第一章 函数极限与连续1

第一章 函数极限与连续

高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。

第一节 函数的概念

一、几个基本概念 1 常量与变量

在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a、b、c …… 等表示常量，用小写字母x、y、z、…… 表示变量。

例如：圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。

注意：

1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了；

2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。

2 集合、区间

集合是表示具有同一种属性的全体。

例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。

有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：

开区间：(a, b)={ x | a左半开区间（或右半闭区间）( a, b ]={ x| a1

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( −∞, +∞ )=R；( a, +∞ )={ x| x>a }；[a, +∞)={ x| x≥a }；

(−∞, b)={ x|x如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集：

R —— 实数集；Q —— 有理数集；Z —— 整数集；N —— 自然数集。 有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。

定义1设a是一个实数，δ是正数（通常是指很小的数），数轴上到点a的距离小于δ的点的全体，称为点a的δ—邻域，记为U(a,δ)。即：

U(a, δ)=( a−δ, a+δ )={ x |x−a| <δ }

数集 x 0< |x−a| <δ 称为点a的去心δ—邻域。记为U二、函数的概念

定义2 设x, y是两个变量，D是R上的非空数集，对任意的x∈D，通过某一个确定对应关系（或对应法则）f，在实数集R上有唯一的一个y与之对应，则称f是从D到R上的一个函数（也称为定义在D上的函数），记为：

{}o

(a,δ)

f：D→R，xay

简记为：y=f(x)

，x的取值范围称为函数的定义域（就是本通常把x称为自变量，y称为因变量（或x的函数）

。一般情况下，用Df表示函数的定义域。当取x=x0时，按照对应法则f有y0=f(x0)定义中的D）

与之相对应，并称其为函数在点x0处的函数值；当x在区域D上取遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为Rf 。即

Rf={ y y=f(x), x∈Df }

对于函数概念，以下几点是值得注意的：

1 以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数； 2 函数的实质是对应关系（或对应法则），只要两个变量之间能找到一种对应，我们就说它们之间确定了一个函数；

3 确定函数有两个要素，这就是：定义域与对应关系；

4 函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义的公共范围内进行。

有关函数的相等、函数的定义域、值域；函数的四则运算等概念在中学数学课本中已有介绍，这里就不再复述了。

下面我们来看几个具体的例子：

例1 由关系式 x+y=1 能确定两个变量x与y之间的一种对应关系，可以说是一个函数关

2

2

2

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系，但它不是我们所指的函数。比如x = 0时，相应的y可以等于1，也可以等于-1。其实它们是

y=+1−x2, y=−1−x2这样两段函数，这类函数我们称为多值函数。

例2 函数

⎧x, x≥0

y= x =⎨

⎩−x, x<0

的定义区域为R，值区域为[0, +∞)，它称为绝对值函数，其图像如图1-1。通常这类函数称为分段函数。

所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数，不能理解为两个或多个函数。

例3 函数

⎧1, x>0⎪

y=sgnx=⎨0, x=0

⎪−1, x<0⎩

它的定义区域Df =(−∞, +∞)，值域Rf ={ −1, 0, 1}，称为符号函数，这也是分段函数，记为sgnx，它的图形如图1-2所示。对任何实数x都有下列关系式：x=sgnx⋅|x|成立，所以它起着一个符号的作用。

y

1 图 1-1

例4 狄立克莱函数（Dirchlet)

图 1-2

y=⎨

⎧1, x 为有理数时

⎩0, x 为无理数时

它的定义区域是Df =(−∞, +∞)，值域是Rf ={ 0, 1}。

三、函数的表示法

3

ox

•0 -1o

y

x

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1 解析法（公式法）：把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称之为解析法。这在高等数学中是最常见的函数表示法，它便于我们进行的理论研究。如：例1，例2等。

2 表格法：就是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出。这种表示法有较强的实用价值，比如三角函数表、常用对数表等等。

3 图示法：用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法。比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系。这种方法，几何直观性强，函数的基本性态一目了然，看图就基本上都知道了，但它不利于理论研究。

四、函数的初等性质

微积分学的主要研究对象是函数，既然要对函数进行研究，自然要对函数有哪些基本几何性质有一定的了解，下面我们将逐一进行介绍。

定义3（函数的单调性） 设f ( x )在区间I上有定义，若对任意的x, y∈I，当xf(x)≤f(y)（或f(x)≥f(y)），则称f ( x )在区间I上为单调增加函数（或单调减少函数）；

，则称 若对任意的x, y∈I，当xf(y)）

f ( x )在区间I上为严格单调增加函数（或严格单调减少函数）。

单调增加函数（或单调减少函数）、严格单调增加函数（或严格单调减少函数）统称为单调函数（也称函数具有单调性）。

。如下图所示。 在几何上，单调增加（减少）函数的图形是沿x轴的正向渐升的（或渐降的）

y

y f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)y x

x x1 x2 x

x1 x2 图 1-3

2

图 1-4 图 1-5

例5 函数y=x在区间(−∞, 0]上严格单调递减，而在区间[0, +∞)上却严格单调递增，这在考虑函数的单调性时，是要特别注意的问题。函数的单调性是函数在一个有定义区间内的特征性质，在不同的区间上可能有不同的单调性。即便在各个不同的区间内单调性相同，但在整个定义 域内仍有可能不单调。

比如，函数y=

1

的定义域为(−∞, 0)U(0, +∞)，函数如图1-5所示，它不是单调函数，x

但它在(−∞, 0)或(0, +∞)上分别单调递减。

定义4（函数的有界性）设函数f(x)在区间I上有定义，若存在M > 0，使得对任意x∈I，恒

4

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有

f(x)≤M，则称函数f(x)在区间I上有界，否则称为无界。

如果存在M > 0，使得对任意x∈I，恒有f(x)≤M（或者f(x)≥M），那么称函数f(x)在

区间I上有上界（或下界）。其几何特征如图1-6

显然，f(x)在区间I上有界等价于它在区间I上既有上界又有下界。

图 1-6

有界 有上界 有下界 例如，三角函数y=sinx, y=cosx是有界函数。因为对任意的x∈R,都有

sinx≤1, cosx≤1，因此它们在整个数轴上有界。

1

函数y=在(0, +∞)内无上界，但有下界（0为一个下界）；而在(−∞, 0)内无下界，但有上

x

界（0为一个上界）。它在定义域内是无界的。但是它在任何不包含原点的闭区间上是有界的。

定义5 (函数的奇偶性）设函数f(x)的定义域D关于原点对称，即对∀x∈D,有−x∈D。(如图1-7)

(1) 若对∀x∈D, 有f(−x)=f(x), 则称f(x)为偶函数； (2) 若对∀x∈D, 有f(−x)=−f(x), 则称f(x)为奇函数。

从几何特征来说，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

2

f (x) f (-x) f (x) -x-x x f (-x) 4

x 图 1-7

3

例如：y=x, y=x, y=cos x等等都是偶函数；而y=x, y=sinx等等都是奇函数。 对于定义域相同的函数来说，有如下结论： 偶（奇）函数的和仍为偶（奇）函数； 两个偶（奇）函数的积为偶函数； 一偶一奇两个函数的积为奇函数。

但是，不是任何函数都有奇偶性的，如：y = x+1既不是奇函数也不是偶函数。

定义6 （函数的周期性）设函数f(x)的定义域为D，若存在常数T>0，使得对∀x∈D，有

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x±T∈D，并且有f(x±T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数,并称T是函数f(x)的一个周期。

值得注意的是：一个函数如果是周期函数的话,它就有无穷多个周期。我们通常所说的周期，是指它的最小的正周期。

周期函数一定存在一个周期，它的几何特征是：以一个周期为跨度，把曲线划断，各段曲线再移到一起，它们完全重合。

可是，周期函数不一定存在最小正周期。比如：y = 2就是一个以任意正实数为一个周期的周期函数，由于不存在最小正实数，所以y = 2不存在周期。

五、初等函数 (一) 基本的初等函数

所谓基本初等函数就是指如下函数： 常量函数：y=c； 幂函数：y=x(α≠0)； 指数函数：y=a (0三角函数：y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx； 反三角函数：y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx。

上述函数的基本性质和几何特征中学数学已有比较透彻的讨论，这里就不再一一复述了。 （二）复合函数

在日常生活或生产实践中，表现事物之间的关系往往是错综复杂的，因此在数学中表示自然规律，生产规律的函数结构也是复杂的。通常情况下，我们遇到的函数往往不是基本初等函数，而是由这些基本初等函数所构造的较为复杂的函数。也就是说需要把两个或两个以上的函数组合成另一个新的函数。

如由y=

2

x

αu, u=1−x2，当 x ≤1时，通过变量u就建立了变量x与变量y之间的对应关系，

即y=1−x， x ≤1；这时称y是x的复合函数。

定义7设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=ϕ(x)的定义域是Dϕ，当DfIRϕ≠Φ时，

∀x∈Dfoϕ={ x x∈Dϕ, ϕ(x)∈Df }，有函数ϕ(x)的值在Df的范围内，这样通过变量u就得到

y与x之间的对应关系，称为复合函数。记为

y=f{ϕ(x)} x∈Dfoϕ

其中，y是因变量，u是中间变量，x是自变量。

按定义的要求可知，构建复合函数的前提条件就是：内层函数的值域与外层函数的定义域的交不空。也就是说，内层函数必须有函数值落在外层函数的定义域内。否则就会成为无意义的函数。

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比如：y=u, u=sinx−2，复合起来y=sinx−2在实函数范围内就无意义了。 2

，求f[f(x)]。 2−x

22−

22−x

=2−x

1−x

例6 设f(x)=解 f[f(x)]=

2

=

2−f(x)

