江苏省无锡市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷文课件

一.填空题（每题5分）

1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B= ． 2．已知幂函数y=f（x）的图象过点3．已知复数z=

，则

= ．

（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a= ．

x（x≤0），则sinα= ．

4．若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣

5．用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有 ”． 6．已知tanα=2，则

= ．

7．已知平面向量，，满足=（m，2），=（3，﹣1），且（﹣）⊥，则实数m= ． 8．函数f（x）=

+

定义域为 ．

9．若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数图象C2．若图象C1与C2重合，则φ的最小值为 ．

10．在等差数列{an}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N），则map+naq=mak+nat；类比以上结论，在等比数列{bn}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则 ． 11．已知α，β∈（﹣根，则α+β= ．

12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若•

= ．

•

=4，则

，

），tanα，tanβ是二次方程x2+

x+1+

=0的两实

*

13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为 ．

- 1 -

14．若函数f（x）=值范围是 ． 二.解答题

15．已知函数f（x）=cos（

﹣x）+

对任意实数b均恰好有两个零点，则实数a的取

sin（+x）（x∈R）．

（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值； （2）若α∈（﹣

，

）且f（α）=1，求f（2α）的值．

，z的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．

2

16．已知复数z满足|z|=（1）求复数z；

（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．

=4，D为△ABC所在平面内一点，且满足

=

+2

．

17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3， •（1）求|

|；

（2）cos∠BDC．

18．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）． （1）试验证函数y=

+1是否符合函数x模型请说明理由；

，试确定最小的正整数a的值．

（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=19．已知函数f（x）=loga（y=f（x）的值域是（﹣∞，1]． （1）确定b的值；

）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数

（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；

（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围． 20．已知函数y=f（x），若存在零点x0，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）． 例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x2﹣3x+3）．若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2．

- 2 -

（1）若f（0）=﹣2，且函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为0，求实数a的取值范围； （2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，且|f（1）|≤1，求实数b的取值范围．

- 3 -

2016-2017学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）

参与试题解析

一.填空题（每题5分）

1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B= {1，2，3} ． 【考点】1D：并集及其运算．

【分析】由集合A与B，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}． 故答案为：{1，2，3}

2．已知幂函数y=f（x）的图象过点

，则

= 9 ．

【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；3T：函数的值． 【分析】设出幂函数解析式，因为幂函数图象过点幂指数，然后求

的值．

α

，把点的坐标代入解析式后求解

【解答】解：因为函数y=f（x）是幂函数，设解析式为y=x， 又y=f（x）的图象过点则y=f（x）=x，所以故答案为9．

3．已知复数z=

（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=

．

﹣2

，所以

．

，所以α=﹣2，

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【解答】解：z=∵z为纯虚数， ∴2a﹣1=0，

=

=

，

- 4 -

解得a=故答案为：

，

4．若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．

【分析】由题意，在α的终边上任意取一点M（﹣1，义求得sinα的值．

x（x≤0），则sinα= ．

），利用任意角的三角函数的定

【解答】解：∵α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣在α的终边上任意取一点M（﹣1，则x=﹣1，y=故答案为：

，r=|OM|=2，sinα=．

）， =

，

x（x≤0），

5．用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有 一个大于1 ”． 【考点】FC：反证法．

【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．

【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，

而命题：“实数a，b，c至少有两个大于1”的否定是：“a，b，c至多有一个大于1”， 故答案为：一个大于1

6．已知tanα=2，则

=

．

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】由三角函数的诱导公式化简，再由弦化切计算得答案． 【解答】解：∵tanα=2， ∴

