对策论的浅谈
LF2011080006对策论的浅谈
河北省廊坊市管道局中学初二（1）班乔子涵
指导老师：苏秀珍
摘要：对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、、经济和日常生活各个方面，都很有用处。以解决一个侦查员跟踪间谍的事件做切入点，将“石头剪子布”游戏作为数学模型，引入表上游戏与混合策略，利用数学方法解决实际的对策论问题。
关键词：对策论；表上游戏；混合策略。
一、问题的提出
侦查员小王接到命令，去跟踪一个重要的间谍“熊”。现在，“熊”在一间密室里和另外两个间谍碰头。小王只知道“熊”是3个人中最高的一个，但是无法看到他们3个人碰头的情况，因而也不知道3个人中哪个身材最高。小王只能在门口等待他们出来。他想：这三个间谍如果不一块出来，可能最先出来的是“熊”，也可能最后出来的是“熊”，也可能中间那一个是“熊”，我应该跟踪哪一个呢？3个间谍在密室里也考虑呢，为了防备外面有人盯梢，谁先出去好呢？
这就是一个对策论的问题。
对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、、经济和日常生活各个方面，都很有用处。由于对策论经常用智力游戏——打扑克、下棋等做模型，所以又叫博弈论。博就是，弈就是下棋。其实，如果去掉输赢财物的规定，就是智力游戏。
一般的对策问题都是这样：双方各有一些可以采取的策略，一旦双方的策略都确定了，就会出现一定的结果，问题是双方怎样找到最好的策略？
二、问题的分析与建模
我们平时玩的“石头、剪子、布”手势游戏，就可以作为对策论
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的一个例子：
在这个问题里，甲和乙各有3种可以采取的策略。结果如何？我们列出一个输赢表来。
甲 石头 剪子 布 0 -1 1 乙 石头 剪子 1 0 -1 布 -1 1 0 这是甲的得分表。“0”表示平局，“-1”表示输，“1”表示赢。 我们把对策论问题列成这样的表，就成了“表上游戏”。这种表是由若干行和若干列数字组成。甲可以指定其中的某一横行，乙可以指定其中的某一直行。规定他们同时说出他们指定的横行和直行。在这两行的交叉点上的数，就是甲得到的分数。例如在这个表格里：
0 -1 1
1 0 -1
-1 1 0
如果甲指定第一横行，乙指定第一直行，甲就得到0分，也就是说平局。
好了，现在我们为对策问题找到了一个数学模型。有了数学模型，我们就可以暂时丢开原来的什么“熊”呀，手势呀等问题，全力以赴去解决这个数学模型中的问题了。
在表上游戏中，怎样找出最好的策略？
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我们继续研究前面提出的那个表上游戏：
0 -1 1 1 0 -1 1 1 1 -1 1 0 -1 -1 -1 现在我们在每一横行的后面和每一直行的下面，又写上了一个数。每个横行后面写的数，是这一行中最小的数；每个直行下面写的数，是这一行中最大的一个数。
从甲的立场看，不管乙采用什么对策，他随意指定一个横行，那么对自己最不利的结果是-1，就是说输1分，但每一横行的最坏结果都是如此。从乙的立场看，如果他随意指定一个直行，那么对自己最不利的结果是1，就是说输1分，可见每一直行的最大数表示的是：如果乙指定了这一行，可能发生的最坏结果是什么。
那么甲乙双方该怎样选择策略呢？首先，一个人不能总是指某一行，被对方发现规律就会一败涂地。双方要斗智，大家就得不断改变自己的策略。这就需要用到混合策略了。
三、混合策略
假设甲方用20比30比50的概率混合自己的策略，乙方用30比40比40的概率混合自己的策略，那么上表就变成了：
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0.2 0.30 0.06 0.41 0.08 0 0.12 -1 0.2 0.4-1 0.08 1 0.12 0 0.2 0.3-1 0.09 0.51 0.15 这个表的左边和上边分别表示甲乙各以什么概率来混合策略。 在每一个数下面写一个数，这个数是这一横行最左边的数和这一直行最上边得数的乘积，比如0.3×0.2=0.06。这些数表示出现各种结果的机会有多大。
甲全盘平均得的分数将是：把每一个数和它下面得数相乘加在一起：（乘0省略）
1×0.08 + (-1)×0.08+ (-1)×0.09 + 1×0.12 + 1×0.15 + (-1)×0.2=-0.02
我们可以得出一个公式：如果甲的三种策略分别以A、B、（1-A-B）的概率出现，而乙用X、Y、（1-X-Y）的概率混合自己的策略，那么，用上面的方法可以算出，平均每盘甲可以得的分数是：
AY-A(1-X-Y)-BX+B(1-X-Y)+X(1-A-B)-Y(1-A-B) =3AY-3BX-A+B+X-Y
当A=B=，原式=0。
这说明，如果甲以、、的混合策略来做游戏，不管乙用何
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种策略，若干盘游戏的结果下来就是平局，即甲、乙不输不赢。即使乙了解甲的这个比例，那也没有关系。乙呢？最好也是按比比的比例来混合自己的策略。因为X=Y=时，原式=0。这个比例也不怕甲知道。
反过来，如果甲或者乙按别的比例来混合自己的策略，他就可能受到额外的损失。比如说乙要按0比比的比例来混合自己的策略，也就是说固定选取第二、第三直行。那甲就可以固定选取第二横行。这样，有一半的机会甲会赢1分，但也有一半的机会平局，平均起来每盘赢分.