它的定义域是(−∞, 1)U(1, 2)U(2, +∞)。 例7 y= y=

2+sin(1+lnx) 是由以下简单函数

u, u=2+sinv, v=1+lnx 复合而成的。

有时在实际应用中既要知道由简单函数构造成复合函数，同时也要会从复合函数中分解为简单函数。

（三）反函数

函数反映的是因变量随着自变量的变化而变化的规律，用另一种语言来说的话，就是：有两个变，另一个是被动变量（因变量y），主动变量一旦取定了，被动变量量，一个是主动变量（自变量x）

也相继唯一确定。但是变量之间的制约是相互的，在我们研究的不同领域里，经常需要更换这两个变量的主次关系，当这种主次关系对换后，仍然成为函数关系，这就是我们所要介绍的反函数。

定义8 设函数y=f(x)的定义域是Df，值域是Rf，若对∀y∈Rf，有唯一的一个x∈Df，使得f(x)=y。这就定义了Rf上的一个函数，此函数称为y=f(x)的反函数。记为 x=f

−1

(y)，

y∈Rf。这时y=f(x)称为直接函数。

由反函数的定义不难发现，y=f(x)存在反函数当且仅当f是Df到Rf的一一对应关系，并且反函数的定义域是直接函数的值域，反函数的值域是直接函数的定义域。

当我们把反函数与直接函数的图像描在同一坐标系下（直角坐标系），我们会发现，两图完全重合。

在数学上，我们总习惯用x表示自变量，用y表示因变量，为了满足习惯记法的需要，最后我们会把反函数x=f

−1

(y)记为y=f

−1

(x)。

既然这样，在几何上，直接函数与其反函数有何关系呢？其实它们的图像关于直线y = x对称。 通常把反函数记为 y=f关于直线y=x对称的。

例如：

−1

(x), f(x)与f

−1

(x)称为互为反函数。它们在同一直角坐标系下是

y=f(x)=x2, x∈[0, +∞) y=f

−1

(x)=x, x∈[0, +∞)(如图1-8)

7

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（四）初等函数

前面已经说过，在实际问题中我们遇到的不仅是基本初等函数，而且往往是较为复杂的函数，也就是指初等函数。

定义9 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的,并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。 如：y=

3y=x2y=xy=x图 1-8

x2−1+log10(1+x)−sin(ln(x3−2))

在高等数学中讨论的函数主要是初等函数。

第二节 数列的极限

从极限产生的历史背景来看，极限是从解决微分学与积分学的实际问题中产生的。在人们的日常生活中，经常用到这样的描述：用市场变化趋势来研究产品需求量的状况；用学校发展的趋势来分析学校未来的前途等等，这种趋势用在数学上就是极限，极限是变量变化的终极状态。

极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决。因此它在微积分学中占有非常重要的地位。

一、极限概念的引入

我国春秋战国时期的《庄子· 天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这就是极限的最朴素思想。

在这个过程中可以试想一下，一根棒子，每天取其一半，尽管永远取不完，可到了一定的时候，还能看得见吗？看不见意味着什么？不就是没了吗？终极的时候，就彻底地没有了。它的终极状态就是零。那么我们如何去理解这个终极状态和零呢？

公元三世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形的周长逼近圆的周长的极限思想来近似计算圆周率π的。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可再割，则与圆合体而无所失矣！”

直到17世纪60年代～18世纪初，牛顿（Newton 12-1727）和莱布尼兹（Leibniz）两人分别从力学问题和几何学问题入手，在前人工作的基础上，利用还不严密的极限方法各自地建立了微积分学，最后由柯西（Cauchy 17-1857）和维尔斯特拉斯（Weierstrass 1815-17）完善了微积分的基础概念—极限。

用现代数学的思想来说，刘徽割圆术中所述的不可再割的情况是不存在的，无论怎么一种割法，都不可能“与圆合体而无所失”，但是，他体现出来的终极思想是无可非议的。

微分学与积分学中还有许多有关极限思想的应用问题，在后面的课程中我们还会有这方面的阐述，在这里我们就不作介绍了。

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二、数列极限 1 数列的概念

定义1 按照一定次序排列起来的一组数就称为数列。 比如：u1, u2, L, un, L 简记为：{un}

其中un称为该数列的通项或一般项。由于数列{un}完全可由其通项决定，故也常简称un为数列。 注：1） 数列分有穷数列和无穷数列，有穷数列是指只含有限项的数列。

比如：1；3；5；7；9这五项数值构成一个有穷数列。对此，本书不作讨论。本书所讨论的数列都是无穷数列。

2） 数列也是函数，它可以看作定义在自然数集N上的函数，即 un=f(n)，

n=1, 2, 3,LL 数列也称为整标函数就是这个道理。

例1 数列1，

1111⎧1⎫，,L,,L 其通项为，可简记为⎨ ⎬ 23nn⎩n⎭

2

例2 数列{un}的通项un=n+1，则数列{un}为：

12+1, 22+1, L, n2+1, L

例3 数列 1，0，1，0，1，0，… 数列在几何上有两种表示 （1）数轴上的表示

数列中每一个数都可用数轴上的一个点来表示，这些点的全体就是数列在数轴上的几何表示。 数列⎨(−1)

⎧

⎩

n−1

1⎫

⎬可表示如下：(如图1-9) n⎭

••• − 1 − 1−1246

图1-9

（2）直角坐标平面上的表示

… … •0

•1153

•1

数列{un}中每一个数都可用直角坐标平 面上的点(n, un)来表示，这些点的全体就 是数列在平面上的几何表示。

比如：{ n }描在直角坐标系上如图 1-10。 下面再看几个数列的例子

图 1-10

9

•

•

•

•

•

•

•

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例4 {un}：1, −1, 1, −1, L, (−1)

n+1

,L；

{vn}：1, 12, 13, L, 1n,L；

22

2

22

{xn}：1, 1, 1, 12, L, 1, 2

12

n2, L；

{yn}：1, 4, 6, 8, L, 3

4

5

2 数列极限的概念

2n

L。 n+1

就拿例4列举的几个数列来看，当n无限增大时，相应项的值的变化情况各不相同，在变化过程中：

数列{un}的一般项un=(−1)数列{vn}的一般项vn=

n+1

在1与−1与之间交替变化，它没有一个确定的终极趋势；

1

的值无限地与0靠近； n2⎧

⎪ 1, n=2k−1⎪

，k = 1, 2, 3,L它没有一个确定的终极趋势； 数列{xn}的一般项xn=⎨

⎪1

⎪2k, n=2k⎩2n

数列{yn}的一般项yn=它最终无限靠近2。

n+1

从上面几个例题可以看出，当n无限增大时，有的数列的值无限地接近一个定数，有的数列则在

定义2 设有数列{un}，如果当n无限增大时，数列相应的项un无限趋近于常数A，则称数列{un}n无限增大的过程中飘浮不定。对于这些现象，用数学语言描述出来就是下列数列极限。

当n趋于无穷时以A为极限，或称数列un收敛于A。一般记为 limun=A，或 un→A, （ n→∞）。

n→∞

这时也简称{un}收敛。

如果数列{un}没有极限(当n→∞时)，称{un}发散。

如上例中数列{vn}的极限为0，记为limvn=0；数列{yn}的极限为2，可记为：limyn=2。

n→∞

n→∞

而数列{un}与{xn}没有极限，即是发散的。

关于极限，有一点是必须明确的，极限是变量变化的终极趋势，也可以说是变量变化的最终结果。因此，可以说，数列极限的值与数列前面有限项的值无关。

比如，某人的目的地是北京，至于他是从武汉出发的，还是从广州出发的，这与它的目的无关，最终到了北京，就算达到目的了。这种比方尽管不严格，但编者认为它有助于读者对上面的说法的理解。

上面给出的数列极限的定义，采用的是描述性方式给出的。为了让读者对极限的分析定义有个初

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步的了解，下面我们给出数列极限的分析定义：

定义3 （“ε−N”语言）设有数列{un}，A是一个常数，如果对∀ε>0，总存在自然数N，当n>N时，恒有

un−A <ε 成立

则称数列{un}当n趋于无穷时存在极限，A称为它的极限值。或者说数列{un}收敛于A，记作

。 limun=A，或un→A,（n→∞）

n→∞

如果数列{un}没有极限，就称数列{un}发散。

下面我们从一个例题分析来解释“ε−N”语言，从而加深对这个概念的理解。

1

，不难看出，当n无限增大时，数列un相应的值与1无限接近。 n

1

如何刻画数列un与1无限地接近呢？当然就是通过 un−1 =的大小来实现了。自然越小就越

n

设有数列un=1+

近。

另一方面， n变到什么时候，才够得上无限大了呢？

比如：要使得 un−1 =

1

<0.01，就可以找到N=100，当n> 100时，其后所有的项n

u101, u102, u103,L与1的距离都小于0.01（这就是说，大于100的n就够大了）；要使得 un−1 =

1

，其以后所有的项<0.001，可以找到N=1000，当n>1000（大于1000的n就够大了）

n

u1001, u1002, u1003,L与1的距离都小于0.001。

更一般地，∀ε>0，要使 un−1 <ε成立（un与1的距离比ε还要小），也就是只要n>

1

<ε，所以n

1

ε就可以了，所以，存在自然数N=⎢⎥，当n>N时（这时n就达到无限大的要求了），

ε⎡1⎤⎣⎦

总有 un−1 <ε。

于是，按分析定义有limun=1

n→∞

例5 观察以下数列的变化趋势，确定它们的敛散性，对收敛数列，写出其极限.。 （1）un=

n1nn+1

（2）un=(−1) （3）un=(−1) n+12n+1

n123n

解（1）un=即, , , L, , L通项un与1之间的距离

n+1234n+1

1n

−1 =，当自变量n无限增大时， un−1 无限接近于0，即相应的项un无限

n+1n+1

un−1 = 11

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趋近于1，故数列{un}收敛 ，且lim

n

=1；

n→∞n+111111nn

（2） un=(−1)即−, , −, L, (−1),L通项un与0之间的距离

2n+13572n+1

n

un−0 = (−1)11

−0 =，当自变量n无限增大时， un−0 无限接近于0，即相应项un

2n+12n+1

n

n→∞

无限趋近于0，故数列{un}收敛 ，且lim(−1)（3）un=(−1)n+1

1

=0； 2n+1

n+1

即1，−1，1，−1，…,(−1),L当n为奇数时，un =1，当n为偶数时，un

= −1，即当n无限增大时，奇数项等于1，而偶数项等于−1，un没有一个固定的终极趋势，因此该数列发散。

3 数列极限的几何解释：

（1）数轴上的解释：若limun=A，那么对于任意给定的正数ε，总存在一个自然数N，使得

n→∞

数列un中第N+1项以后所有项所表示的点，即uN+1, uN+2, uN+3…都落在点A的ε-邻域

(A−ε, A+ε)内(外面的项最多只有N项)。

也就是说，若limun=A，那么数列un对应的点非常密集地“堆积”在点A的周围。(如图1-11)