- 5 -

=

=

故答案为：

7．已知平面向量数m= 4 ．

【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出值．

【解答】解：∵平面向量∴∵（∴（

﹣﹣

=（m﹣3，3）， ）⊥）•

，

=3（m﹣3）﹣3=0，

，

，满足

=（m，2），

，再由（

，

，满足

=（m，2），

．

．

=（3，﹣1），且（﹣）⊥，则实

﹣）⊥，能求出m的

=（3，﹣1），

解得m=4． 故答案为：4．

8．函数f（x）=

+

定义域为 [e，3] ．

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】二次根式被开放式非负和对数函数的定义域，可得lnx≥1，且x（x﹣3）≤0，二次不等式的解法，即可得到所求定义域． 【解答】解：f（x）=

可得lnx﹣1≥0，且x（3﹣x）≥0， 即为lnx≥1，且x（x﹣3）≤0， 即有x≥e，且0≤x≤3， 可得e≤x≤3． 则定义域为[e，3]． 故答案为：[e，3]．

- 6 -

+有意义，

9．若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再把所得图象的横坐标变为原来的来的

，纵坐标保持不变，得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原，纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数图象C2．若

．

图象C1与C2重合，则φ的最小值为

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得φ的最小值． 【解答】解：把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin（x+φ）的图象；

再把所得图象的横坐标变为原来的象．

把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的

，纵坐标保持不变，可得y=sin4x的图象；

，纵坐标保持不变，得到函数C1：y=sin（4x+φ）的图

再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数C2：y=sin（4x+4φ）的图象； 若图象C1与C2重合，则2kπ+φ=4φ，k∈Z，即φ=值为故答案为：

10．在等差数列{an}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N），则map+naq=mak+nat；类比以上结论，在等比数列{bn}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则 map•naq=mak•nat ． 【考点】F3：类比推理．

【分析】结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），则am•an=ap•aq． 【解答】解：类比上述性质，在等比数列{an}中， 若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*）， 则map•naq=mak•nat， 故答案为：map•naq=mak•nat．

**

，故当k=1时，φ取得最小

，

．

- 7 -

11．已知α，β∈（﹣x+

2

，），tanα，tanβ是二次方程

x+1+=0的两实根，则α+β= ﹣ ．

【考点】GR：两角和与差的正切函数．

【分析】利用韦达定理求得tan（α+β）的值，再根据α+β的范围，求得α+β的值． 【解答】解：∵α，β∈（﹣x2+

x+1+

，

），tanα，tanβ

是二次方程

=0的两实根， ，tanα•tanβ=

=

，或α+β=﹣

，

，

+1，

=1，

∴tanα+tanβ=﹣∴tan（α+β）=

结合α+β∈（﹣π，π），∴α+β=当α+β=满足条件． 综上可得，α+β=﹣故答案为：﹣

．

，

时，不满足tanα+tanβ=﹣

，故舍去，检验α+β=﹣

12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若则

•

=

．

•=4，

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法则将形的各边表示，展开分别求数量积即可． 【解答】解：由已知得到cos∠A=

AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点， 若

•

=4，则

•

=（

）（

）

，

•

用梯

- 8 -

==2×3×故答案为：

13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为 【考点】GI：三角函数的化简求值．

．

+．

﹣1×3

=

；

【分析】由sinA+sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）=﹣sinBcosC，展开化为：2sinBcosC=﹣cosBsinC，因此2tanB=﹣tanC，由tanA=﹣tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出答案． 【解答】解：由sinA+sinBcosC=0， 得

，

∴C为钝角，A，B为锐角且sinA=﹣sinBcosC． 又sinA=sin（B+C）， ∴sin（B+C）=﹣sinBcosC， 即sinBcosC+cosBsinC=﹣sinBcosC， ∴2sinBcosC=﹣cosBsinC ∴2tanB=﹣tanC ∴tanA=﹣tan（B+C） =