再回到最初的输赢表，乙固定选取第二、第三直行，就相当于固定出剪子和布，那甲一直出剪子，就一半机会平局，一半机会胜利了。
换用其他的比例来混合策略，都可以算出自己的得分情况。这个游戏是很有趣的，你不妨试试。
四、回归问题
我们对表上游戏谈了不少了，但不要忘记，表上游戏不过是多种多样的对策问题的模型。我们现在来把它和开头提出的对策问题联系起来，看怎样利用表上游戏和混合策略来解决侦查员小王的问题。
在这个问题中，斗智的双方是小王和“熊”。我们可以想象，另外两个间谍是受“熊”指挥的。所以小王相当于甲方，“熊”相当于乙方。
双方各有多少可以考虑的策略呢？
“熊” 的策略比较简单。他只需安排一下3个人出去的先后次
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序就可以了。为了方便起见，我们假定另外两个间谍一个叫“狼”，一个叫“蛇”，熊最高，狼其次，蛇最矮。他们出去的次序一共有下列6种：
1.熊、狼、蛇； 2. 熊、蛇、狼；3. 狼、熊、蛇；4. 狼、蛇、熊； 5. 蛇、熊、狼； 6. 蛇、狼、熊；
“熊”的策略就是这6种。必要时，他可以按一定比例混合这6种策略。
小王除了跟踪第一、第二、第三人的策略，还有一个策略可以考虑，这就是放过第一个出来的人，等到第二个人出来，看他如果比第一个高（小王是侦查员，判断人的高矮有充分的把握），就跟踪他，否则就等第三个人。这样，小王的策略共有4个：
1. 跟踪第一个人；2. 跟踪第二个人；3. 跟踪第三个人； 4. 放走第一个人，再根据第二个人是不是比第一个人高，决定是不是跟踪他。
这样看来甲方有4个策略，乙方有6个策略，我们就用一个四横行、六直行的表上游戏来做它的模型。
乙（熊） 6
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1 2 3 甲（ 小 王） 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 3 0 1 0 1 4 0 0 1 1 5 0 1 0 1 6 0 0 1 0 4 表里写“1”的地方是小王胜利，写“0”的地方是小王失败。所以这个表上的数，可以算成小王赢的分数。
这个表里有几个值得注意的地方：
在“熊”看来，第一直行和第二直行的数字完全相同。即第一和第二策略效果是完全一样的。于是，我们可以干脆把“熊”的两个策略去掉一个，比如去掉第二个，保留第一个。同理，可以去掉第五个策略，保留第三个策略。那么，“熊”的第四个和第六个策略中，保留第六个策略而去掉第四个策略是有益的。
在小王看来，保留第四个策略而去掉第二个策略是有益的。 这样一来，熊就只剩下第一、第三、第六这3种策略了。小王的策略也就只剩下了第一、第三、第四这3个了。
把可以去掉的策略去掉，上面的表就成了： 甲（小王）乙（熊） 1 1 0 3 0 0 6 0 1 1 3
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4 0 1 0 这个表上游戏可以像前面提出的问题那样，算出双方应按什么比例去混合策略，结论是：都按、、的比例去混合自己的策略。
如果“熊”没有想到侦查员在外面等着他，他很可能任意安排一个出门的顺序。这相当于把6种策略按比比比比比的比例混合起来，那么小王得胜的机会就会增加到
7。 18161616161616131313如果小王猜到“熊”会按这个比例混合他的6种策略，那么，他就会干脆采取第四个策略，而把得胜的机会，提高到。
而小王采取的第四个策略如果一旦被“熊”猜中，只要“熊”不是第二个出去，那么小王完全失败。有兴趣的话，你还可以设定其他的混合策略来确定自己的输赢比例。
看，对策论问题是不是很有意思呢？
从上面的分析可以看出，用数学方法研究问题，常常是这样做： 一、选择有实际意义的问题。
二、建立数学模型，把实际问题转化成数学问题。 三、用恰当的工具方法解决问题。
四、把数学中的答案带到实际中去运用、检验。
将来，当我们长大的时候，对策论也可以用到，数学服务于生活，数学使生活更美好，我们要好好学习数学，将来去解决更多的问题。这就是我们的任务。
参考文献： ① 马希文著 《数学花园漫游记》中国少年儿童出版社 2003年9月河北第1版
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注：本文仅供数学爱好者提供思路上的建议，可尝试自己继续深入研究，请不要抄袭。尊重他人智力成果权，在此谢过了哦！
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