n→∞

A−ε除有限项外，所有项都在这个区间内。o•••…….. •A+ε•oA图 1-11

（2）直角坐标平面上的解释：若limun=A，那么对于任意给定的正数ε，总存在一个自然数N，

n→∞

使得数列un中第N+1项以后的所有项所表示的点，即(N+1, uN+1); (N+2, uN+2); L都落在直线y=A+ε与y=A−ε之间。(如图1-12)

y=A+εy=A● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y=A−εN图 1-12

12

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三、数列极限的性质

定理1（有界性）若数列{un}收敛，则一定存在M>0，使得对任意的n，有un≤M。即收敛数列必有界。

这是数列收敛的必要条件，如果已知一个数列无界，则它一定不收敛。

比如：n

{}是无界数列，所以它是发散的。

2

反之不一定成立，即数列有界，它不一定收敛。

1−(−1) 比如：数列1，0，1，0，1，0，，…有界，但它无极限。

2

n

定理2（唯一性）若数列{un}收敛，则其极限值唯一。 也就是，如果limun=A, limun=B, 则A = B。

n→∞

n→∞

定理3（保号性）设limun=A, limvn=B, 且A>B，则一定存在自然数N，当n>N时，

n→∞

n→∞

有不等式 un>vn恒成立。

注：这些性质在此不证明，因为要证明它就要用到“ε−N”语言。但在以后学习中经常要用到。 公理 单调有界数列必有极限。

有时也可以叙述为：单调递增有上界（或单调递减有下界）数列必有极限。

注意，单调有界只是数列收敛的充分条件，其中有界是必要的，单调并非必要条件。如数列

⎧(−1)n⎫

⎬收敛，但不单调。 ⎨3+

n⎭⎩

后面将要介绍一个重要极限 lim(1+

n→∞

1n

)=e，该极限的存在性证明就要用此公理。 n

n→∞

定理4（极限的四则运算）设limun=A, limvn=B, k为常数，则

n→∞

1) limkun=klimun=kA

n→∞

n→∞

2) lim(un±vn)=limun±limvn=A±B

n→∞

n→∞

n→∞

3） lim(un⋅vn)=limuu⋅limvn=A⋅B

n→∞

n→∞

n→∞

unAunlimn→∞

4） lim== （B≠0）

n→∞vlimvnBn

n→∞

特别提醒：四则运算法则的应用，是有前提的

其一，参与运算的每一项必须存在极限；否则就会出现类似于

lim

sinn1

=lim⋅limsinn=0⋅limsinn=0的推理错误。

n→∞n→∞nn→∞n→∞n

其二，参与运算的项数必须有限。

13

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否则就会出现类似于

2n⎫12n⎧1

lim⎨2+2+L+2⎬=lim2+lim2+L+lim2 n→∞nn→∞nn→∞nnn⎭n→∞n⎩

=0+0+L+0=0

的计算错误。

其三，分母极限不能为零（即B≠0）

当然如果两个数列都不收敛，它们的和、差、积、商有可能存在极限。 比如：un=n, vn=(−n)当n→∞时都没有极限，但它们的和的极限为0。 再比如：un=vn=(−1)是发散的，但un⋅vn≡1是收敛的。 例6 求lim⎜解 因为lim

n

2

2

⎛k2⎞

+3⎟ （k为常数）

n→∞nn⎠⎝

2kk2

=0, lim3=0, 所以，lim(+3)=0+0=0。 n→∞nn→∞nn→∞nn

12n

例7 求lim(2+2+...+2)。

n→∞nnn

(1+n)n

2

解 上面已经提到，此题就不能直接用四则运算和差的法则，注意到 1+2+3+...+n=所以lim(

n→∞

12n1+2+3+...+n(1+n)n1

++...+)=== limlim

n→∞2n2n2n2n→∞n22n2

111

++...+1⋅22⋅3n(n+1)

例8 求lim(n→∞

)

解 此题也不能直接用性质或运算法则,要进行拆项处理，

因为

111111111

=−, =−, =−

1⋅2122⋅323n(n+1)nn+1

111++...+1⋅22⋅3n(n+1)

所以有lim(n→∞)=lim(1−

n→∞

1

)=1 n+1

n2+5n−2

例9 求lim 2n→∞2n+3

解 因为lim(n+5n−2)=∞, lim(2n+3)=∞，它是

n→∞

n→∞

2

2

∞

未定型， ∞

所以不能直接用商的运算法则进行计算，若用n同除分子分母，则有

2

14

江苏省专转本考试《高等数学》基础教程2012版

52−2

n2+5n−2nn=1 lim=limn→∞n→∞322n2+3

2+2

n

1+

例10 求lim(n+n−

n→∞

2

n2+2)

解 这是“∞−∞”未定型，不能用差的运算法则，像这样含有根式的求极限，通常情况下是用分子有理化的方法。 lim(n+n−

n→∞

2

n+2)=lim

n→∞

2

(n2+n−n2+2)(n2+n+n2+2)

n+n+n+2

n−2n+n+n+2

2

22

2

=lim

n→∞

=

1 2

总结：通过以上几个例题就可以看出，计算数列的极限没有固定的方法，要根据题目本身的特点，相应找到解决它的办法。这里不仅要掌握极限的基本概念和性质，同时还需要一定的技巧。在以后函数的极限中还会继续介绍它的技巧和方法。

第三节 函数极限

数列作为定义在自然数集上的函数，我们讨论了它的极限，即自变量无限增大时，相应的函数值（即相应项的值）的变化趋势；因为数列中的自变量是离散变量，对于函数中连续的自变量而言，我们是否同样可以讨论当自变量连续趋近某个数值时，函数的变化情况呢？这就是我们这节要讲的内容。

一、自变量趋于无穷时的极限 1 x→+∞时的极限

为了和数列的极限相对应，我们先给出自变量趋于正无穷时极限定义。

定义1 若存在常数M>0，函数f(x)在x>M时有定义，当自变量x沿x轴正方向无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当x趋向正无穷大时以A为极限，记作limf(x)= A 或f(x)→A, x→+∞。

x→+∞

例如： lim

1⎛1⎞

=0 ， lim⎜1+⎟=1， lim2−x=0，

x→+∞xx→+∞x→+∞x⎠⎝

这个概念描述的是当自变量朝正无穷远方向变化时，相应的函数值趋近于某个常数的变化趋势。当然，不是所有的函数都有这种性质，比如函数f(x)=x+1，可以看到，当自变量x朝正无穷远方向

15

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变化时（即x→+∞），相应的函数值f(x)=x+1也随之无限增大，不会趋于任何常数，因此这个函数在x趋于正无穷大时没有极限。

2 x→−∞时的极限

定义2 若存在常数M>0，函数f(x)在x< −M时有定义，当自变量x沿x轴负方向无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当x趋向负无穷大时以A为极限，记作limf(x)=A或f(x)→A, (x→−∞)。

x→−∞

例如 lim

1⎛1⎞

=0 lim⎜1+⎟=1， lim2x=0

x→−∞xx→−∞x→−∞x⎠⎝

3 x→∞时的极限

定义3 若存在常数M>0，函数f(x)在 x >M时有定义，当自变量无限远离原点时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)当x趋向无穷大时以A为极限，记作limf(x)=A或

x→∞

f(x)→A, (x→∞)。

例如 lim

111

=0 lim(1+)=1， 而lim=0。 x→∞xx→∞x→∞1+x2x

前面介绍了自变量以三种个不同的方式无限远离原点时的函数极限，它们之间有何关系呢？ 定理1 limf(x)=A的充分必要条件是：limf(x)=limf(x)=A

x→∞

x→−∞

x→+∞

limf(x)=A的几何解释：

x→∞

对于任给的两条直线y=A−ε与y=A+ε（其中ε>0），可找到两条直线x = M在xoy平面上，

和x = -M，使得这两条直线外侧的函数曲线y =f(x)完全落在y=A−ε与y=A+ε两条直线之间。(如图1-13)

