第一讲整数与整除的基本性质(一)

第一讲 整数与整除的基本性质（一）

一、整数

基本知识：

关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。

关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。

十进制整数的表示方法

正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，

32如67表示6107,四位数1254可以写成1102105104,同样地用字母表示的两位数2aaaa1aba10b,三位数defd10e10f, n 位整数表示为nn1n2，（其中ai是0，1，2，3，

4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中an

anan1an2a1an10n1an110n2a1.

0）并且

经典例题：

例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）

A)1995 B)1683 C)1579 D)1401

解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 B)

例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是（ ）

A)26 B)28 C)36 D)38

解：设这个两位数为ab，由题意，得3(ab)210ab，

7a2b2 即 7a2(b1) 由于2(b1)为偶数，a必须为偶数，排除C),D)又由于(b1)是

7的倍数，故选A)

（此题也可以直接来解(b1)是7的倍数，故有b6返回有a2）

例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是

_____________。（91年“缙云杯”初中数学邀请赛）

解：设这个两位数为ab，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得

a1(b2)101(ab)2，ab14，又由于b2后有进位，b8或b9同时对应的a分别为6与5，这两个数为68或59。

___。 例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是__________

（91年南昌市初中数学竞赛题）

解：四个数位上的数字之和最多不会超过36，这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为190010mn，190010mn19mn1991，整理得11m2n81，又

0m9,0n9且为整数，m7,n2.这个四位数为1972。

例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为M（如三位数234，则求M的最大值和最小值。

100a10bc90b99c100abcabc，

M234234），

解：设这个三位数abc100a10bc，

M90b99c90b99c0显然abc，当其值为0时，即bc0时，M最大，其值为M1000100，当abc最大时，M最小，即bc9,a1时，M最小为

10017901991919

二、能被一个数整除的数的特征

基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除

2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。

3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。

4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。

5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。

6、0能被任何非零整数整数，1能整除任何整数。

要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。

经典例题：

例6、能被11整除的最小九位数是多少？

解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。

例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。

解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为99cd，要使99c为4的倍数，且要最大，故c6。 99cd要能被9整除，cd6d能被9整除，故d3

例8、两个三位abc,def的和abcdef能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除。（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

证明：37|(abcdef)，abcbcd37m (m为整数)

又abcdefabc1000def

abc999abcdef

而9999337，

abcdef3727abc37m

37(27abcm)

37|abcdef

例9、已知一个七位自然数62xy427是99的倍数（其中x,y是0到9中的某个数字），试求

950x24y1的值，简写出求解过程。（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）

题难：分析62xy427是99的倍数，而99911，故62xy427分别是9和11的倍数

由被9，11数整除的数的特点而解此题。

解：99|62xy427，9|52xy427且11|62xy427

62xy427183xy是9的倍数，

即3xy9m（m为自然数） 0x9,0y9，

3xy321。xy39，或xy318

xy6或xy15

11|62xy427，11|[(6x47)(2y2)]

即 11|(13xy) 故2xy是11的倍数

又9xy9，即72xy11

xy2或xy9 xy与xy同奇偶，

xy6xy15或xy2xy9 x2y4 或

x12y3（不合题意，舍去）

x2y4

950x24y1950224411997

备选题：

A类：

1、 设六位数a1527b是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b的值.

（六位数a1527b是4的倍数，有4|7b，故b2或6；又它被11除的余数是5

易得1）、当b6，11|a15271，a57121a8是11的倍数，故a3

2）、当b2，11|a15267，a56127a1是11的倍数，无解。）

2、 如果个六位数19x19y能被33整除，这样的六位数共有多少个？

（易得11|(1x991y)，及11|(xy) xy

3|(1991xy)，及3|(xy2) 易得解

xy2或xy5或xy8 故有3组，分别为192192、195195、198198。

3、 求一个四位数，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。

（abcd3bcd42整理得500a100b10cd21得d1代入得c2,b5,a1）

4、a，b，c，d是数0到9的数字，abcdabcaba19，a______,

b__________,c_________,d__________.（“缙云杯”初中数学邀请赛试题）

5、一个五位数4x97x能被3整除，它的最末两位数字组成的数7x能被6整除，求这个五位数。

B类：

1、 如果十位数1995xy5991能被99整除，其中x、y是未知数，则x_______,y_________。（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题）