=

=∵

tanB

＞

0

， ，

根

据

均

值

定

理，

，

∴，当且仅当时取等号．

∴tanA的最大值为．

- 9 -

故答案为：

．

14．若函数f（x）=

两个零点，则实数a的取值范围是 [1，2） ． 【考点】54：根的存在性及根的个数判断．

对任意实数b均恰好有

【分析】求出f（x）=0的解，根据零点个数和定义域列不等式组得出a的范围． 【解答】解：当x≥1时，令f（x）=0得x=e当x＞1时，令f（x）=0得x=0（舍）或x=∵f（x）恰好有两个零点，∴e

．

≥1对任意实数b恒成立，且

＞1，

，

∴，解得1≤a＜2．

故答案为：[1，2）． 二.解答题

15．已知函数f（x）=cos（

﹣x）+

sin（

+x）（x∈R）．

（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值； （2）若α∈（﹣

，

）且f（α）=1，求f（2α）的值．

【考点】HW：三角函数的最值．

【分析】（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值．

（2）由条件求得α的值，结合函数的解析式从而求得f（2α）的值． 【解答】解：（1）函数f（x）=cos（（x+故当x+

）， =2kπ+

时，函数f（x）取得最大值为2，此时，x=2kπ+

，k∈Z．

﹣x）+

sin（

+x）=sinx+

cosx=2sin

- 10 -

（2）若α∈（﹣=

，∴α=﹣

，，

+

）且f（α）=2sin（α+）=1，即 sin（α+）

∴f（2α）=2sin（﹣

16．已知复数z满足|z|=（1）求复数z；

）=0．

，z的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．

2

（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】（1）设出复数z，利用已知列出方程组，求解可得复数z； （2）把复数z=﹣1+i代入算|

，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计

，由复数的几何意义得出ω在复平面内对

|，由复数ω满足|ω﹣1|≤

应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积． 【解答】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则z=x﹣y+2xyi， 由|z|=

，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限，

2

2

2

得，解得：，

∴z=﹣1+i；

（2）由（1）知：复数z=﹣1+i， ∴

=

，

∴|

|=

，由复数的几何意义得：

为半径的圆面，

，

=

∴复数ω满足|ω﹣1|≤

ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1，0）为圆心，∴其面积为

．

- 11 -

17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，

=（1）求|

+2|；

．

•

=4，D为△ABC所在平面内一点，且满足

（2）cos∠BDC．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方，结合已知条件，计算即可得到所求值； （2）运用向量的加减运算和向量的模，分别求得∠BDC=

【解答】解：（1）AB=2，AC=3，由可得|==（2）

=•||=

即有cos∠BDC=

18．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）．

=﹣=2|=2×3=6， |=

=

=，

=

=

．

﹣=﹣•

+2=﹣2

﹣

2

•，||，||，再由cos

，代入计算即可得到所求值． •

=4，

=|=|

+2

+2

，

|

=2， ，

=2×4+2×9=26，

；

- 12 -

（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；

，试确定最小的正整数a的值．

（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=【考点】5D：函数模型的选择与应用． 【分析】（1）判断y=

﹣

（2）令f（x）﹣

的单调性，求出函数的最大值与9的大小关系，判断

x≤0在[10，100]上是否恒成立；

≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范围，再令f函数y=

＜9，

+1

是增函数，当x=100时，y=

∴奖金y随投资收益x的增加而增加，且奖金不超过9万元， 令g（x）=

≤0得x≥

，

∴当10≤x≤100时，奖金不超过投资收益的20%， 综上，函数y=（2）f（x）=

+1符合函数x模型．

=10﹣

，

显然，当a＞0时，f（x）是增函数， 令f﹣

x=

2

﹣≤0在[10，100]上恒成立，

得15a≥﹣x+48x，

令h（x）=﹣x2+48x，则h（x）在[10，24]上单调递增，在（24，100]上单调递减， ∴h（x）的最大值为h（24）=576， ∴15a≥576，即a≥综上，a≥

，

∴最小的正整数a的值为38．

19．已知函数f（x）=loga（数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]． （1）确定b的值；

（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；

）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函

- 13 -

（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围． 【考点】3R：函数恒成立问题；3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b； （2）运用单调性的定义，可得g（x）=

