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数学思想方法及其应用
作者：吴晓娜
来源：《青年文学家》2010年第07期
摘要：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段。本文对方程思想、分类讨论思想、函数思想、数形结合思想、转化化归思想这五种思想方法及其应用进行讨论。 关键词：思想方法 问题 规律 转化
[中图分类号]：H09 [文献标识码]：A [文章编号]：1002-2139(2010)-04-00-01
数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。数学思想方法是数学知识的精髓，也是知识转化为能力的桥梁。它在认识上被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是在有关数学活动中积累起来的数学研究和数学问题解决得以完成的途径和手段。数学方法是指数学方面提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想与数学方法紧密联系，它们对数学知识的学习、理论的掌握、问题的解决有重要意义。
一、数学中的方程思想
在解决数学问题时，有一种由未知向已知的转化手段，就是通过设元，构造方程或方程组，然后求解方程。完成未知向已知的转化，这就是方程思想。著名的数学家笛卡尔的方程思想是这样的：实际问题一数学问题一代数问题一方程问题。在巨大的宇宙世界里，存在着等式和不等式。大家都知道，在哪里有等式，在哪里就有方程；在哪里有公式，在哪里就有方程；数学中的求值问题是通过解方程来实现的：其实不等式问题也与方程是近亲，他们的关系很近。但函数与多元方程没有本质的区别，例如函数y=f(x)，可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。我们因此可以这样说，函数的研究离不开方程。在列方程、解方程过程中，都是应用方程思想的时候需要我们着重考虑的。
二、数学中的分类讨论思想
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数学中的分类讨论思想在解答某些数学问题时，经常会遇到很多情况，我们需要对各种情况加以分类、逐类求解，最后综合得到答案，这种方法就是分类讨论法。其实分类讨论是一种逻辑方法，这种方法是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，这种方法体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
在解题过程中引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
A问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。这种分类讨论题型可以称为概念型。 B问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件。或者是分类给出的。这种分类讨论题型可以称为性质型。
c解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。这称为含参型。 我们在解答分类讨论的题时，基本方法和步骤是：第一要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围：第二要确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；第三是要对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；第四是要进行归纳小结，综合得出结论。
例某校组织部分师生外出参观。已知从学校到参观地的全程票价为25元，对于集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择。方案1：所有师生按票价的88％购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80％购票，若你是组织者，请说明选择哪种方案较为合算?分析对于方案2，应对外出人数进行分类讨论。设外出师生的总人数为x人，按方案1购票的总费用为yl元，按方案2购票的总费用为y2元，则有：(1)当O20时，y1=22x，y2=(x一20)x 25 x 80％+20 x 25=20x+100，y1、y2相比，其大小关系要分为以下三种情况：其一，22x>20x+100，这时，x>50，y1.>y2；其二，22x=20x+100，这时x=50，yl=y2；其三，22x50时。y1.>y2选择方案2较为合算。
加强分类思想的教学，对于发展学生思维的缜密性、深刻性和灵活性是很有帮助的。
三、数学中的函数思想
主要是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。数学中的方程思想，主要是指从问题的数量关系入手，有效的运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通
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过解方程(组)或不等式(组)来使问题获的答案。这种方法还实现函数与方程的互相转化、接轨，从而达到解决问题的目的。
四、数形结合思想
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既要分析其代数意义，又要揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，只有充分利用这种结合，巧妙的寻找解题思路，才能使问题化难为易、化繁为简，最后解决问题。“数”与“形”的存在是一对明显的矛盾，在宇宙问万物中。没骨不是“数”和“形”的矛盾的统一。在数学中，有的本身就可以看作是数形的结合。例如；锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；几何中任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
五、数学中的他归思想
这种思想可以帮助我们把陌生的问题化归为熟悉的问题；可以把复杂的问题化归为简单的问题；从而把抽象的问题化归为具体的问题；也可以把疑难的问题化归为易解的问题。
