复变函数

华南农业大学珠江学院期末考试试卷

2008--2009学年 下 学期 考试科目： 复变函数

考试年级：__2007__级 考试类型：（半开卷）A卷 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

题号 得分 评阅人

得分 评卷人 一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．(1i)100的实部是 ，虚部是 ，辐角主值是 。

一 二 三 四 五 六 七 八 总分 1i，则zz 。 1i133．设f(z)(z1)2，则f(z) 。

z2．设zez4．z0为函数f(z)2的 级极点，函数在该点的留数为 。

z5．

dz（z1为正向圆周） z1z 。6．幂级数

nzn0n的收敛半径为 。

7．设F[f1(t)]=F1(w)，F[f2(t)]=F2(w)。则F[f1(t)*f2(t)]= 。 8．L[tet]= 。

得分 评卷人 二、计算题（本大题共7小题，每小题10分，共70分） 9．判断函数f(z)=|z|在何处可导，在何处解析。

2eizdz。10．计算ò（z1为正向圆周） Ñ5z=1z11ezdz。11．计算ò（z2为正向圆周） Ñz=21+z

12．将f(z)=ze在0ìï-1 , t<013．求sgnt=ï的傅里叶变换。 íïïî 1 , t>014．已知L[f(t)]=s，求f(t)。

(s+1)(s+2)15．用拉普拉斯变换求解微分方程初值问题：

得分 评卷人 ìx¢(t)+x(t)=1 , t>0ïï íïïîx(0)=0 .三、证明题（本大题共1题，共6分）

pezcosqdz16．计算积分ò，并证明：（z1为正向圆周） eÑò0cos(sinq)dq=p。z=1z

参

一．填空题

501．-2，0，p 2．1 3．3(z1)22 4．二 ，1 5．2pi 6．1 3z7．F1(w)F2(w) 8．二．计算题

1 2(s-1)9．解：因为f(z)=|z|2=x2+y2，所以u(x,y)=x2+y2，v(x,y)=0．则．．．．2分

抖uu抖vv=2x , =2y , =0 , =0 . ．．．．．．．．．．．．6分 抖xy抖xy上述四个偏导数处处连续，但仅当x=y=0时C-R方程成立。因此函数仅在z=0可导，从而在复平面内处处不解析。 ．．．．．．．．．．．10分

eizdz=10．解：令f(z)=e，则蝌蜒5z=1zizz=1f(z)izdz。而在复平面内解析，则f(z)=e5z由解析函数的高阶导数公式得 ．．．．．．．．．．．2分

eizdz=蜒5蝌z=1z=z=1f(z)2pi(4)dz=f(0) ．．．．．．．．．．．6分 z54!pi . ．．．．．．．．．．．10分 122pi4i0?ie4!11ez有两个极点-1 , 0 ，而这两个极点都在圆周z2内，所11．解：由于f(z)=1+z以由留数定理得 ．．．．．．．．．．．2分

11ezdz=2pi{Res[f(z) , -1]+Res[f(z) , 0]} , ．．．．．．．5分 Ñòz=21+z又因为

Res[f(z) , -1]+Res[f(z) , 0]+Res[f(z) , ?]那么

0 , ．．．．．．．7分

11ezdz=-2piRes[f(z) , ] Ñòz=21+z11=2piRes[f()?2 , 0]zzez2piRes[ , 0]

z(z+1)

ez=2pilimz?z®0z(z+1)12．解：由于

．．．．．．．10分 2pi ．

x2xne=1+x++L++L ．．．．．．．．．2分

2!n!x在|x|<+ 内成立，故在0e=1+于是，在012z111++L++L ．．．．．．．．．5分 z2!z2n!znf(z)=ze=z2(1+=z2+z+111++L++L) ．．．．．．．．．9分 z2!z2n!zn111+L++L ．．．．．．．．10分 n-22!3!zn!zì0 , t<0ï1ï+pd(w)， ．13．解： 令u(t)=í，则F[u(t)]=．．．．．．．2分

ïiw1 , t>0ïî而sgnt=u(t)-u(-t)，所以

F[sgnt]=F[u(t)-u(-t)]=F[u(t)]-F[u(-t)] ．．．．．．．．．4分

112+pd(w)-[-+pd(-w)]=+p[d(w)-d(-w)] ．．．．．．．．．7分

iwiwiw22=+p[d(w)-d(w)]= . ．．．．．．．．．10分 iwiw=14．解：由于所以

1s21]=ekt， ．=- ，而L-1[．．．．．．．．3分 s-k(s+1)(s+2)s+2s+1f(t)=L-1[s21]=L-1[-] ．．．．．．．．．．5分

(s+1)(s+2)s+2s+1=L-1[21]-L-1[]=2e-2t-e-t . ．．．．．．．．．10分 s+2s+115．解：记L[x(t)]=X(s)，对方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，得

sX(s)-0+X(s)=1 , ．．．．．．．．．．6分 s

解得X(s)=11-11-1]=e-t，所以取逆变换得方程的解 ，由于L[]=1 , L[ss+1s(s+1)x(t)=L-1[111．．．．．．．．．．．10分 ]=L-1[-]=1-e-t . ．

s(s+1)ss+1三．证明题

16．证明：由柯西积分公式，可得

ezdz=2piezÑòz=1z圆周z1的参数方程为 则有

z=0=2pi , ．．．．．．．．．．．．2分

z=eiq , 0＃q2p ,

ezdz=Ñ蝌z=1z2p0eeiq?iedqiqeiq 2p0iecosq+isinqdq

=ò2p0iecosq[cos(sinq)+isin(sinq)]dq

cosq=i蝌e02pcos(sinq)dq-2p0．．．．4分 ecosqsin(sinq)dq ．

那么由复数相等的性质，得到 由于 所以

cosqe蝌cos(sinq)dq=2p , 02p2p0ecosqsin(sinq)dq=0

p蝌ep2pcosqcos(sinq)dq=p0-pecosqcos(sinq)dq=2p0 0ecosqcos(sinq)dq

蝌e0cosq1cos(sinq)dq=2ecosqcos(sinq)dq=p . ．．．．．．6分