=﹣1+

在（﹣1，1）递减，再由复合

22

函数的单调性，可得f（x）在（﹣1，1）递增；由题意可得f（a）=1，解方程可得a的值； （3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），f（x）在（﹣1，1）递增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，运用二次函数的最值求法，可得最小值，即可得到k的范围． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=loga（∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即f（﹣x）+f（x）=0， ∴loga即

2

2

）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，

+loga

•

2

=loga（

=1，

•）=0，

∴1﹣x=b﹣x，

即b=1，解得b=1（﹣1舍去）， 当b=1时，函数f（x）=loga

为奇函数，满足条件．

2

（2）证明：设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2， 由g（x）=

=﹣1+

，

g（x1）﹣g（x2）=﹣=，

x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0， 则g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g（x）在（﹣1，1）递减， 由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得， f（x）在（﹣1，1）递增； ∴函数f（x）=loga

在x∈（﹣1，a）上单调递增，

∵当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]， ∴f（a）=1，

- 14 -

即f（a）=loga∴

=a，

=1，

即1﹣a=a+a2，

∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±∵0＜a＜1，∴a=﹣1+

；

2

2

，

（3）对于任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＞0恒成立， 即有f（t﹣2t）＞﹣f（2t﹣k）=f（k﹣2t）， 由f（x）在（﹣1，1）递增，

可得t﹣2t＞k﹣2t，且﹣1＜t﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t＜1， 可得k＜3t2﹣2t的最小值， 由3t2﹣2t=3（t﹣立．

则k的取值范围是（﹣∞，﹣

20．已知函数y=f（x），若存在零点x0，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）． 例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x﹣3x+3）．若函数f（x）=x+（a﹣2）x+（b﹣2a）x+c存在零点x=2．

（1）若f（0）=﹣2，且函数y=f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为0，求实数a的取值范围； （2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，且|f（1）|≤1，求实数b的取值范围． 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；52：函数零点的判定定理．

【分析】（1）求出g（x）=x2+ax+1，令g（x）≥0在区间[﹣2，2]上恒成立，列不等式组得出a的范围；

（2）求出g（x）=x+ax+b，根据条件列出不等式组，作出平面区域，根据线性规划知识求出b的范围．

【解答】解：（1）∵f（0）=﹣2，∴c=﹣2，

设f（x）=（x﹣2）g（x），则g（x）为二次函数，不妨设g（x）=（x2+mx+n）， 则f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．检验成

）．

- 15 -

∴

，解得，

∴g（x）=x2+ax+1，

∵当x∈[﹣2，2]时，f（x）≤0，且x﹣2≤0， ∴g（x）=x2

+ax+1≥0在[﹣2，2]上恒成立，

∴△=a2

﹣4≤0，或

，或，

解得﹣2≤a≤2．

（2）设f（x）=（x﹣2）（x2

+mx+n）=x3

+（m﹣2）x2

+（n﹣2m）x﹣2n， 则

，∴

，∴g（x）=x2+ax+b，∵|f（1）|＜1，﹣1≤1+a+b≤1，即﹣2≤a+b≤0，

∵f（x）存在零点x1∈[﹣1，0]，∴g（x）在[﹣1，0]上存在零点x1， ①若a2

﹣4b=0，即b=≥0，

且﹣1≤﹣

≤0，∴0≤a≤2，

∴a+b≥0，又﹣2≤a+b≤0， ∴a=b=0， ②若a2﹣4b＞0，

∵g（x）在[﹣1，0]上存在零点x1， ∴g（﹣1）g（0）≤0，即b（1﹣a+b）≤0，

故而a，b满足的约束条件为：，

作出约束条件表示的平面区域如图所示：

- 16 -

联立方程组∴﹣

≤b≤0．

综上，﹣≤b≤0．

得A（﹣

）．- 17 -

，﹣