y=A+εy=Ay=A−εx=−M图 1-13

16

x=M江苏省专转本考试《高等数学》基础教程2012版

读者可自己给出limf(x)=A与limf(x)=A的几何解释。

x→−∞

x→+∞

以上都是描述性的定义，同样可以给出数学逻辑语言的定义，供读者参照。 我们仅以x→∞为例，其它情况可以仿照给出。

定义3′ 设函数f(x)在 x ≥M上有定义，如果∀ε>0，总存在G>0，当 x >G时，恒有

f(x)−A<ε

x→∞

成立。则称函数f(x)当x→∞时以A为极限，记为 limf(x)=A。

二、自变量趋于有限值时函数的极限 在引入概念之，我们前先看一个例子。

y x2−1

, 函数的定 设函数y=f(x)=

x−1

义域是 x≠1，也就是说在x=1这点没有 定义。但我们关心的是，当自变量x从1的 附近无限地趋近于1时，相应的函数值的变 化情况，它的终极结果是什么？

2 o1 x

图 1-14

。这时称f(x)当x→1其实，当x无限趋近于1时，相应函数值就无限趋近2（如图 1-14所示）时以2为极限。

为此我们可以给出函数在某定点的极限的定义。

当x在U(x0,δ)内无限趋近x0定义4 设函数f(x)在x0的某一去心邻域U(x0,δ)内有定义，

时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称f(x)当x→x0时以A为极限，记作

x→x0

oo

limf(x)=A 或 f(x)→A, (x→x0)。

值得注意的是：

1）limf(x)=A描述的是当自变量x无限接近x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A的

x→x0

一种变化趋势，与函数f(x)在x0点是否有定义无关。

2）在x无限趋近x0的过程中，既可以从大于x0的方向趋近x0，也可以从小于x0的方向趋近于

x0，整个过程没有任何方向。

3）当自变量x与x0无限接近时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A的意义是：当x进入x0

17

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的充分小的去心邻域内，f(x)−A可以小于任意给定的正数，即对于任意给定的ε>0，总可以找到一个δ>0，当x−x0<δ时，都有f(x)−A<ε。

下面我们给出数学上严格的定义，

“δ−ε”语言）设函数f(x)在x0的某一去心邻域U(x0,δ)内有定义，对∀ε>0，定义4′（

o

总存在δ>0，当0<|x−x0|<δ时， 有f(x)−A<ε 恒成立. 则称f(x)当x→x0时以A为极限，记作

x→x0

limf(x)=A 或 f(x)→A, (x→x0)。

x→x0

例1 对x0∈R，讨论limcosx 解 对∀x∈U(x0,

o

π2

)

x+x0x−x0x−x0

， ⋅sin≤2sin

222

x−x0x−x0

， ≤

22

cosx−cosx0=2sin

又当0π2

时，sinx所以有cosx−cosx0≤2

x−x0

=x−x0 2

显然当x→x0，cosx−cosx0→0即cosx无限趋近于cosx0, 因此 limcosx=cosx0

x→x0

同样地有：∀x0∈R，limsinx=sinx0，limc=c(c为常数)，limx=x0。

x→x0

x→x0

x→x0

y=A+ε。x=x0−δx0x=x0+δy=Ay=A−ε图 1-12

18

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x→x0

limf(x)=A的几何意义：

对任意正数ε，在xoy平面上，作两条直线y=A+ε与y=A−ε。总可找到另外两条直线

x=x0+δ和x=x0−δ，使得在这两条直线之间的曲线y=f(x)完全落在两条水平直线之间（如

下图所示）。

有时我们在考察函数时只考虑在x0点左邻域（或它的右邻域内）有定义的情况，为此我们给出函数当x从x0的左侧无限接近于x0和从x0的右侧无限接近于x0时的极限定义。

定义5 设函数f(x)在x0的某个右半邻域(x0, x0+δ)（或左半邻域(x0−δ, x0)）内有定义，当对∀x∈(x0, x0+δ)（或对∀x∈(x0−δ,x0)）与x0无限接近时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，则称函数f(x)在x0点存在右（或左）极限，记作lim+f(x)=A（或lim−f(x)=A）。或

x→x0

x→x0

记为 f+(x0), f−(x0)。这时称A为f(x)在x0的右极限（或左极限）的值。

定理2 limf(x)=A的充分必要条件是：lim+f(x)=A并且lim−f(x)=A。

x→x0

x→x0

x→x0

⎧1+x, 0⎪

例2 讨论函数f(x)=⎨1, x=0 在x=0的极限的存在性。

⎪1−x, −1≤x<0⎩

解 函数f(x)在x=0点的U(0,1)内有定义，当x从0的右侧趋于0时，相应的函数值

o

f(x)=1+x无限趋近于1，即limf(x)=1；当x从0的左侧趋于0时，相应的函数值f(x)=1−x+

x→0

无限趋近于1，即limf(x)=lim−f(x)=1，所以limf(x)=1。 f(x)=1，有lim+−

x→0

x→0x→0x→0

⎧1+x, 0⎪

，容易知道，lim而对于函数f(x)=⎨1, x=0f(x)=−1，lim+f(x)=1，所

x→0−x→0

⎪−1−x, −1以limf(x)不存在。

x→0

五、函数极限的性质

性质1（唯一性）若limf(x)=A，limf(x)=B，则A=B。

x→x0

x→x0

o

性质2（局部有界性）若limf(x)=A，则存在x0去心邻域U(x0,δ)和M>0，使得

x→x0

19

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∀x∈Uo(x0,δ)，有f(x)≤M。

o

性质3（保号性）若limf(x)=A，且A>0(或A<0)，则存在δ>0，使得∀x∈U(x0,δ)，

x→x0

有f(x)>0(或f(x)<0)。

推论1若在x0某个邻域U(x0,δ)内，有f(x)≥0(或f(x)≤0)，且

x→x0

o

limf(x)=A，则A≥0（或A≤0）

x→x0

性质4（四则运算法则）若limf(x)=A, limg(x)=B

x→x0

则 1）lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)=A±B

x→x0

x→x0

x→x0

2）lim(f(x)⋅g(x))=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B

x→x0

x→x0

x→x0

limf(x)

f(x)x→x0A

3）lim== （B≠0)

x→x0g(x)limg(x)B

x→x0

注意：1 以上性质我们只以x→x0方式给出，它对任何其它方式，如：

+−

x→x0, x→x0, x→∞, x→+∞, x→−∞都成立。

2 性质4结论成立的前提要求和数列极限相同，函数f(x)与g(x)的极限必须存在；参与

运算的项数必须有限；分母极限必须不为零等等，否则结论不成立。如

limxsin

x→0

111

=limx⋅limsin=0这个做法是错误的，因为在x→0时，函数sin没有极限。 xx→0x→0xx

x→x0

x→x0

x→x0

推论1 若limf(x)=A，c为常数，则limcf(x)=climf(x)。 推论2 若limf(x)=A，n∈N，则lim(f(x))=(limf(x))=A。

x→x0

x→x0

x→x0

n

n

n

如，limx=x0,则limx=x0。

x→x0

x→x0

nn

特别提醒：推论2不对n取极限，在这个式子里n是常数。 定理3 设函数f(ϕ(x))是由函数y=f(u),u=ϕ(x)复合而成，如果

x→x0

limϕ(x)=u0，且在x0的一个邻域内（除x0外）ϕ(x)≠u0，又limf(u)=A，

u→u0

x→x0

则limf(ϕ(x))=A。

n

n

n

n

如limsinx=sinx0，limx=x0，则limsinx=sinx0。

x→x0

x→x0

x→x0

例3 设多项式函数Qn(x)=a0x+a1x

nn−1

+L+an−1x+an，其中x∈R，证明

20

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x→x0

limQn(x)=Qn(x0)。

证明： limQn(x)=lim(a0x+a1x

x→x0

x→x0

n

n−1

+L+an−1x+an)

x→x0

=lima0x+lima1x

x→x0

x→x0

nn−1

+L +liman−1x+liman

x→x0

=a0x0+a1x0

nn−1

+L+an−1x0+an=Qn(x0)。

n

n−1

例1说明当x→x0时多项式函数Qn(x)=a0x+a1x数在x0的函数值Qn(x0)。

例4 求lim(4x−5x+1)

x→3

2

+L+an−1x+an,的极限就等于这个函

解 lim(4x−5x+1)=4×3−5×3+1=22

x→3

22

例5 设函数P(x)=

Qm(x)

，其中Qm(x)表示m次多项式函数，Qn(x)表示n多项式函数，且

Qn(x)

Qn(x0)≠0，证明limP(x)=P(x0)。

x→x0

证明 由性质4及例1有limP(x)=

x→x0

x→x0

limQm(x)

x→x0

limQn(x)

=

Qm(x0)

=P(x0)。

Qn(x0)

x2+3x−1

例6 求lim

x→12x4−5

解 首先看分母的极限 lim(2x−5)=2⋅1−5=−3≠0，所以同由上例知

x→1

44

x2+3x−112+3⋅1−1lim==−1 44x→12⋅1−52x−5x2+2x−3例7 lim

x→1x2−1

解 首先看分母的极限lim(x−1)=0，所以不能运用商的极限的运算法则，再看看分子的极限，

x→1

2

lim(x2+2x−3)=0，这种两个无穷小量之比的极限通常称为未定型，记为“

x→1

0

”型，由于分子、0

分母在x=1的函数值都为0，说明分子、分母都含有因式x−1。注意到，函数在一点的极限值与函数在这一点的函数值无关，对本例来说，在整个变化过程中，x始终不等于1。因此，可先消去分子分母同为零的因式x−1，然后，再运用极限的运算法则进行计算。

