第２６卷 哈尔滨师范大学自然科学学报 第５期 ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥＳ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ 正整数的等差分拆 魏 运 （内蒙财经学院） 【摘要】 讨论了正整数的等差分拆问题，给出了所有大于８的合数等差分拆的 充要条件及重要结果． 关键词：正整数；等差分拆 ＝ ｙ＝ｙ。＋ （２） Ｏ 引言 其中ｋ∈ｚ． 正整数的分拆是数论、图论、组合数学研究的 证明见参考文献［３］． 一个重要课题，正整数的分拆是指将正整数ｍ表 引理２ 关于 ，），， ，ｕ的方程 示成一个或若干个正整数之和，即 ），＋ 。： （３） ｍ＝／ｎ１＋ｍ２＋…＋ｍ 其中ｍ ≥１，ｉ＝１，２，…，ｋ． 的全部整数解可表示为 一般均讨论无序分拆．参考文献［１，２］对于 ＝ｓ，Ｙ： ＝ ， ： ｔ一 一— ｋ，， ＝一 ＋ ，＝一ｔ＋ｋ一， ＝ ｔ ｍ ，ｍ ，…，／７，／ 及ｋ没有任何的ｍ的分拆的研 其中ｓ，ｔ，ｋ∈ ，２ ｌ ｓ，２ ｌ ｔ． 究已有很多结果．而对／７／， ，ｍ ，…，ｍ 有的正 证明 方程（３）同解于方程 整数的分拆即等差数列、奇偶分拆、连续分拆等也 ｘ［２ｙ＋（ 一１） ］＝２ｕ （４） 同样具有研究价值，该文讨论了正整数的一种有 对任意ｓ，ｔ∈ｚ且２ Ｉ ｓｔ，令２ｕ＝ｓｔ，则由方程（４） 的拆分，即等差分拆问题，给出了所有大于８ 知，方程（３）同整数解于方程组 的合数能等差分拆的充要条件，并给出了这种拆 分的重要结果． ｆ【：一，２ｙ＋（ｓ一１） 、 ＝ｔ （５） １ １ 预备知识 定义１ 如果正整数ｍ是整数能表示为某个 以下求方程（５）的解． 各项都为正整数且公差不为零的等差数列各项的 当２ Ｉ ５时，由于２ Ｉ ｓｔ，所以２ Ｉ ｔ，易知Ｙ＝ 和，那么这个数列叫做ｍ的一个等差分拆． ÷ｓ￡，ｚ＝一 是方程（５）的一个整数解，又因为 引理１ 若方程 （２，ｓ～１）＝ｌ，由引理１知，方程（５）的全部整数 ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （１） 解可表示为 其中ａ，ｂ，Ｃ是整数且ａ，ｂ都不是０．有一组整数解 ＝ 。，Ｙ＝Ｙ。，且（ａ，ｂ）＝ｄ，则（１）的一切整数解 』可以表示为 【 ：一￡＋ｋｙ＝ 一 ． 收稿日期：２０１０—０９—２０ ２８ 哈尔滨师范大学自然科学学报 当２Ｉ 时，同样Ｙ＝÷５ ， ＝一￡是方程（５）的 一引理３得证． 个整数解，又因为（２，ｓ一１）＝１，仍由引理１ ２ 主要结果 定理４ 当且仅当正整数ｍ为合数且ｍ≥６， ｍ≠８时，ｍ可以等差分拆，且分拆数列由以下 （１）式和（２）式全部给出．（ｏ为首项，ｄ为公差，ｎ 为项数） （ｎ，。，ｄ）：（ ｍ一 后，一Ｐ２＋ ） 知，方程（５）的全部整数解可表示为 Ｉ Ｙ＝— ｔ一（ｓ一１） ’ Ｅ互 ：： ＋２ 综上，引理２成立． 引理３ 正整数２ｍ存在满足Ｐ２≥Ｐｌ＋１≥ ４，同时Ｐ。、Ｐ２为一奇一偶，或Ｐ：≥２ｐ ≥８，同时 Ｐ 、Ｐ 为一奇一偶的分解ＰＩＰ ，当且仅当ｍ为合数 且ｍ≥６．