弹簧类模型
一、最大、最小拉力问题
例两端分别连接着质量均为m＝15kg的物体 例1. 一个劲度系数为1. 一个劲度系数为k＝600N/m的轻弹簧，A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s，0.5s，B物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g＝10m/s）。求此过程中所加外力的最大和最小值。 。求此过程中所加外力的最大和最小值。
2
图1
解析：开始时弹簧弹力恰等于 解析：开始时弹簧弹力恰等于A的重力，弹簧压缩量Dl=mg=0.25m，0.5s末Bk物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B的重力，Dl'=Dl=0.25m，故对A物体有
2122Dl=at，代入数据得a=4m/s。刚开始时F为最小且
2FmaNN物体刚要离开地面时，F为最大且有=15×4=60，B物体刚要离开地面时，Fmin=Fmax-mg-mg=ma，解得FmaxmgmaN2360。 =+=二、最大高度问题
例 例2. 如图2. 如图2所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x0。一物体从钢板正上方距离为3x0的A处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物体质量为2m仍从A处自由下落，则物块与钢板回到O点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。 点的距离。
图2
解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设 解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设v0表示物块与钢板碰撞时的速度，则：
v0gx ① =60 ①
物块与钢板碰撞后一起以 物块与钢板碰撞后一起以v1速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量守恒，即：mv0mv ② =21 ②
刚碰完时弹簧的弹性势能为 刚碰完时弹簧的弹性势能为Ep，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为0，根据机械能守恒有：E+1(2m)v2=2mgx ③
p10 ③
2 设 设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有：
2mv03 ④ =mv2 ④
碰撞后，当它们回到 碰撞后，当它们回到O点时具有一定速度v，由机械能守恒定律得： ，由机械能守恒定律得：
2 E+1(3m)v2=3mgx+1(3m)v ⑤ ⑤ p2022 当质量为 当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时两者分离，分离后，物块以v竖直上升，
v2其上升的最大高度：h= ⑥ ⑥
2g 解① 解①~解①~⑥式可得h=x02。
三、最大速度、最小速度问题 例 例3. 如图3. 如图3所示，一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为m的平板B相连而处于静止状态。今有另一质量为m的物块A从B的正上方h高处自由下落，与B发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v。
图3
解析： 解析：A解析：A下落到与B碰前的速度v1为： 为： v1=2gh ① ①
A、 A、B碰后的共同速度v2为：mv1mmv ② =(+)2 ②
B静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为x0，且： ，且： mg=kx0 ③ ③
A、 A、B一起向下运动到最大速度v时的位移为x，此时A、B的加速度为0，即有：
2mg=k(x+x0) ④ ④
由机械能守恒得： 由机械能守恒得： 由机械能守恒得：
2211 2mgx+(2m)v2=(2m)v+DEp ⑤ ⑤
2221mv DE(2) ⑥ ⑥ =p2 解① 解①~解①~⑥得：v=mg21+gh k4 例 例4. 在光滑水平面内，有4. 在光滑水平面内，有A、B两个质量相等的木块，m=m=2kg，中间用轻质
AB弹簧相连。现对B施一水平恒力F，如图4所示，经过一段时间，A所示，经过一段时间，A、B的速度等于5m/s时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J，当100J，当A、B恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A的最小速度。 的最小速度。
图4
解析：当撤除恒力 解析：当撤除恒力F后，A后，A做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时，加速度等于零，A等于零，A的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度最小，根据动量守恒得：2mv=mvA+mvB ① ①
1mv2+1mv2= 根据机械能守恒得： 根据机械能守恒得：100 ② AB ②
22 由以上两式解得木块 由以上两式解得木块A的最小速度v＝0。 四、最大转速和最小转速问题
例上面放一个劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上， 例5. 有一水平放置的圆盘，5. 有一水平放置的圆盘，另一端系着质量为m的物体A，物体A与盘面间最大静摩擦力为Ffm，弹簧原长为L，现将弹簧伸长DL后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速n的最大值和最小值各是多少？ 的最大值和最小值各是多少？
图5
解析：当转速 解析：当转速n较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即： 较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即： kDL+Ffm=m(2n)2(L+DL) ① ①
p11 n1=2pkDL+Ffm
m(L+DL) 当转速 当转速n较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即： 较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即： kDL-Ffm=m(2n)2(L+DL) ② ②
p21 n2=2pkDL-Ffm
m(L+DL) 所以圆盘转速 所以圆盘转速n的最大值和最小值分别为： 的最大值和最小值分别为：
1
2pkDL+Ffm1和m(L+DL)2pkDL-Ffm。
m(L+DL)五、最大加速度问题
例 例6. 两木块6. 两木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求木块A的最大加速度。 的最大加速度。
图6
解析：撤去外力后， 解析：撤去外力后，A解析：撤去外力后，A以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当A运动到平衡位置上方最大位移处时，B位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，此时A的加速度最大，设为am。
(-)+mg=ma 对 对A：由牛顿第二定律有kxx0m
对 对B：k(x-x)=Mg0
(M+m)ga 所以，方向向下。 所以m=，方向向下。
m六、最大振幅
例 例7. 如图7. 如图7所示，小车质量为M，木块质量为m，它们之间静摩擦力最大值为Ff，轻质弹簧劲度系数为k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？ 小车振幅的最大值是多少？
图7
解析：在最大位移处， 解析：在最大位移处，M解析：在最大位移处，M和m相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体有：
kA=(M+m)a ① ①
对 对m有： 有： Ff=ma ② ② 所以由①②解得： 所以由①②解得：A=七、最大势能问题
例 例8. 如图8. 如图8所示，质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L0，一个质量为m的小木块从板的右端以初速度v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为m，求在木块压缩弹簧过程中（一直在弹性限度内）弹簧所具有的最大弹性势能。 度内）弹簧所具有的最大弹性势能。
Ff(M+m)km。
图8
解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能 解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能Epm，设m在M上运动时，摩擦力做的总功产生内能为2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即： 满足动量守恒定律，即： mv0mmv ① =(+2) ①
由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒： 由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒： 由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：
1mv21mv2E(3)+pm+E ② ② 0=22 由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有： 由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有： 由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有： 2121 mv0=(3m)v+2E ③ ③ 22 由①②③求得： 由①②③求得：E=1mv2 pm06 从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多， 从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。 的关系，此类问题一定会迎刃而解。
