反比例函数
第2课时
(一)本课目标
1.了解反比例函数图象的形状特征. 2.会画反比例函数的图象.
3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质. 4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.
(二)教学流程
1.复习导入
(1)反比例函数是怎样定义的?
(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件? 2.课前热身
请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画-得最好?
(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象, 形成对反比例函-数图象的初步感形认识.) 3.合作探究 (1)整体感知
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化, 那么反比例函数y= (k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k 的正负发生变化呢?本课我们着重探讨这两个问题.
(2)四边互动 互动1
师:利用多媒体演示幻灯片. 【例1】画出函数y=的图象.
师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法? 这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的
吗?
用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些? 生:逐个举手答复以下问题,达成共识. 师:利用多媒体展现画图过程.
(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表:
──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬── x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │… ──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼── y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │… ──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──
(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.
(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如以下列图:
师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?
生:动手操作,并提出发现的问题. 师:利用多媒体演示.
试一试:在课本图所在坐标系中画出函数y=-的图象. 生:动手画图,交流画图的结果.
654321-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6yy=6x123456x师:请同学们讨论以下问题.
讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数y=的图象有什么不同? (2)反比例函数y=图象在哪两个象限?由什么确定?
生:在小组内展开交流,然后各组推选代表答复提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.
明确概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).
反比例函数y=图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时, 函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.
互动2
y师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.
Ox请同学们观察反比例函数y=和y= -图象上点的运动情况,然后答复以下问题.
(1)对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化?
(2)对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的? y的值随着x的变化将怎样变化?
生:在观察的根底上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.
明确通过观察可知,反比例函数y=有以下性质:(1)当k>0时,函数的图象( 如-图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x 的
增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内, 曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
y是x的反比例函数，当x=2时，y= ,求这个反比例函数的表达式. 师:我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式.同样，我们是不是也可以用待定系数法求反比例函数的表达式呢?
生:可以.
设其表达式为y=，因为当x=2时，y=,所以=，所以k=. 所以这个反比例函数的表达式为y= 互动4
师:利用多媒体演示幻灯片.
反比例函数y=在第一象限内的图象如以下列图,点M、N是图象上的两个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S △MOA与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.
师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)
和(x2,y2),那么S△MOA与x1、y1之间存在怎样的关系?x1·y1的值是多少?S△NOB与x2,y2呢?
生:在讨论交流的根底上,答复以下问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.
明确因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=,得x1·y1=3, S △MOA=OA·MA=,同理S△NOB=,所以S△MOA=S△NOB.
OAMNBxy归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值.
互动5
师:利用多媒体演示.
点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c 按从小到大的顺序进行排列.
生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.
师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题? 生:动手画图,验证各自解答的结果.
明确许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大〞.在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.4.达标反响 (多媒体演示)
(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y= (2)如以下列图,直线y=kx与双曲线y=-相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点C,那么△ABC的面积为 6.
(3)反比例函数y=的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<0A.m<0 B.m>0 C.m>3 D.m<3AOyCBx(4)以下四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D) A.y=2x B.y=x+3 C.y=- D.y= 5.学习小结 (1)内容总结
反比例函数图象特征、画法
性质
(2)方法归纳
画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时, 要注意对应的点是否在同一个象限内.
(三)延伸拓展 1.链接生活
某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm3)之间的以下对应数据:
┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐ │p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│ ├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤ │v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│ └───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘
根据表中提供的信息,答复以下问题:
(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式; (2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少? 2.实践探索 (1)实践活动
收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个. (2)稳固练习
课本第58页练习第1题和第2题和习题第3题. (四)板书设计
课题 反比例函数图象的特征及图象的画法 反比例函数的性质
投影幕
第2课时 三角形的三边关系
1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；
2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)
一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？
问：你能不能给三角形下一个完整的定义？ 二、合作探究
探究点一：三角形按边分类
以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )
解析：
不等边三角形
三角形根
等腰三 只有两边相等的三角形
据边分类
三边相等的三角形〔等边三角形〕角形
应选D.
方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键．
探究点二：三角形中三边之间的关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形 以以下各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm
解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.
方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三
条线段的长度即可．
【类型二】 判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( ) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜xA.
方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合 假设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
三、板书设计 1．三角形按边分类：
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．
2．三角形中三边之间的关系：
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力
