R3.若z=x+iy，则y=（）。
A.B.
̅𝑍+𝑍222𝑖
̅𝑍−𝑍
C. D.
̅𝑍+𝑍
̅𝒁−𝒁𝟐𝒊
4.若A=(4−𝑖)(1+𝑖)，则|A|=（）。
A.3 B.0 C.1 D.2 二、填空题
5.若z=x+iy，w=z2=u+iv，则v=（2xy）。
6.复平面上满足Rez=4的点集为（{z=x+iy|x=4}）。
(4+𝑖)(1−𝑖)
7.（设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。
8.设z0=lim𝑥0+𝑖𝑦0，zn=lim𝑥𝑛+𝑖𝑦𝑛（n=1，2，…），则{zn}以z0为极限的充
𝑛→+∞𝑛→+∞分必要条件是（𝑥𝑛=𝑥0）,且=（𝑦𝑛=𝑦0）。 三、计算题
9.求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。 参：
复数（-1-i）的实部为：-1 复数（-1-i）的虚部为：-1
复数（-1-i）的模为：|（-1-i）|=√（−1）+（−1）=√2 复数（-1-i）的主辐角为： ∵-1-i在第三象限
∴ary(−1,−i)=π+arctan|−1|=4𝜋 10.写出复数-i的三角式。 参：
−i=cos𝜋+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋
2
2
3
3
−1
5
2
2
11.写出复数1−𝑖+参： 1−𝑖+
𝑖
1−𝑖𝑖
3
𝑖1−𝑖𝑖
的代数式。
=(1−𝑖)(1+𝑖)+
𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)𝑖𝑖∙𝑖
=−2+2𝑖−𝑖−1=−2−2𝑖
1131
12.求根式√−27的值。 参： ∵√27=3
Arg(-27)= 𝜋
∴Z=-27的三次根的值为
𝑊0=3𝑒
四、证明题
13.证明：若𝑥+𝑦𝑖，则a2+b2=1。
𝑥−𝑦𝑖
𝑖∙𝜋
33
=3(𝑐𝑜𝑠
𝜋𝜋+𝑖𝑠𝑖𝑛) 33参：
∵𝑥+𝑦𝑖=𝑎+𝑏𝑖 ∴| 𝑎+𝑏𝑖 |=|𝑥+𝑦𝑖| 而，| 𝑎+𝑏𝑖 |=√𝑎2+𝑏2 ∴|𝑥+𝑦𝑖|=|𝑥−𝑦𝑖
√𝑥2+𝑦2√𝑥2+𝑦2𝑥−𝑦𝑖
𝑥−𝑦𝑖
|=1
∴√𝑎2+𝑏2=1 ∴a2+b2=1
14.证明：|𝑧1+𝑧2|2=|𝑧1|2+|𝑧2|2+2𝑅𝐸(𝑧1+𝑧̅2) 参：
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝑧1+𝑧2|2=(𝑧1+𝑧2)(𝑧̅̅1+𝑧2)=(𝑧1+𝑧2)(𝑧1+𝑧2)
=𝑧1𝑧̅̅̅̅1+𝑧2𝑧2+𝑧1𝑧2+𝑧2𝑧1 =|𝑧1|2+|𝑧2|2+𝑧1𝑧̅̅2+𝑧2𝑧1
设𝑧1=a+bi,则𝑧̅̅1=𝑎−𝑏𝑖; 𝑧2=𝑥+𝑦𝑖,则𝑧2=𝑥−𝑦𝑖 ∴𝑧1𝑧̅̅2+𝑧2𝑧1=(𝑎+𝑏𝑖)( 𝑥−𝑦𝑖)+( 𝑥+𝑦𝑖)( 𝑎−𝑏𝑖) =2(𝑎𝑥+𝑏𝑦)=2RE(𝑧1𝑧̅2) ∴ |𝑧1+𝑧2|2=|𝑧1|2+|𝑧2|2+2RE(𝑧1𝑧̅2)
形考任务2
一、单项选择题
1.若f（z）=x2-y2+2xyi，则f`（z）=（）。
A.2x+2yi B.2y C.2x-2y-2yi D.2x
2.若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西—黎曼条件为（）。
A.B.
а𝑢
а𝑥
==
а𝑢а𝑣
且а𝑦а𝑥а𝑢а𝑣
且а𝑦а𝑥
==
а𝑣
а𝑦а𝑣
а𝑦
а𝑢а𝑥
C
а𝑢а𝑦а𝒖а𝒙
=−=
а𝑣а𝑢
且а𝑥а𝑥
=
а𝑣
а𝑥а𝒗
а𝒙
D.