ｍ≠８． 证明 设２ｍ存在满足Ｐ ≥Ｐ ＋１≥４，同时 Ｐ 、Ｐ 为一奇一偶的分解Ｐ Ｐ：，若Ｐ。为奇数Ｐ 为偶 数，则可设 ＰＩ＝２ｍ１＋１（ｍ１≥１），Ｐ２＝２ （２ｍ２＋１）（ｔ＝ １时，ｍ２≥１；ｔ≥２时，ｍ２≥０） 于是ｍ＝如１Ｐ２＝２ （２ｍ１＋１）（２ｍ２＋１）；当￡ ＝１，ｉｎ１、ｍ２≥１，ｍ为合数，且ｍ≥３×３＝９；当 ｆ≥２时，显然ｍ为合数，且ｍ≥２×３×ｌ＝６，ｍ ≠８，若Ｐ 为偶数Ｐ２为奇数，则可设Ｐ ＝２‘（ｍ ＋ １）（ｔ：１时，ｍｌ≥ｌ；ｔ≥２时，ｍｌ≥０），Ｐ２＝２ｍ２ ＋１（ｍ２≥２），同理可证，１７１．＝ １Ｐ２＝２ （２ｍ１＋ １）（２ｍ２＋１）为合数，且１Ｔｂ≥６，ｍ≠８． 设２ｍ存在满足Ｐ２≥２ｐ ≥８，同时ｐ１、ｐ 都为 偶数的分解ｐｌｐ ，令 ｐ１＝２‘（２ｍ１＋１）（ｔ＝１时，１７１，１≥１；ｔ≥２时， ｍ ≥０） Ｐ２＝２ （２ｍ２＋１）（５＝１时，ｍ２≥２；ｓ＝２时， ｍ２≥１；ｓ≥３时，ｍ２≥０）． 则ｍ＝ １Ｐ２＝２” （２ｍ１＋１）（２ｍ２＋１）， 易见１１７，为合数，且ｍ≥６，ｍ≠８． 反之设ｍ为合数，且ｍ≥６，ｍ≠８，当２／ｍ 时，可设ＨＩ，＝（２ｍ１＋１）（２ｍ２＋２）（１≤ｍｌ≤ ｍ２），令Ｐ１＝（２ｍｌ＋１），Ｐ２＝２（２ｍ２＋１），则ＰｉＰ２ ：２ｍ，Ｐ１、Ｐ２为一偶一奇，且Ｐ２＞Ｐ１＋１≥４，当 ２／ｍ时，可设ｍ＝２‘（２ｍ＋１）（ｔ＝１，２，３时，ｍ≥ １，ｔ≥４时，ｍ≥０），若ｔ＝１，ｍ＝１，令Ｐｌ＝２ｍ＋ １，Ｐ２＝４；若ｔ＝１，ｍ≥２，令Ｐ１＝４，Ｐ２＝２ｍ＋１； 若 ＝２，ｍ＝ｌ，令Ｐｌ＝２ｍ＋１，Ｐ２＝８；则都有 ＰｉＰ２＝２ｒａ，Ｐ１、Ｐ２一奇一偶．且Ｐ２＞Ｐ１＋１≥４，若 ｔ＝２，ｍ≥２；ｔ≥３，令Ｐ１＝４，Ｐ２＝２ （２ｍ＋１）， 则ＰｌＰ２＝２ｍ，Ｐｌ、Ｐ２都为偶数Ｐ２≥２ｐ１≥８． （６） （ｎ，ｎ，ｄ）＝（Ｐｊ，ｍ一（ＰＩ一１）ｋ，一Ｐ２＋２ｋ） （７） 其中 ∈ｚ，Ｐ１、Ｐ２是２ｍ的分解（即Ｐ１ ２∈。， Ｐ１・Ｐ２＝２ｍ）并且 （１）在（６）中，Ｐ。为奇数，Ｐ ≥Ｐ ＋１≥４， ｋ∈［ｐ ＋１， ］． １一 （２）在（７）中，Ｐ 为偶数，若Ｐ 为奇数，Ｐ ≥ Ｐｌ≥５；若Ｐ２为偶数，则Ｐ２≥２ｐ１≥８，ｋ∈ ｒｐ２＋１ ｍ一１］ ２’Ｐ１—１ ‘ 证明 设ｍ等差分拆成了首项为ｎ，公差为 ｄ，项数为ｔ／，的数列，则 ｎ＋里 ｄ：／７／， （８） 司以证明，关于 ，０，ｄ的方程（８）的全郡整 数解由（６）或（７）给出，其中 ∈ ，Ｐ。、ｐ 是２ｍ的 任意分解，Ｐ 为奇数时，由（６）给出；ｐ 为偶数时， 由（７）给出．以下求方程（８）有满足ｎ≥３、。≥１、 ｄ≥１的整数解（即ｍ可以等差分拆）的条件．对 ２ｍ的分解ＰｉＰ２： （１）Ｐ 为奇数时，在（６）中令Ｐ。≥３，ｍ一 ≥１，一ｐ２＋ ≥１，由后二式知，Ｐ２＋１≤ ≤ 三 ，由于ｐ ＋ｌ∈ｚ，为使上式有意义 只需 等 一（ｐ ＋１）≥ｏ，，解得ｐ ≥ｐ ＋１， 所以（６）为方程（８）满足ｎ≥３、ｎ≥１、ｄ≥ｌ的整 数解的必要条件是Ｐ２＞Ｐ１＋１≥４，后∈［Ｐ２＋１， ］，由（６）易验证，此条件也是充分的． Ｐ１— （Ｚ）ｐ 为偶数时，在（７）中令ｐ ≥４，ｍ一（ｐ 一１）．