立体几何线面与面面垂直的证明

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理科数学复习专题 立体几何

线面垂直与面面垂直专题复习

【知识点】

一．线面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：

如果直线l和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作__________．

重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为：

②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：

(3)直线与平面垂直的性质：

①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：

二、面面垂直

(1)平面与平面垂直的定义：

两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为：

(3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：

【题型总结】

题型一 小题：判断正误

1．“直线l垂直于平面α的无数条直线”是“l⊥α”的( )．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件

2．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是( )．

A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD

2. 设m，n, l是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，判断命题正误：

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①m,m,则//②m,//,则m③m,m//n,则n④m,n,则m//n⑤m,mn,则n//

⑥mn,m//,则n⑦mn,nl,则m//l⑧，,则//⑨mn,n//l,则ml⑩，//,则

题型二 证明线面垂直 1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

（1）证明：BD⊥面PAD (2)证明：PA⊥BD；

归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_____________________________________ ②找垂线(线线垂直)的方法一：_________________________________

2.四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，

PDPB4,BAD600，E为PA中点.

求证：BD平面PAC；

归纳：找垂线(线线垂直)的方法二：_________________________________

找垂线(线线垂直)的方法三：_________________________________

3、如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A,B的一点，PA平面ABC，E是PC的中点，AB3，PAAC1．求证：AEPB

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归纳：找垂线(线线垂直)的方法四：_________________________________ 4.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,BCA900， AP=AC, 点D，E分别为棱PB、PC的中点，且BC//平面ADE 求证：DE⊥平面PAC；

归纳：_________________________________________________________________

题型三 面面垂直的证明（关键：找线面垂直）

1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA平面ABCD.

求证：平面SAC平面SBD；

2.（2016理数）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面ABEF为正方形,AF=2FD, AFD90，

DCF . . .z

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证明：平面ABEF平面EFDC；

题型四 面面垂直的性质（注意：交线）

1、如图所示，平面EAD平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，求证：EG平面ABCD；

2、如图，平行四边形ABCD中，

CD1,BCD600,BDCD，正方形ADEF，

且面ADEF面ABCD．求证：BD平面ECD；

综合运用

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如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：面BMN⊥平面PCD.

【练习】

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①

aMa//baMa//M ② ③b∥M ④bMa//bb⊥M.

abaMbMab其中正确的命题是 ( )

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2. 给出以下四个命题：

1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线○

和交线平行。

2如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ○

3如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。 ○

4如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ○

其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 D 3．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，

PDDCBC2，AB2DC，AB∥DC，BCD90.

(1)求证：PCBC；(2)求多面体APBC的体积.

P B

C

E F

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A B E C D . ...

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4.如图所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，

E、F是AC、PC的中点

（1）求证：ACDF；

（2）若PA2,AB1，求三棱锥CPED的体积．

5、在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD,

AD∥BC,BAD90,PAABBC1,AD2,

E为PD的中点.

（Ⅰ）求证：CE//面PAB；（Ⅱ）证：面PAC面PDC；

6、已知四棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1，

CD2，CD面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD；

C

A B . . .z

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7.如图，在直三棱柱

ABCA1B1C1中，平面

A1BC侧面

A1ABB1，且

AA1AB2 求证：ABBC；

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A1

A

C B .