(x−1)(x+3)x+31+3x2+2x−3

limlimlim====2,

x→1(x−1)(x+1)x→1x→1x+11+1x2−1

21

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x2+2x−3

例8 求lim。 2x→∞x−1

解 当x→∞时分子、分母都是无穷大量，我们不能运用商的极限的运算法则，这种两个无穷大量之比的极限，也称为不定式，记为：“幂提出，再进行运算。

∞

”型，对这种形式的极限，首先将分子分母的x的最高次∞

x2+2x−3lim=limx→∞x→∞x2−1

一般地，有如下结论

x2(1+

2323

1+−2−2)

xx=limxx=1

x→∞112

x(1−2)1−2

xx

anxn+an−1xn−1+L+a1x+a0

（an≠0,bm≠0,m, n为正整数）。 例9 求limm−1x→∞bxm+b+L+b1x+b0mm−1x

111

aaL+++10n−1nxnxxx=D 解 limm⋅

x→∞x111

bm+bm−1+L+b1m−1+b0m

xxx111

an+an−1+L+a1n−1+a0n

xxx=an 因为 lim

x→∞111bm

bm+bm−1+L+b1m−1+b0m

xxx1

1) 当nx→∞x

111

an+an−1+L+a1n−1+a0n

xxx=0⋅an=0； D=limxn−m⋅

x→∞111bm

bm+bm−1+L+b1m−1+b0m

xxx1

2) n=m时, limm−n=1

x→∞x

111

an+an−1+L+a1n−1+a0n

xxx=an D=limxn−m⋅

x→∞111bm

bm+bm−1+L+b1m−1+b0m

xxx

an+an−1

3) n>m时, limx

x→∞

n−m

=∞

D=limxn−m⋅

x→∞

an+an−1bm+bm−1

111+L+a1n−1+a0nxxx=∞ 111+L+b1m−1+b0mxxx

综上所述，当an≠0,bm≠0, m,n为正整数时，

22

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⎧0, 当nanxn+an−1xn−1+L+a1x+a0⎪⎪an

=lim⎨, 当n=m m−1x→∞bxm+b+L++xbxb10mm−1⎪am⎪⎩∞, 当n>m

例10 求lim(x+1−

x→∞

2

x2−1)

解 这是“∞−∞”型，先分子有理化，再进行运算.

lim(x+1−x−1)=lim

x→∞

x→∞

22

(x2+1−x2−1)(x2+1+x2−1)

x+1+x−1

2x+1+x−1

2

22

2

=lim

x→∞

=0.

⎧2x2+1, x>0

例11 设函数f(x)=⎨，当b取什么值时，limf(x)存在？

x→0

⎩x+b, x≤0

解 函数f(x)在x=0点左、右两侧的表达式不同，而求x→0时f(x)的极限，要考察x从0的两侧趋于0时相应的函数值的变化情况，因此要分别求在x=0这点的左(右)极限：

x→0

2lim−f(x)=lim(x+b)=b， limf(x)=lim(2x+1)=1， −++

x→0

x→0

x→0

f(x)=limf(x)=A, 因为limf(x)=A存在充分必要条件是lim+−

x→0

x→0

x→0

所以当b=1时, limf(x)存在。

x→0

由以上例题，我们可以得出求函数极限一般方法。在求极限的过程中，分母的极限不能为零, 若为零则想办法去掉使分母为零的因式；有根式的要设法有理化。要注意的是,x→x0是表示x无限地接近于x0，但永远不等于x0。还有很多求极限的方法和技巧在以后课程中会有介绍。

第四节 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量

定义1 若limf(x)=0, 则称f(x)当x→x0时是无穷小量(或无穷小)。

x→x0

注意：1) 同一个函数，在不同的趋向下，可能是无穷小量，也可能不是无穷小量。如 对于f(x)=x−1，在x→1时f(x)的极限为0，所以在x→1时f(x)是一个无穷小量；当x→0时f(x)的极限为 –1，

23

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因而当x→0时f(x)不是一个无穷小量。所以称一个函数为无穷小量，一定要明确指出其自变量的趋向。

2) 无穷小量不是一个量的概念，不能把它看作一个很小很小的（常）量，它是一个变化过程中的变量，最终在自变量的某一趋向下，函数以零为极限。

3) 特别地，零本身看作无穷小量。

4) 此定义中可以将自变量的趋向换成其它任何一种情形（x→x0,x→x0,x→x0，x→∞，

−

+

x→−∞或x→+∞），结论同样成立。以后不再说明。

例1 指出自变量x在怎样的趋向下，下列函数为无穷小量。 （1）y=

12x

； （2）y=x−1； （3）y=a(a>0,a≠1)。 x+1

11

解（1）因为lim=0，所以当x→∞时，函数y=是一个无穷小量；

x→∞x+1x+1

（2）因为limx−1)=0与limx−1)=0，所以当x→1与x→−1时函数y=x−1都是

2

2

2

x→1

x→−1

((无穷小量；

（3）对于a>1，因为lima=0，所以当x→−∞时，y=a为一个无穷小量；而对于

x→−∞

x

x

0x→+∞

函数的极限与无穷小量之间具有密切的关系：

若limf(x)=A，即当x→x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于常数A，也即当x→x0时，

x→x0

相应的函数值f(x)−A无限趋近于常数0，即 lim(f(x)−A)=0，若令α(x)= f(x)−A，则当

x→x0

x→x0时, 相应的函数值α(x)无限趋近于常数0。所以有f(x)=A+α(x)（当x→x0时α(x)

是一个无穷小量）；反之，若函数f(x)可以表示为f(x)=A+α(x)（当x→x0时,α(x)是一个无穷小量），易知lim(f(x)−A)=0，当x→x0时，相应的函数值f(x)−A无限趋近于常数0，即相应

x→x0

的函数值f(x)无限趋近于常数A，故有limf(x)=A。

x→x0

定理1 limf(x)=A的充分必要条件是：f(x)=A+α(x)，其中，当x→x0时α(x)是一个无

x→x0

穷小量。

无穷小量具有以下性质：

定理2 若limf(x)=0, limg(x)=0, c为常数, 则：

x→x0

x→x0

1) limcf(x)=climf(x)=0 (常数与无穷小的乘积仍为无穷小)

x→x0

x→x0

24

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2) lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)=0(简称无穷小的和差仍为无穷小)

x→x0

x→x0

x→x0

3) limf(x)=0, h(x)在U(x0,δ)内是有界函数，则limf(x)h(x)=0（简称无穷小量与有

x→x0

x→x0

o

界变量的乘积仍为无穷小）

4) limf(x)g(x)=limf(x)⋅limg(x)=0（两个无穷小的乘积仍为无穷小）

x→x0

x→x0

x→x0

推论1 有限个无穷小量的和（差）仍为无穷小量。 推论2 有限个无穷小量的积是无穷小量。

注意：无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。如当n→∞时但lim(

n→∞

12n,,L,都是无穷小量，n2n2n2

nn(n+1)112

lim++L+)==。 n→∞2n2n2n22n2

2x

=2，

x→0x

x与2x都是无穷小量，两个无穷小量的商不一定是无穷小量。比如：当x→0时，但lim

所以当x→0时

2x

不是无穷小量。 x

1

是无穷小量，而函数x

有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小。如当x→∞，函数

11

cosx, cos, sinx, sin，都是有界函数，根据定理2知：

xx

lim

111111

cosx=limcos=limsinx=limsin=0。 x→∞xx→∞xx→∞xxx→∞xx

二、无穷大量

考察当x→0时，函数f(x)=无限增大，也就是对于任意

11

的变化情况。在自变量无限接近于0时，函数值的绝对值 xx

给定的正数M，总存在一个正数δ，当

1

0M。

x

定义2 设函数f(x)在x0点的去心邻域U(x0,h)内有 定义，当自变量x无限地趋近于x0时，相应的函数绝对值

图 1-15

0

f(x)无限增大，则称函数f(x)在x趋近于x0时为一个无穷大量。若相应的函数值f(x)（或

−f(x)）无限增大，则称函数f(x)在x趋近于x0时为一个正(或负)无穷大量。分别记为

x→x0

limf(x)=∞，limf(x)=+∞，limf(x)=−∞等。

x→x0

x→x0

25

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易知lim+

x→1

111

lim=+∞,lim=−∞,=∞。 −x→1x→1x−1x−1x−1

无穷大量描述的是一个函数在自变量的某一趋向下，相应的函数值的变化趋势，即f(x)无限增大。同一个函数在自变量的不同趋向下，相应的函数值有不同的变化趋势。如对函数

1

，当x→0时，x

它为无穷大量，；当x→1时，它以1为极限。因此称一个函数为无穷大量时，必须明确指出其自变量的变化趋向，否则毫无意义。

注意：

1 无穷大量也不是一个量的概念，它是一个变化的过程。反映了自变量在某个趋近过程中，函数的绝对值无限地增大的一种趋势。

2 无穷大量与无界函数的区别：一个无穷大量一定是一个无界函数，但一个无界函数不一定是一个无穷大量。

无穷大量与无穷小量之间的关系：

定理3 1）若limf(x)=0，且对∀x∈U(x0,δ)f(x)≠0，则lim

x→x0

o

x→x0

1

=∞； f(x)

2）若limf(x)=∞，则lim

x→x0

x→x0

1

=0。 f(x)

定理4 limf(x)=A（A≠0）且limg(x)=∞，则limf(x)g(x)=∞。

x→x0

x→x0

x→x0

，根据定理知lim证明 由limf(x)=A（A≠0）

x→x0

x→x0

11

=。 f(x)A

由limg(x)=∞，根据定理4知lim

x→x0

x→x0

1

=0， g(x)

由定理2，有lim

x→x0

1

=0，所以limf(x)g(x)=∞。

x→x0f(x)⋅g(x)

