四、重点关注题目
1.证明：方程
x40
tdt4x2在区间（1,2）只有唯一实根。
f(x)
1，证明：方程2x
x0
2.设f(x)在[0,1]上连续，且个实根。
3.设f(x)在0,
f(t)dt1在（0,1）内只有一
π2
上连续，且
f(x)1，证明：方程
x0
1tf(t)dt
4
edtcosx
0
t2
0在
0,
π2
内有唯一实根。
4. 试证:当0x1x2
21x
时,
tanx2tanx1
x2x1
5.
当x0时,arctanx0时，(1x)e2x
x
2
6.当x
1x
x)ln(1x)
x)1cosxln
11
2
2
7.证明：当18.证明：当x
0时，2ln(1
2x
0时，(1x)ln(1arctanxtany
yx12
tanxx
.
9.证明：当0
xy
2
时，
1cosy
2
10. 当x1时，试证：
1
1
x1x1
x12
1
an1
11. 证明：2
(n1)
12.证明：当x13.试证：当a
an
anlna
x
an2n
(a1,n1)
x
0时，b
x1
ln(x1)
n1
0,n
1时，nb(ab)
a
n
b
n
na
n1
(ab).
14. 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得
f()
b
g(t)dtg()
a
f(t)dt.
f(a)
f(b)
0，试证：
(a,b)，使
15.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且得f()
kf()0成立（k为实常数）.
(0,1)内可导，且
f(1)1．证明：在
16.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间
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(0,1)内至少存在一点
18. 证明：19. 求证：
π20π0
，使得f()
π20
f()20成立．
sinxdxxf(sinx)dx
n
cosxdx. π2
π0
n
f(sinx)dx，并计算
π0
xsinx
2
1cosx
20
6
dx。
20. 设In
20
sinxdx，试证In
n
n1n
In
10
2
，并计算I6sinxdx.
21.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且
1
f(x)dx0，证明：
（1）（2）
[f(1x)0
f(x)]dx0；
)
f()
0.
f(x)
f(x)
2，
(0,1)，使得f(1
23.设f(x),g(x)在[a,a]上连续，g(x)为偶函数，证明：
aa
f(x)g(x)dx
x
2
a0
g(x)dx.
f(x)在x
24. 设f(x)在
x0处导数存在，试证：x0处连续。
0，试证：f(x)在区间(a,b)内
25. 设函数f(x)在区间(a,b)内处处导数存在，且f(x)是增函数。
26. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f(x)数。
27.已知函数f(x)在[a,b]上连续，设28.数f(x)在[a,b]上连续，且F(x)
0，试证：f(x)在区间(a,b)内是常值函
F(x)
xa
f(t)dt,x[a,b]，试证：F(x)
ba
f(x)。
f(x)，证明：
f(x)dxF(b)F(a)。
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