（下册）考试试卷（二）

1、设2sin(x2y3z)x2y3z，则

39xy 。

xy22xx0zz 。 xy2、limx0y03、设Idxf(x,y)dy，交换积分次序后，I 。

4、设f(u)为可微函数，且f(0)0,则lim1t0t3xy2t22f(x2y2)d 。

5、设L为取正向的圆周x2y24，则曲线积分

Ly(yex1)dx(2yexx)dy 。

2226、设A(xyz)i(yxz)j(zxy)k，则divA 。 7、通解为yc1exc2e2x的微分方程是 。 8、设f(x)1,1,x00x，则它的Fourier展开式中的an 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

xy2,241、设函数f(x,y)xy0,x2y20x2y20 ,则在点（0，0）处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

2u2u2u0 及 2 20，

xxyy则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上； （C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D：(x2)2(y1)21，若I1(xy)2d，I2(xy)3d

DD则有（ ）

（A）I1I2； （B） I1I2； （C）I1I2； （D）不能比较。

4、设是由曲面zxy,yx,x1及z0 所围成的空间区域，则xy2z3dxdydz =（ ）

 （A）

1111； （B）； （C） ； （D）。 36136236335、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t) (t)，其中

y(t)L(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0， 则曲线积分f(x,y)ds（ ）

(A) f((t),(t))dt； (B) f((t),(t))2(t)2(t)dt ；

(C) f((t),(t))2(t)2(t)dt； (D)f((t),(t))dt。

6、设是取外侧的单位球面x2y2z21， 则曲面积分

xdydzydzdxzdxdy =（ ）

(A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D)4。

7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1y2也是它的解的方程是（ ） (A) yp(x)yq(x)0； (B) yp(x)yq(x)y0； (C) yp(x)yq(x)yf(x)； (D) yp(x)yq(x)0。 8、设级数an为一交错级数，则（ ）

n1 (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an0(n0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分）

1、（8分）求函数uln(xy2z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2） 的方向的方向导数。

2、（7分）求函数f(x,y)x2y(4xy)在由直线xy6,y0,x0所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算Idv，其中是由x0,y0,z0及xyz1 所围

(1xyz)3成的立体域。

2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t)[z2f(x2y2)]dv，

其中(x,y,z)|0zh,x2y2t2，求五、求解下列问题（15分）

dF。 dt 1、（8分）求IL(exsinymy)dx(excosym)dy，其中L是从A（a，0）经yaxx2到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算Ix2dydzy2dzdxz2dxdy，其中是x2y2z2(0za) 的外侧。

六、（15分）设函数(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分

L[3(x)2(x)xe2x]ydx(x)dy与路径无关，求函数(x)。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设uetdt， 则

xzyz2u 。 z2、函数f(x,y)xysin(x2y)在点（0，0）处沿l(1,2)的方向导数

fl(0,0)= 。

3、设为曲面z1x2y2,z0所围成的立体，如果将三重积分If(x,y,z)dv化

为先对z再对y最后对x三次积分，则I= 。 4、设f(x,y)为连续函数，则Ilim1t0t2Df(x,y)d ，其中D:x2y2t2。

5、L(x2y2)ds ，其中L:x2y2a2。

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果

函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲

面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程y6y9yx26x9的特解可设为y* 。

(1)n1 8、若级数发散，则p 。 pnn1二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(xa,b)f(ax,b)=（ ）

x0x1 （A）fx(a,b)；（B）0；（C）2fx(a,b)；（D）fx(a,b)。

2 1、设fx(a,b)存在，则lim 2、设zxy，结论正确的是（ ）

2z2z2z2z（A）0； （B）0；

xyyxxyyx2z2z2z2z（C）0； （D）0。

xyyxxyyx23、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f(x,y)在D上连续，则f(x,y)d（ ）

D （A）0；（B）2f(x,y)d；（C）4f(x,y)d； (D)2f(x,y)d。

D1D1D24、设：x2y2z2R2，则(x2y2)dxdydz=（ ）

 （A）R5； （B）R5； （C）

8343816R5； （D）R5。 15155、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处的线密度为(x,y)，则曲线弧Ｌ的重心的x坐标x为（ ） （Ａ）x=

1MLx(x,y)ds； （B）x=

1M1MLLx(x,y)dx；

（C）x=Lx(x,y)ds； （D）x=xds, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。

６、设为柱面x2y21和x0,y0,z1在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面

积分y2zdxdyxzdydzx2ydxdz＝（ ）

 （A）0； （B）5； （C）； （D）。 4244７、方程y2yf(x)的特解可设为（ ）

（A）A，若f(x)1； （B）Aex，若f(x)ex； （C）Ax4Bx3Cx2DxE，若f(x)x22x； （D）x(Asin5xBcos5x)，若f(x)sin5x。

1,８、设f(x)1x00x，则它的Fourier展开式中的an等于（ ）

（A）

24。 [1(1)n]； （B）0； （C）1； （D）nnnt为由方程 F(x,y,t)0 确定的x,y的函数，其中f,F具有

三、（１２分）设yf(x,t),一阶连续偏导数，求dydx。

四、（８分）在椭圆x24y24上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短。 五、（８分）求圆柱面x2y22y被锥面zx2y2和平面z0割下部分的面积Ａ。 六、（１２分）计算Ixyzdxdy，其中为球面 x2y2z21 的x0,y0部分

的外侧。 七、（10分）设

df(cosx)1sin2x，求f(x)。

d(cosx)八、（10分）将函数f(x)ln(1xx2x3)展开成x的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（一）参