例2 指出自变量x在怎样的趋向下，下列函数为无穷大量。 （1）y=

1

； （2）y=logax(a>0,a≠1) x−2

x→2

x→2

解（1）因为lim(x−2)=0,根据无穷小量与无穷大量之间的关系有lim

+

1

=∞； x−2

+

（2）若01，因为当x→0

+

26

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时，logax→−∞；当x→+∞时, logax→+∞

所以当x→0时，函数logax为负无穷大量，当x→+∞时, 函数logax为正无穷大量。

+

第五节 两个重要极限

在极限理论中，有两个重要极限

sinx⎛1⎞

1） lim， 2） lim⎜1+⎟

x→∞x→0xx⎠⎝

本节主要讨论它们的存在性及其基本应用。

一、收敛准则I（夹逼定理）

设f(x), g(x), h(x)在x0点的去心邻域U(x0,δ)内有定义，且满足： 1） 对∀x∈U(x0,δ) 有g(x)≤f(x)≤h(x) 2） limg(x)=limh(x)=A

x→x0

x→x0

x

o

0

则 limf(x)=A

x→x0

说明：上述准则仅以x→x0类型的极限给出，对于其他各种类型的极限，本定理仍然成立。特别，当定理中的三个函数换成三个数列时，定理也成立。

下面运用准则I证明两个重要极限的存在性。

二、两个重要极限

sinx

=1。

x→0x

sinx

证明 因为函数是偶函数，

xsinx

所以只证明lim=1的情形。

x→0+x

极限 I lim先考虑0BExOAπ2

的情形。如图，

图 1-16 ΔOAB的面积 < 扇形OAB的面积 < ΔOAE的面积，

x1111sinx<，cosx<<1, 所以有 sinxsinxcosx222x

1sinx

又 limlimcosx=1，所以 =1，根据 夹逼定理，有lim=1，

x→0+x→0+cosxx→0+x

当−

π2

π2

，并且x→0⇔y→0

−+

，所以，

27

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x→0

lim−

sinxsiny

=lim+=1 y→0xy

综上述有 lim

sinx

=1。

x→0x

0sinx

”型；（2）自变量x应与函数的x一致。 0x

这个极限在形式上的特点是：（1）它是“这个极限的一般形式为：lim例1 求lim

sin∇

=1。

∇→0∇

sin3x

。

x→0x

u

，当x→0时，u→0有 3

解 令u=3x，则x=

lim

sinusin3xsinu

=lim=3lim=3

x→0u→0u→0uxu

3

sin3xsinu

通过变量替换成为，极限中的x→0同时要变为u→0。 xu

sin3xsin3xsin3x

有时可以直接计算，lim=lim3=3lim=3

x→0x→03x→0x3x3x

注意：函数例2 求lim

sinαx

（α≠0,β≠0)

x→0sinβx

解 lim

sinαxsinαxsinαxβxααβx

=lim(⋅⋅)=⋅lim⋅lim

x→0sinβxx→0x→0x→0αxsinβxββαxsinβx

=

sinαxαβxα⋅lim⋅lim= βαx→0αxβx→0sinβxβsinx

x→ππ−x

0

解 虽然这是“”型的，但不是x→0，因此不能直接运用这个重要极限。

0

令t=π−x，则x=π−t，而x→π⇔t→0，因此，

sinxsin(π−t)sint

=lim=lim=1 lim

x→ππ−xt→0t→0tt1−cosx

例4 求lim

x→0x2

例3 求lim

xx⎞⎛

2sin()sin⎟11−cosx1⎜22⎜⎟解 lim== lim⋅=lim22x→0x→0x→0x22⎜xx⎟

⎜⎟⎝2⎠

2

2

28

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tankx

(k为非零常数)

x→0x

sinkxsinkxktankx

解 lim=lim=lim(⋅)=k

x→0x→0x⋅coskxx→0kxcosxx

1x

极限II lim(1+)=e

x→∞x

例5 求lim

⎛1⎞

首先证明数列lim⎜1+⎟存在极限。

n→∞

⎝n⎠⎛1⎞

令an=⎜1+⎟，用二项展开式展开，得

⎝n⎠

1n(n−1)⎛1⎞n(n−1)L(n−k+1)⎛1⎞

an=1+n⋅+⋅⎜⎟+L+⎜⎟+L

n2!nk!⎝n⎠⎝⎠n(n−1)L2⋅1⎛1⎞

+⋅⎜⎟

n!⎝n⎠

=1+1+

n

n

n

2k

1⎛1⎞1⎛1⎞⎛2⎞

⎜1−⎟+⎜1−⎟⋅⎜1−⎟+L 2!⎝n⎠3!⎝n⎠⎝n⎠

+

1⎛1⎞⎛2⎞⎛k−1⎞

⎟+L ⎜1−⎟⋅⎜1−⎟L⎜1−

k!⎝n⎠⎝n⎠⎝n⎠

1⎛1⎞⎛2⎞⎛n−1⎞

⎟， （1） ⎜1−⎟⋅⎜1−⎟L⎜1−

n!⎝n⎠⎝n⎠⎝n⎠

+

于是，

an+1=1+1+

1⎛1⎞1⎛1⎞⎛2⎞

⎟+L ⎟⋅⎜1−⎟+⎜1−⎜1−

2!⎝n+1⎠3!⎝n+1⎠⎝n+1⎠

+

1⎛1⎞⎛2⎞⎛k−1⎞

⋅−−11⎟+L ⎟L⎜1−⎟⎜⎜

k!⎝n+1⎠⎝n+1⎠⎝n+1⎠1⎛1⎞⎛2⎞⎛n−1⎞

⎟ ⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−

n!⎝n+1⎠⎝n+1⎠⎝n+1⎠1⎛1⎞⎛2⎞⎛n⎞

⎟ ⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−

(n+1)!⎝n+1⎠⎝n+1⎠⎝n+1⎠

kk<1−， （k=1, 2, L, n），并且an+1比an多一项，所以，an+

+

注意到，1−

即an是单调递增数列。

另一方面，由（1）式得

29

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an<1+1+

1111⎞⎛1⎛1⎞⎛11⎞

−⎟<3 ++L+<1+1+⎜1−⎟+⎜−⎟+L+⎜

2!3!n!⎝n−1n⎠⎝2⎠⎝23⎠

n→∞

所以，an是单调有界数列。于是，liman存在。由于极限值是一个无理数，我们记它为：

⎛1⎞

lim⎜1+⎟=e (e=2.718281828459045.....) n→∞

⎝n⎠

⎛ 1 ⎞

再证明lim⎜1+⎟=e

x→+∞x⎠⎝

当x>0时，令n=[x]（即x所包含的最大的整数），则n≤xx

n

1111n11

<1+≤1+，且(1+)≤(1+)x≤(1+)n+1, n+1xnn+1xn

1n1n+1−1

又 lim(1+)=lim(1+)

n→+∞n→+∞n+1n+1

1n+11−1

=lim[(1+)⋅(1+)=e, n→+∞n+1n+1

111

lim(1+)n+1=lim[(1+)n⋅(1+)]=e n→+∞n→+∞nnn另外，x→+∞⇔n→∞，由夹逼定理

于是 1+

⎛1⎞

lim⎜1+⎟=e x→+∞x⎠⎝

当x<0时，令y=−x，并且x→−∞⇔y→+∞，于是，

x

1y−11111−y−y1y

(1+)x=(1−)−y=()=(1+)=(1+)(1+)

xyyy−1y−1y−11y−11⎛1⎞

所以，lim⎜1+⎟=lim(1+)(1+)=e，

x→−∞y→+∞xy−1y−1⎠⎝⎛1⎞

故 lim⎜1+⎟=e (2)

x→∞x⎠⎝

在（2）式中，令t=

x

x

1

，则x→∞时，t→0，可得到重要极限的另一种形式： x

lim(1+t)=e (3)

t→0

1Δ1t

重要极限II的一般形式为: lim(1+Δ)

Δ→0

=e， lim(1+

Δ→∞

1Δ

)=e Δ

30

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例6 求lim(1+

x→∞

1kx) x

1kx1

)=[lim(1+)x]k=ek

x→∞x→∞xx

1x

例7 求lim(1−)

x→∞x

11

解法1 令t=−,则x=−；当x→∞时，t→0

tx

解 lim(1+

1

lim(1−)x=lim(1+t)

t→0x→∞x

−1

t

=lim[(1+t)]=e−1

t→0

−x⋅(−1)

1t−1

1x−1⎤⎡

解法2 lim(1−)=lim⎢1+()⎥

x→∞x→∞xx⎦⎣

这个结论也可以作为公式来用。

例8 求lim(

=e−1

2x+1x

)

x→∞2x−1

2x+1x2x

解法1 lim()=lim(1+),

x→∞2x−1x→∞2x−12u+2

令u=，则x=；当x→∞时，u→0

2x−12u2x+1x

lim()=lim(1+u)2u=lim[(1+u)u]

u→0u→0x→∞2x−1

解法2

u+2

1

u+2

2

=e

2x+1x2x2lim()=lim(1+)=lim(1+)

x→∞x→∞2x−1x→∞2x−12x−1

注，在以后的解题中常常用此方法更为简便。

例9 证明lim

2x−12

⋅⋅x22x−1

=e

x→∞2x−1

lim

2x

=e

ln(1+x)

=1

x→0x

1

1

ln(1+x)

证明 lim=limln(1+x)x=lnlim(1+x)x=lne=1

x→0x→0x→0xex−1

例10 证明lim=1

x→0x

证明 令t=e−1则x=ln(1+t)；当x→0时，t→0

x

ex−1t=lim=1 lim

t→0x→0xln(1+t)

