f(x)的单调区间与极值． 17. 已知函数 f ( x) x3 3x .（Ⅰ）求 f ( 2) 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间 .
18. 设函数 f (x)
x3 6x 5, x
R .
（ 1）求 f ( x) 的单调区间和极值；
（ 2）若关于 x 的方程 f ( x) a 有 3 个不同实根，求实数
a 的取值范围 .
第2页（共 8页）
（ 3）已知当 x
(1, )时 , f (x) k( x 1) 恒成立，求实数 k 的取值范围 .
已知 x 1 是函数 f (x) mx3
（ 1）求 m 与 n 的关系式；（ 3）当 x [ 1,1]，函数 y
3(m 1) x2
nx 1的一个极值点，其中 m,n R, m 0
（ 2）求 f ( x) 的单调区间；
f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ，求 m 的取值范围。第3页（共 8页）
19.
20. 已知函数
f ( x) ln x ax 2 bx.
（ I）当 a
1 时，若函数 f ( x) 在其定义域内是增函数，求
b 的取值范围； （ II ）若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0), B(x2 ,0)( x1 x2 ) 两点，且 AB 的中点 为 C ( x0 ,0) ，求证：
f '( x0 ) 0.
21. 已知函数
f ( x)
x2
, g( x) 2a ln x(e 为自然对数的底数）
e
（ 1）求 F (x)
f ( x) g ( x) 的单调区间，若 F ( x) 有最值，请求出最值；
（ 2）是否存在正常数
a ，使 f ( x)与 g( x) 的图象有且只有一个公共点， 且在该公共点处有共同的切线？
若存在，求出 a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。
第4页（共 8页）
《导数及其应用》参
一、 ： 号 答案 二、填空 ： 11. y '
1 B
2 A
3 D
4 A
5 D
6 D
7 D
8 B
9 A
10 C
x cosx sin x
x2
；12.
18
13.
3 ；
14.
{ a | a 0} ； 15.
( 1,0) (1, )
6
三、解答
16. [ 解析 ]
f′ (x)＝ cosx＋ sinx＋ 1＝ 2sin( x＋ )＋ 1
4
π
2
π
(0< x<2π)
令 f′ (x)＝ 0，即 sin(x＋ 4)＝－ 2 ， 解之得 x＝ π或 x＝π.
2
x， f′ (x)以及 f(x) 化情况如下表：
3
3
π 0 π＋ 2
－ 减
3 2
x f′ (x) f(x)
(0， π) ＋ 增 3
( π， 2π)
π
3 (2π， 2π) ＋ 增
3
0
3π 2
∴ f(x) 的 增区 (0， π)和(2π， 2
π) 减区 ( π， 2 π)． 3 3π
f 极大 (x)＝ f( π)＝π＋2， f 极小 (x)＝ f(2π)＝ 2 .
17. 解：（Ⅰ） f ( x） 3x2 3，所以 f ( 2) 9 .
（Ⅱ） f
( x) 3x2
3 ，
解 f ( x) 0 ，得 x 解 f ( x) 0 ，得 所以 (
1或 x 1. 1 x 1 .
, 1)， (1, ) 函数 f ( x) 的 增区 ， ( 1,1) 函数 f ( x) 的 减区 .
18. 解 : （ 1） f (x) ∴当 x
3( x 2 2), 令 f ( x) 0,得 x1 2时 , f ( x) 0;当
2 x
2, x2 2时 , f (x)
2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1
分
2或 x
0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 2 , 2) ⋯⋯ 3 分 2 . ⋯⋯⋯⋯ 4 分
∴ f (x) 的 增区 是 ( 当 x
, 2) 和( 2, ) ， 减区 是 ( 2, f ( x)有极小值 5 4
2, f (x)有极大值 5 4 2 ；当 x
（ 2）由（ 1）可知 y
f ( x) 象的大致形状及走向（ 略） 5 4 2时 ,直线 y a与 y f ( x) 的 象有 3 个不同交点，⋯⋯ 5 4 2 方程 f ( x)
有三解 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分 7 分 ∴当 5 即当 5
4 2 a 4 2 a
第5页（共 8页）
（ 3）
( ) ( 1) ( 1)( 2 5) ( f x k x 即 x x x k x
1)
∵ x 1,
k
x 2 x 5在 (1, ) 上恒成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
令 g( x)
∴ g( x)
x x g(1)
2 5
，由二次函数的性 ，
g( x)在 (1,
) 上是增函数，
3, ∴所求 k 的取 范 是 k 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
19. 解：（ 1） f '(x)
即
3mx2 6( m 1)x n. 因为 x 1 是函数 f (x) 的一 个极值点 .所以 f '(1)
3m 6(m 1) n
3mx
2
0,
所以
0
n 3m 6
（ 2）由（ 1）知， f '(x)
6(m 1)x 3m 6
3m(x 1)[x
(1
2
当 m
0 时，有
1 1
2
)] m
，当 x 为化时， f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表：
m
x
(
,1
-
2
)
1 2 m
0
(1
2
,1)
1
(1,
)
-
m
单调递减
m
+ 单调递增
f '(x) f (x)
0 极大值
极小值 单调递减
故由上表知，当 m 递减 .