ｃｃ≥１，一Ｐ２＋２ｋ≥ｌ，由后二式知 ≤ ≤ （９） 第５期 正整数的等差分拆 ２９ 若Ｐ 为奇数，为使（９） 有意义，由于 ∈ｚ，所 推论５：当且仅当正整数ｍ为合数且ｍ≥６，ｍ ≠２ （ｋ≥３）时，ｍ可以分拆为三个或三个以上连 以只需 一堕— 续自然数的和，且此分拆由 ｔｐ１一Ｉ Ｚ ＞０，解得ｐ ≥ｐ ＋１，此时 一一 ‘ （７）为方程（８）满足ｍ≥３、ａ≥１、ｄ≥１的整数解 ｎ，ａ）：（ ｍ一堕 ） 的必要条件是 ∈［ ， 二｛］，Ｐ 一ｌ 由（７）易知， 全部给出，其中凡、ａ分别为分拆的项数和首项， ＰｉＰ２是２ｍ满足Ｐ２≥Ｐ１＋１≥４，同时Ｐ１、Ｐ２为一 此条件也是充分的． 奇一偶的任意分解． 若ｐ 为偶数，为使（９）有意义，由于堕 ＋ 综合定理４和推论５，便得到了所有大于８ 的合数正整数等差分拆的方法． 二１ 了Ｅ ｚ，所以只需 二｛一堕 ≥ｏＰ参考文，一Ｉ Ｚ ． 献 ［１］柯召，魏万迪．组合论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１． 解得Ｐ：≥２ｐ ，此时（７）为方程（８）满足１７，≥ ［２］［罗马尼亚］Ｉ．ＴＯＭＥＳＣＵ，著．组合学引论［Ｍ］．北京：高等 ３、ａ≥１、ｄ≥１的整数解的必要条件是Ｐ２≥２ｐ１≥ 教育出版社，１９８５． ８， ∈［丝 ［３］ 张顺燕．数学的源与流［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ， ｝］．同理，这个条件也是充分 ［４］李建章．自然数的等差分拆公式［Ｊ］．数学通讯，１９９４（６）： 的． ３５—３７ 综卜帘弹成寺． Ｅｑｕａｌ Ａｌｌｏｗａｎｃｅ Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ｉｎｔｅｇｅｒ Ｗｅｉ Ｙｕｎ （Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｆｉｎａｎｃｅ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｌ ａｌｌｏｗａｎｃｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｑｕａｌ ａｌｌｏｗａｎｃｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｅｉｇｈｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ａｎｄ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ；Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ；Ｅｑｕａｌ ａｌｌｏｗａｎｃｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ （责任编辑：季春阳）