注：例10、例11可作为公式使用。

31

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ax−a−x

例11 求lim

x→0x

a2x−11ax−a−xa2x−1a2x−1

解 lim=lim⋅limx=lim， =limxxx→0x→→0→0→00xxxxxx⋅aa

令u=a

2x

−1，则x=

11ln(1+u)

loga(1+u)=;当x→0时，u→0。 22lna

ax−a−x2ulna

lim=lim=2lna

u→0ln(1+u)x→0x

第六节 函数的连续性

一、连续函数的概念

在自然界中有许多现象都是连续不断地变化的，如气温随着时间的变化而连续变化；又如金属轴

的长度随气温有极微小的改变也是连续变化的等等。这些现象反映在数量关系上就是我们所说的连续性。函数的连续性反映在几何上就是看作一条不间断的曲线；下面给出连续函数的概念。

定义1 若自变量从初值x0变为终值x时，差值x−x0称为自变量x的增量（通常称为改变量），记为Δx，增量Δx可正可负。

设函数y=f(x)，当自变量x在x0点有一个改变量Δx时，相应函数f(x)的值从f(x0)变为

f(x0+Δx)，则称f(x0+Δx)−f(x0)为函数的增量（或改变量），

记作Δy，或Δf(x)

通常使用改变量时，用下列形式：若Δx=x−x0，则x=x0+Δx，

Δy=f(x)−f(x0)或Δy=f(x0+Δx)−f(x0)

f(x)=f(x0)+Δf(x)

定义2 设函数y=f(x)在x0的某一个邻域U(x0,δ)内有定义，若

Δx→0

lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0 （或limΔy=0）

Δx→0

则称函数f(x)在点x0处连续.

由于 lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=lim[f(x)−f(x0)]

Δx→0

x→x0

=limf(x)−f(x0)=0

x→x0

32

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可得到函数y=f(x)在点x0处连续的下列等价定义：

定义3设函数y=f(x)在x0的某一个邻域U(x0,δ)内有定义，若limf(x)=f(x0)，则称函数

x→x0

y=f(x)在点x0处连续。

由定义可知，一个函数f(x)在点x0连续必须满足下列三个条件（通常称为三要素）： （1）函数y=f(x)在x0的一个邻域有定义，即有确定的函数值。 （2）lim−f(x)=lim+f(x)=A，即有极限

x→x0

x→x0

（3）A=f(x0)

注意：1 函数y=f(x)在x0点有极限并不要求其在x0点有定义，而函数y=f(x)在点x=x0

连续，则要求其在x0点本身和它的邻域内有定义。

2 如果三个条件有一个不满足，则函数f(x)在x0点不连续。 用“δ−ε”语言描述，就得到以下定义。

定义4 设函数f(x)在x0点的邻域内有定义，对∀ε>0, 总∃δ>0, 当x−x0<δ时，有

f(x)−f(x0)<ε成立，则称函数f(x)在x0点连续。

相应于函数在点x0处的左、右极限的概念，可以给出函数在x0点左（右）连续的定义。 定义5 设函数f(x)在点x0点左邻域（或右邻域）内有定义，若limf(x)=f(x0) (即−

x→x0

f−(x0)=f(x0)）

或 limf(x)=f(x0) （即f+(x0)=f(x0)） +

x→x0

则称函数y=f(x)在点x0处左（右）连续。

定理1 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是：函数f(x)在点x0处左连续且右连续。即

x→x0

limf(x)=f(x0)⇔lim+f(x)=lim−f(x)=f(x0)

x→x0

x→x0

定义6 若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续。若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在点a右连续，在点b左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

33

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若函数f(x)在它的定义域内每一点都连续，则称f(x)为连续函数。

⎧x2, x≥1⎪

例1 证明函数f(x)=⎨1在x=1处连续。

x, 0<<1⎪⎩xf(x)=limf(x)=lim证明 因为limx=1，lim++−−

x→1

x→1

2

x→1x→1

1

=1，f(1)=1, x

故有limf(x)=f(1)=1，所以函数f(x)在1处连续。

x→1

1⎧

⎪xcos+1, x≠0

例2 证明函数f(x)=⎨ 在x=0处连续。 x

⎪⎩1, x=0

证明 因为limf(x)=lim(xcos

x→0

x→0

1

+1)=1，f(0)=1, x

有limf(x)=1=f(0)，所以函数f(x)在x=0处连续。

x→0

⎧x2, x≥1⎪

例3 证明函数f(x)=⎨sinx在x=1处不连续。

x, 0<<1⎪⎩xf(x)=limf(x) =lim证明 因为limx=1，lim++−−

x→1

x→1

2

x→1x→1

sinx

=sin1, x

所以limf(x)不存在,故函数f(x)在1处不连续。

x→1

注意：对于讨论分段函数f(x)在分段点x=a处连续性问题，如果函数f(x)在x=a左、右两边的表达式相同，则直接计算函数f(x)在x=a处的极限，如果函数f(x)在x=a左、右两边的表达式不相同，则要分别计算函数f(x)在x=a处的左、右极限，再确定函数f(x)在x=a处的极限。

二、连续函数的运算性质

定理2（四则运算）设函数f(x)与g(x)在x0处连续，则 1）f(x)±g(x),

f(x)⋅g(x)在x0处连续；

2） 当g(x0)≠0时，

f(x)

在x0处连续。 g(x)

根据函数连续的定义及函数的和差积商的极限运算法则，可给出上述定理的证明。

证明：就乘积的情形加以证明，已知limf(x)=f(x0)，limg(x)=g(x0)，

x→x0

x→x0

34

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则limf(x)g(x)=limf(x)⋅limg(x)=f(x0)⋅g(x0)，即函数f(x)g(x)在x0处连续。

x→x0

x→x0

x→x0

其它情形读者作为练习自行完成。

定理3 若函数u=ϕ(x)在x0处连续， u0=ϕ(x0)，函数y=f(u)在u0处连续，则复合函数

y=f(ϕ(x))在x0处连续。

如u=sinx在x=1处连续,y=u在sin1处连续,则复合函数y=(sinx)在x=1处连续。 定理4 若函数y=f(x)在某区间上严格单调且连续，则其反函数y=f严格单调且连续。

定理5 若limϕ(x)=u0,limf(u)=A，则

x→x0

u→u0

x→x0

−1

2

2

(x)在相应的区间上也

limf[ϕ(x)]=limf(u)=A。

u→u0

事实上，由于当x→x0函数ϕ(x)的极限与ϕ(x)在x0处有无定义无关，因此不管函数ϕ(x)在x0

处的值是不是u0，可通过重新定义ϕ(x0)=u0，使得函数u=ϕ(x)在x0处连续，通过同样的方法，定义limf(u)=A=f(u0)，也可使数y=f(u)在u0处连续，根据定理4，复合函数y=f(ϕ(x))在

u→u0

x0处连续，即

x→x0

limf[ϕ(x)]=f(ϕ(x0))=f(u0)=A

当x→x0换成其它的趋向时，这个定理也成立；以下相同。

推论1 若limϕ(x)=u0,函数y=f(u)在u0处连续，则

x→x0

limf[ϕ(x)]=f[limϕ(x)].

x→x0

x→x0

例4 求limx+x−1

x→1

2

解 因为函数y=

x→1

x2+x−1是由y=u与u=x2+x−1复合而成的，又

lim(x2+x−1)=1,y=u在u=1处连续，所以 limx2+x−1=lim(x2+x−1)=1=1.

x→1

x→1

2x2−x

。 例5 limln2

x→∞x+1

2x2−x2x2−x解 y=ln2是由y=lnu与u=2复合而成，因为

x+1x+1

35

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2x2−x2x2−x2x2−x

=2，y=lnu在u=2处连续，所以limln2=lnlim2）=ln2。 lim2

x→∞x+1x→∞x→∞x+1x+1

三、初等函数的连续性

结论:基本初等函数、初等函数在其定义区间内连续。 注意：1）基本初等函数、初等函数在其定义域内不一定连续。

比如：曲线y=x在x=0处是断开的。函数y=x的定义域本身都是分离的，怎么谈得上在定义域内连续呢？

2）说函数在某点连续，一定是在该点的邻域内讨论的，在孤立的点不存在连续的概念。如

−1

−1

y=sinx−1

3）分段函数不一定是初等函数.