0 时， f ( x) 在 ( ,1
2 2
) 单调递减，在 (1 ,1) 单调递增，在 (1, m m
) 上单调
（ 3）由已知得 f '(x)
3m ，即 mx2 2( m 1) x 2 0 又 m 0，所以 x2
2 (m 1)x 2 0 ，即
m m
x2
2 (m 1)x 2 0, x [ 1,1] 设 g ( x) x2 2(1 1 )x 2 ，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以 m m m m
2 2
g( 1) 0 1 2 0 4
即 m 的取值范围为 ( ,0) m m 解之得 4 m又m 0 所以 4 m 0
g(1) 0 3 3 3 1 0
20. （ 1 ） 由 意： f
( )
x
2
x x bx ， f ( x) 在 (0, ln
) 上 增，
f ( x)
1 2x b 0
x
x
(0, ) 恒成立，即 b
1 2x x
x
(0,
) 恒成立，
只需 b (
1
2x)min ，
x
1 2 2
x 0 ，
x
2x 2 2 ，当且 当 x
取“ =”，
b
2 2 ， b 的取 范 (
,2 2)
（ 2）由已知得，
f ( x1 ) ln x1 ax12 bx1 0
f ( x2 ) ln x2 ax22 bx2 0
x2 ) b(x1 x2 )
，两式相减，得： ln x1 ax12
ln x2 ax22 bx2
bx1
ln x1
x2
a(x1 x2 )( x1
ln x1
x2
( x1 x2 )[ a(x1 x2 ) b] ，
由 f ( x)
1 x
2ax b 及 2x0
x1
x2 ，得：
[ a( x1
f ( x0 )
1 x0
2ax0 b
2
x 2 ) b]
2 x1 x 2
1
x1 x2
x1 x1
ln x 2 x2
第6页（共 8页）
x1 x 2
1
[
2( x1 x 2 )
x1
x2
x1
ln x2 ]
x2
x1 1 [ xx
1) ( x2
2
2(
x1
1 1)
x1
t x] ，令
ln
2
x1
x2
(0,1) ，
且 (t )
2t 2 ln t (0 t
1) ，
(t )
(t 1) 2 0 ，
(t ) 在 ( 0,1) 上 减函数，
Q f (
t 1
t(t
1) 2
(t ) (1) 0 ，又 x1 x2 ， f ( x0 ) 0
21. 解：（ 1） F
(x)
f ( x) g ( x)
2x 2a 2( x3 ea)
0)
e
x
ex ( x
0时 , F
①当 a
( x) 0 恒成立
F ( x)在 (0, ) 上是增函数， F ( x) F 只有一个 增区 （
0，-∞），没有最 ⋯⋯ ②当 a
0 ， F (x)
2( x
ea( x ea ) (x 0) ，
ex
若 0 x
ea ， F ( x) 0, F (x)在 (0, ea) 上 减；
若 x
ea ， F
(x) 0, F ( x)在 ( ea,
) 上 增，
当 xea ， F ( x) 有极小 ，也是最小 ，
即 F ( x)min F ( ea) a 2a ln ea a ln a ⋯⋯⋯⋯ 6 分 所以当 a
0 ， F ( x) 的 减区
(0, ea) 增区
( ea,
) ，最小
a ln a ，无最大 ⋯⋯⋯⋯
7 分
（ 2）方法一，若
f ( x) 与 g ( x) 的 象有且只有一个公共点， 方程
f (x) g ( x) 0 有且只有一解，所以函数
F (x) 有且只有一个零点⋯⋯⋯⋯
网 ]
由（ 1）的 可知 F (x) min a ln a 0得 a 1 ⋯⋯⋯⋯ 10 分
此 ， F (x)
f ( x) g( x) x 2 2ln x 0
F (x)min F ( e)
0
e
f ( e) g( e) 1, f (x)与g ( x) 的 象的唯一公共点坐 ( e,1) 2
e) g ( e) f (x)与 g( x) 的 象在点 ( e,1) 有共同的切 ， e
第7页（共 8页）
3 分
8 分 [来源 :学 _科 _
又
其方程 y
1
2 ( x e
e) ，即 y
2 x 1 ⋯⋯⋯⋯ 13 分
e
上所述，存在 程 y
a 1，使 f (x)与 g( x) 的 象有且只有一个公共点 (
e,1)，且在 点 的公切 方
2 x 1. ⋯⋯⋯⋯ 14 分
e
方法二：
f ( x)与 g(x) 象的公共点坐
x02 (x0 , y0 ) ，
根据 意得
f ( x0 ) g( x0 )
即
e 2a ln x0
f ' (x0 ) f ' ( x0 )
2x0
e 1 2 2a x0
由②得 a
x02 e
，代入①得 ln x0
, x2
e
从而 a
1 ⋯⋯⋯⋯ 10 分
此 由（ 1）可知 F ( x)min F ( 因此除 x0 故存在 a
e) 0 当 x 0且 x e ， F ( x)
0,即 f (x) g (x)
e 外，再没有其它 x0 ，使 f (x0 ) g( x0 ) ⋯⋯⋯⋯ 13 分
1，使 f (x)与 g( x) 的 象有且只有一个公共点，且在 公共
e,1)，公切 方程 y
点 有共同的切 ，易求得
公共点坐 (
2 x 1⋯⋯⋯⋯ 14 分 e
第8页（共 8页）
