初中数学中的一题多变
----培养学生创新思维能力的实践与思考
常德市澧县城关中学 彭宏章
【内容提要】 培养学生的创新思维能力是中学课程标准的基本要求，也是数学教学的重要任务。在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，笔者在教学实践中发现，有效地进行一题多变教学是培养学生创新思维能力的有效途径之一。一题多变能够让学生在无限的空间里实现思维的飞跃，有助于开启学生的应变力、想象力、创造力之门；一题多变以问题探究为中心，通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度。一题多变重在培养学生探究性学习的意识，激发学生的创造性学习的激情。
【关键词】 一题多变 创新思维 实践 思考
一题多变是培养学生创新思维能力的有效途径之一。教学中适当的一题多变，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。下面结合本人的教学实践，谈谈我在教学中诱发一题多变的几种做法。
一、一题多解，拓宽解题思路
一题多解是从不同的视角、不同的方位审视分析同一问题中的数量、位置关系，用不
同解法求得相同结果的思维过程。通过探求同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，从而培养学生的创新思维的意识。
比如，我在课堂上曾举到这样一道例题：如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2， BC=3，CD=1，E是AD中点． 求证：CE⊥BE．
对于这道题目，我不是简单地就题论题，而是对其证法与学生进行了充分的探究。（下面是学生探究得到的几种证法）
证法一：如图2，作CE⊥AB，在Rt△CBF中，由勾股定理易得：CF=，又E是AD的中点，故DE=AE=，分别在Rt△CDE和Rt△BEA中，由勾股定理易得：=3，=6，在Rt△CBE中，由勾股定理的逆定理可得: △CEB是Rt△，即CE⊥BE得证.
证法二：如图3，分别延长CE、BA交于点F，易得△CDE≌△FEF，则CE=FE，AF=1，又AB=2，所以BF=3，又因为BC=3，所以BC=BF，在△BFC中，由三线合一定理得：CE⊥BE．
证法三：如图4，取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=2，则EF=CF=BF,则∠CEF=∠FCE, ∠FEB=∠FBE,在△CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=90°，即CE⊥BE。
通过对本题多种证法的探究，不仅复习了几何当中几个重要定理的用法，而且培养了学生善于从不同角度思考问题的习惯，学生的自主意识和积极性得到了充分的发挥，收到了良好的教学效果。
二、一题多变，挖掘习题涵量
1．变换题设或结论
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
比如，同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，开阔了学生的眼界，活跃了学生的思维。
变换1：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：CE⊥BE．
变换2：在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE．, E是AD中点． 求证： BC=AB+CD。
变换3：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD, CE⊥BE．判断E是AD中点吗？为什么？
变换4：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD， E是AD中点．求证：
2．变换题型
即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。
例如：如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形, 求证；
分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD∽△ECA，从而使问题变得容易解决。
变换一：改为填空题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点，且△ABC是等边三角形, 则线段BC、BD、CE满足的数量关系是 。 本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC分别代换为AB、AC，从而归结为找△ABD与△ECA的关系问题。
变换二：改为选择题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形，则下列关系式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
名为选择题，实为要探究得出图有三对相似三角形，从而得知A、B、C选项均正确，选D。
变换三：改为计算题, 如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是边长为4的等边三角形,且BD=2，求CE的长.
仍然要探究出线段BC、BD、CE满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。
变换四：改为判断题，如图6，若图中∠DAE=135°，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则的结论还成立吗?
把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。
变换五：改为开放题，如图5，已知△ADE中,∠DAE=120°，B、C分别是DE上两点,且△ABC是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？
结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
变换六：改为综合题，如图7，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，并说明理由。
此种变换将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。
由上述六种题型的变换，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。
三、一题多用，培养应用意识
所谓一题多用，指的是那种尽管表面看起来形式并不一致甚至差别很大的问题，但它们的求解思路、解题步骤乃至最后结果却非常相似，甚至完全相同。一题多用与一题多解
是习题教学中相辅相成的两个方面。如果说，一题多解是拓广思路，培养分析变通能力的有效手段，那么一题多用则是使知识系统化，提高归纳综合能力、培养应用意识的有效途径。
已知一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段？
这是七年级数学中我们已解决的问题，易得共有条线段，运用这个数学模型，可以解决很多数学问题。
例如：（1）全班50个同学，每两人互握一次手，共需握手多少次？
（2）甲、乙两个站点之间有5个停靠站，每两个站点之间需准备一种车票，则共需准备多少种车票？
（3）如图8，共有多少个三角形？
（4）如图9，共有多少个角？
（5）n边形共有多少条对角线？
（6）在9名班干中选出两名优秀班干，则甲和乙同时当选的概率是多少？
以上一系列问题，都可以通过建立同一数学模型来解决，不仅培养了学生归纳整理的能力，而且深化了学生建模思想和应用数学模型的意识。
多年的教学实践使我深深地体会到：作为一名数学教师，应加强对例题和习题教学的
研究，通过科学合理地使用教学素材进行一题多变教学，能较好地培养学生思维的广阔性、性和创造性，促使学生形成良好的思维习惯和品质，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更好的环境。