⎧x,x≥1⎪

例6 已知f(x)=⎨1，求limf(x)。

x→0,x<1⎪⎩x−1

解 当x<1时f(x)=

1

在x=0处连续，所以 x−1

11

limf(x)=lim==−1 x→0x→0x−10−1

x2+3−2

解7 求lim

x→1x−1

解 当x→1时，分母、分子的极限都为零，此极限为理化。

0

型，要设法消去为零因式，首先分子有0

(x2+3−2)(x2+3+2)x2+3−2

lim=lim

2x→1x→1x−1(x−1)(x+3+2)

=lim

x→1

x2−1(x−1)(x2+3+2)

=lim

x→1

x+1x2+3+2

=

1

。 2

四、间断点

定义7 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，在x0可有定义也可无定义，若函数f(x)在点x0处不连续，则称点x0是函数f(x)一个间断点或不连续点。

由函数f(x)在点x0连续的定义可知，函数f(x)在点x0处不连续应至少有下列三种情形之一：（1）f(x)在点x0无定义；（2）limf(x)不存在；（3）limf(x)≠f(x0)。

x→x0

x→x0

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下面以具体的例子说明函数间断点的类型。

⎧x+1,x≥0

，讨论在点x=0处的连续性。 例8 设函数f(x)=⎨

x−1,x<0⎩

解 虽然f(0)=0，但limf(x)=lim−(x−1)=−1， −

x→0

x→0

limf(x)=lim(x+1)=1， ++

x→0

x→0

即f(x)在x=0 处左、右极限存在，但不相等，故limf(x)不存在，函数f(x)在点x0处是间断的。

x→0

见图 1-17，这种类型的间断点称为跳跃间断点。

1

o−1

图 1-17

例9 设函数f(x)=

o1·图 1-18

1

，讨论在点x=0处的连续性。 x

1

=∞，称这类间断点为无x→0x

解 函数f(x)在x=0无定义，x=0是函数f(x)的间断点，又lim穷间断点。

例10 设函数f(x)=sin

1

，讨论f(x)在点x=0处的连续性。 x

x=0是函数f(x)的间断点。解 函数f(x)在x=0无定义，当x→0时，相应的函数值在−1与1

之间振荡，limsin

x→0

1

不存在，这种类型的间断点称为振荡间断点。 x

⎧x, x>1⎪

例11 设函数f(x)=⎨0, x=1，讨论在点x=1处的连续性。

⎪x2, x<1⎩

f(x)=lim解 函数f(x)在x=1有定义，f(1)=0，limx=1， −−

x→1

x→1

x→1+

2

limf(x)= limx=1，故limf(x)=1，但limf(x)≠f(1)，所以x=1是函数f(x)的间断点。+

x→1

x→1

x→1

（如图1-18）

如果重新定义f(1)，使f(1)=1，函数f(x)将成为一个新函数g(x)

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⎧x,x>1⎪

g(x)=⎨1,x=1，显然g(x)在点x=1处是连续的。这种左、右极限相等的间断点，称为可去间断

⎪x2,x<1⎩

点。函数g(x)称为函数f(x)的连续延拓函数。一般地，若x0是函数f(x)一个可去间断点，可通过重新定义在间断点的值（若函数在这间断点没有定义，可补充定义这点的函数值），生成f(x)的连续延拓函数g(x)，即

⎧⎪ f(x), x≠x0

g(x)=⎨

limf(x), xx=0⎪⎩x→x0

若f(x)在x0的左、右极限都存在，则称x0为f(x)第一般情况下，函数f(x)的间断点x0分为两类：一类间断点，在第一类间断点中，若f(x)在x0的左、右极限相等，则x0为可去间断点；若f(x)在

x0的左、右极限不相等，则x0为跳跃间断点。不是第一类间断点的间断点，称为第二类间断点。如

无穷间断点，振荡间断点。

例12 求函数f(x)=⎨

⎧sinx, x≥0

的间断点，并指出间断点的类型。

x+1, x<0⎩

解 函数f(x)的定义域为R，考察f(x)在分段点的极限。

x→0−

limf(x)=lim−(x+1)=1，

x→0x→0

limf(x)=limsinx=0, ++

x→0

因为函数f(x)在x=0的左、右极限都存在，但不相等，所以x=0是f(x)的第一类间断点。

x2−4

例13 求函数f(x)=2的间断点，指出间断点的类型，若是可去间断点，写出函数的

x−5x+6

连续延拓函数。

解 初等函数f(x)在x=2与x=3处无定义，故x=2与x=3是f(x)的间断点。对于x=2，

(x−2)(x+2)x+2x2−4

=lim=lim=−4 lim2

x→2(x−2)(x−3)x→2x−5x+6x→2x−3

所以x=2是f(x)的可去间断点。其连续延拓函数为：g(x)=⎨

⎧f(x), x≠2

−4, x=2⎩

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(x−2)(x+2)x+2x2−4

limlim对于x=3，lim ===+∞

x→3+x2−5x+6x→3+(x−2)(x−3)x→3+x−3

所以x=3是f(x)的第二类间断点.

五、闭区间上连续函数的性质

定理6（最值性） 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上可同时取得最大值与最小值。

显然函数f(x)在闭区间[a,b]上有界。这个定理中重要的两个条件是“闭区间[a,b]”与“连续”，缺一不可。如函数y=

1

在区间(0, 1)连续，但不能取得最大值与最小值。必须注意定理的条件是x

充分而非必要的条件。即不满足这两个条件的函数也可取得最大值与最小值。比如狄利克雷函数，处处不连续，但它有最大值1，也有最小值0。

定理7（零点定理）若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

定理8（介值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，c为 介于f(a)与f(b)的任意数，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=c。

由定理6与定理8知，对于在闭区间[a,b]上连续函数f(x)，可取得介于其在闭区间[a, b]上的最大值与最小值之间的任意一个数。

例14 证明方程x−2sinx=1至少有一个正根小于3。

证明 设f(x)=x−2sinx−1，因为f(x)为初等函数，在其定义区间

(−∞, +∞)内连续，所以, f(x)在[0,3]上连续。又

f(0)=−1<0, f(3)=3−2sin3−1>0, 根据零点定理, 在(0,3)内至少存在一个ξ，使得f(ξ)=0, 即方程x−2sinx=1至少有一个正根小于3。

第七节 无穷小量的比较

无穷小量的比较是研究两个无穷小量趋于零的快慢速度问题。我们根据两个无穷小量比值的极限来判定这两个无穷小量趋向零的快慢程度。

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下面的定义都是对自变量x无限地趋近于x0来叙述的，对其它情形如：

+−

x→x0, x→x0, x→∞, x→+∞, x→−∞ 同样适用。

定义1 设limα(x)=0，limβ(x)=0

x→x0

x→x0

若 lim

x→x0

α(x)

=l（l为常数） β(x)

1）若l=0，则称α(x)为β(x)当x→x0时的高阶无穷小，记作

α(x)=o(β(x)), x→x0

同时也称β(x)是α(x)的低价无穷小。

2) 若l≠0，则称α(x)与β(x)当x→x0时是同阶无穷小量，记作

α(x)=O(β(x))， 当x→x0

特别，当l=1时，则称α(x)与β(x)当x→x0时是等价无穷小量，记作

α(x)~β(x)， 当x→x0

例如 当x→0时，1−cosx与x都为无穷小量， 由于lim

1−cosx1−cosx

=0, lim=lim20x→0x→x→0xx

2sin2

xx

sin

2)2=1, 2=lim1(

x→02x2x2

2

1−cosx

=1，所以当x→0时，1−cosx是x的高阶无穷小量，x是1−cosx的低阶无穷小量，

x→012

x2

1

1−cosx与x2是同阶无穷小量，1−cosx与x2是等价无穷小量。

2lim

本书中常用的等价无穷小量有：

当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，

1

ln(1+x)~x，ex−1~x，1−cosx~x2。

2

定义2 若x→0时，α(x) 与x（k>0,k为常数）是同阶无穷小量，则称α(x)为x当x→0时的k阶无穷小量。

。 例1 证明x→0时，(1+x)−1~nx（n∈N）

nnn−1n−110

−1Cnx+Cnx+L+Cnx+Cn(1+x)n−1

=lim 证明 lim

x→x→00nxnx

n

k

40

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nnn−1n−11Cnx+Cnx+L+Cnx=limx→0nx

nn−1n−1n−221

Cnx+Cnx+L+Cnx+Cn

=lim=1, x→0n

所以当x→0时， (1+x)−1~nx。

这个结论可以当成一个公式，如当x→0时，(1+sinx)−1~nsinx 一般地，当Δ→0时，(1+Δ)−1~nΔ。 例2 当x→0时，e解 令t=

x

n

n

n

−1 是x的几阶无穷小量？

x，则x=t2；当x→0时，t→0。

t

t

x−1=e−1，当t→0时，e−1 ~t，即当x→0时，e

1x所以当x→0时，e−1 是x的阶无穷小量。

2

例3 当x→0时，x−x是x的几阶无穷小量？ 解 x−x=x(x−1)，当x→0时，x−1 →−1， 所以当x→0时，x−x是x的

23

12

23

12

12

16

16

23

12

e

x−1 ~x,

12

1

阶无穷小量。 2

等价无穷小量在计算极限的问题中有着重要的作用。 在以下定理中，α, α, β, β都为无穷小量。 定理1 设α~α，β~β,当x→x0时

'

''

'

αα'α'

，则lim=lim'（或为无穷大量）。 （1）若lim'存在（或为无穷大量）

x→xβx→xβx→xβ0

0

0

α⋅f(x)α'⋅f(x)α'⋅f(x)

（2）若lim'存在（或为无穷大量），则lim= lim'（或为无穷大量）。

x→xβ⋅g(x)x→xβ⋅g(x)x→xβ⋅g(x)

0

0

0

即在乘积的因子中，可用等价无穷小量替换. 例4 求lim

tanx−sinx

。 3x→0x

下列做法是错误的：

当x→0时，sinx~x，tanx~x，所以lim

tanx−sinxx−x

=lim=0

x→0x→0x3x3

因为tanx与sinx不是乘积因子，当x→0时，tanx−sinx与x−x不是等价无穷小量。

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解 lim

tanx−sinx

=lim3x→0x→0x

sinx(

1

−1)cosx 3x

x2x⋅

sinx(1−cosx)2=1. lim=lim=x→0x→0x3⋅12x3⋅cosx

在计算极限过程中，可以把乘积因子中极限不为零的部分用其极限值替代，如上例中的乘积因子

cosx用其极限值1替代，以简化计算。

sin2x⋅(ex−1)⋅x2

例5 求lim。

x→0ln(1+x)⋅tan3x⋅(1−cosx)

解 因为当x→0时，sin2x~2x，tan3x~3x，ln(1+x)~x，e−1~x，1−cosx~

x

12

x。 2

sin2x⋅(ex−1)⋅x22x⋅x⋅x24

=lim=。 所以 lim

x→0ln(1+x)⋅tan3x⋅(1−cosx)x→013

x⋅3x⋅x2

2

42