一、1、当0a1时，0x2y21；当a1时，x2y21； 2、负号； 3、d0dyeD1e1yydx;3； 4、2(t)2(t)dt；

25、180； 6、sinyCx； x2x7、yC1cos2xC2sin2xC3eC4e2x； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C； 三、1、2、

uuxg(xxy)； f1yf2；yxuuf(xt)f(xt)；f(xt)f(xt)； xt222y21y2y2y2四、1、dxedydyedxyedy(1e4)；

0x00022、I柱面坐标20d20drrdz12320ddr12r3dz22r2214； 3yx,Q五、令P2xy2x2y2Py2x2Q则，(x,y)(0,0)； 2y(xy2)2xPQ,在D内连续。所以由Green公yxPQ,在D内除O（0，0）外都yx于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，

式得：I=0；②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，

连续，此时作曲线l为x2y22(01)，逆时针方向，并假设D*为L及l所围成区域，则

ILllLlGreen公式(lD*QP)dxdy2 xyx2y22六、由所给条件易得：

f(0)2f(0)f(0)0

1f2(0)f(x)f(x)f(x)1f(x)f(x)f(xx)f(x)又f(x)lim =lim

x0x0xx1f2(x)f(x)f(0)2 lim f(0)[1f(x)]

x01f(x)f(x)x即

f(x)f(0) 21f(x) arctanf(x)f(0)xc即 f(x)tan[f(0)xc]

又 f(0)0 即ck,kZ f(x)tan(f(0)x)

t2n1 七、令x2t，考虑级数(1)

2n1n1nt2n33t2 lim2n2nnt12n1当t21即t1时，亦即1x3时所给级数绝对收敛；

当t1即x3或x1时，原级数发散； 当t1即x1时，级数(1)n1n11收敛； 2n1当t1即x3时，级数(1)nn11收敛； 2n1级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参

一、1、1； 2、-1/6； 3、dy02yy/2f(x,y)dxdy242y/2f(x,y)dx ； 4、

2f(0)； 35、8； 6、2(xyz)； 7、yy2y0； 8、0；

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数uln(xy2z2)在点A（1，0，1）处可微，且

uxuyA1xyz1xyz2222(1,0,1)1/2；

Ayyz22(1,0,1)0；

uzA1xyz22zyz22(1,0,1)1/2

2133 而lAB(2,2,1),所以l(,,),故在A点沿lAB方向导数为：

23

ulAuxAcos+

uyAcos+

uzAcos

122110()1/2. 23323fx2xy(4xy)xy(1)02、由得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)4， 2fx(4x2y)0y  又f(0,y)0,f(x,0)0

而当xy6,x0,y0时，f(x,y)2x312x2 令(2x312x2)0得x10,x24

于是相应y16,y22且f(0,6)0,f(4,2).

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)4，最小值为f(4,2).

0x1四、1、的联立不等式组为:0yx1

0z1xy(0x6)

所以I0dx0dy0 11x1xydz

(1xyz)31x1111dx[]dy 20024(1xy) 1113x15 ()dxln202x142162、在柱面坐标系中

F(t)201ddr[zf(r)]rdz2[hf(r2)rh3r]dr

0003th22t所以

dF112[hf(t2)th3t]2ht[f(t2)h2]

3dt3五、1、连接OA，由Green公式得：

ILOAOALOAOA

Green公式x2y2ax,y0xx(ecosyecosym)dxdy0 18ma2 2、作辅助曲面za1:x2y2a2 ，上侧，则由Gauss公式得：

I+=

1111 =

2(xyz)dxdydza2dxdy

x2y2z2,0zax2y2a2 =2a0dzx2zdxdya4

y2z2 2a10z3dza42a4

六、由题意得：3(x)2(x)xe2x(x) 即(x)3(x)2(x)xe2x

特征方程r23r20，特征根r11,r22

对应齐次方程的通解为：ycx1ec2e2x

又因为2是特征根。故其特解可设为：y*x(AxB)e2x 代入方程并整理得：A12,B1

即 y*12x(x2)e2x 故所求函数为：(x)cx11ecx2e22x(x2)e2x

高等数学（下册）考试试卷（三）参

一、1、yey2z2xex2z2； 2、5； 3、11x221dx1x2dy1x2y0f(x,y,z)dz；

4、f(0,0);5、2a3； 6、(PQRxyz)dvPdydzQdzdxRdxdy， Gauss公式； 7、Ax2BxC 8、P0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ；三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt，FxdxFydyFtdt0

、B 8 由上两式消去dt，即得：

dyfxFtftFx dxFtftFy四、设(x,y)为椭圆x24y24上任一点，则该点到直线2x3y60的距离为

d62x3y13 ；令L(62x3y)2(x24y24)，于是由：

Lx4(62x3y)2x0 Ly6(62x3y)8y0 22Lx4y4083838383得条件驻点：M1(,),M2(,),M3(,),M4(,)

35555555 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin62x3y13M113即为所求。 1322zxy五、曲线在yoz面上的

22xy2yz22y投影为x0(0yz)

于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

0y2Dyz:， y 0z2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A2Dyz1(x2x)()2d x yz 2Dyzdydz2yy22dy122y0dz2yy28

六、将分为上半部分1:z1x2y2和下半部分2:z1x2y2， 1,2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2y21,x0,y0, 于是： xyzdxdy1Dxy1x2y2dxdy

极坐标02d2sincos12d011； 15 xyzdxdyxy(1x2y2)(dxdy)2Dxy1， 15 I=

122 15七、因为

df(cosx)1sin2x，即f(cosx)1sin2x

d(cosx) 所以f(x)2x2 f(x)2xx3c 八、f(x)ln[(1x)(1x2)]ln(1x)ln(1x2)

(1)n1nu,u(1,1] 又ln(1u)nn113(1)n1n(1)n12nxx,x(1,1] f(x)nnn1n1(1)n1nx(1xn), nn1x(1,1]