а𝒗а𝒖
且а𝒚а𝒚
=−
3.若f（z）=z+1，则f（z）在复平面上（）。
A.在z=0不解析且在z≠0解析 B.处处解析 C.仅在点z=0解析 D.无处解析
4.若f（z）在复平面解析，g（z）在复平面上连续，则f（z）+g（z）在复平面上（ ）。
A.不连续 B.解析 C.连续 D.可导 二、填空题
5.若f（z）在点a（不解析），则称a为f（z）的奇点。 6.若f（z）在点z=1（邻域可导），则f（z）在点z=1解析。 7.若f（z）=z2+2z+1，则f'(z)=（2z+2）。 8.若f(z)=(𝑧−1)(𝑧−2)，则f'(1)=（不存在）。 三、计算题
9.设f（z）=zRe（z），求lim参：
∆𝑧→0
𝑓(0+∆𝑧)−𝑓(0)
∆𝑧
∆𝑧→0
7
。
lim
𝑓(0+∆𝑧)−𝑓(0)
∆𝑧
=lim
∆𝑧Re(∆z)
∆𝑧
∆𝑧→0
=limRe(∆z)=0
∆𝑧→0
10.设f(z)=excosy+iexsiny，求f'(z)。 参：
f(z)=excosy+iexsiny=ez z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv
∵
а𝑢а𝑥а𝑢а𝑦
=
а𝑣а𝑦
=excosy =exsiny
=−
а𝑣а𝑦
f'(z)= excosy+ie
∴f(z)在复平面解析，且f'(z)= excosy+iexsiny
11.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f（i）=0，试求f（z）。 参：
依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2
∴v=∫(3𝑥2−3𝑦2)𝑑𝑦=3𝑥2𝑦−𝑦3+𝑄(𝑥) ∴𝑣𝑥=6𝑥𝑦+ 𝑄′(𝑥)=−𝑢𝑦=6𝑥𝑦 ∴𝑄(𝑥)=𝑐
则v(x1y)=3𝑥2𝑦−𝑦3+𝑐（𝑐为常数）
故f(z)=𝑥3−3𝑥𝑦2+𝑖(3𝑥2𝑦−𝑦3+𝑐)=𝑥3−3𝑥𝑦2+𝑖(𝑐𝑥2𝑦−𝑦3)+𝑖𝑐 =𝑧3+𝑖𝑐,为使f(i)=−i+ic=0 ∴c=1
∴f(z)=𝑧3+𝑐
12.设f（z）=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2（x-1）y，f（2）=-i，试求f（z）。 参：
依C-R条件有Vy=ux=2y
∴V=∫2𝑦𝑑𝑥=𝑦2+𝜑(𝑥) 𝜑(𝑥)=𝑉𝑥−𝑢𝑦=−2𝑥+𝑧 ∴𝜑(𝑥)=∫(−2𝑥+2)𝑑𝑥=−𝑥2+2𝑥+𝑐
V=𝑦2−𝑥2+2𝑥+𝑐(𝑐为常数）
∴f(z)=2(x−1)y+i(𝑦2−𝑥2+2𝑥+𝑐) 为使f(z)=−I,当x=2,y=0时，f(2)=ci=−i ∴c=-1
∴f(z)=2(x−1)y+i(𝑦2−𝑥2+2𝑥−1)=−（z−1）i
2
四、证明题
13.试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。 参：
令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 uy=-1
∵ux、uy、vx在复平面处处连接 又ux=vy uy=-vx ∴f(z)=iz在复平面解析
14.试证：若函数f（z）在区域G内为解析函数，且满足条件f'(z)=0，z∈G，则f（z）在G内为常数。 参：
设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G ∵f(z)在G解析，ux=vy,uy=−vx 又f‘(z)=0=ux+ivx Ux=0 vx=0
U为实常数C1,V也是实常数C2, f(z)= C1+iC2=Z0 f(z)在G为常数。
形考任务3
一、单项选择题
1.z=（ ）是根式函数W=√𝑧的支点。
A.1 B.0 C.i D.π
𝑛
2.z=（ ）是函数W=lnz的支点。
A.2i B.i C.-1 D.0 3.𝑒𝑖 =（）。
A.e-1+e B.cos1+isin1 C.cos1 D.sin1 4.sin1=（）。
A.
𝒆𝒊−𝒆−𝒊𝟐𝒊
B. C.
𝑒𝑖+𝑒−𝑖2𝑖22
𝑒−𝑒−1
D.
𝑒+𝑒−1
二、填空题 5.cosi=（
𝑒−1+e2
）。
6.𝑒1+𝑖=（e(cos1+isin1)）。 7.lni=（𝟐𝒊）。
8.ln(1+i)=（𝟐𝑳𝒏𝟐+𝒊(𝟒+𝟐𝒌𝝅)，𝒌为整数）。 三、计算题
9.设z=x+iy，计算|𝑒𝑧|。 参：
𝑧2=(𝑥+𝑖𝑦)2=𝑥2−𝑦2+2𝑥𝑦𝑖
∴𝑒𝑧=𝑒𝑥
2
2−𝑦2+2𝑥𝑦𝑖
2
𝝅
𝟏𝝅
Exp[(𝑥2−𝑦2)[cos(2𝑥𝑦)+𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑥𝑦)]]
∴|𝑒𝑧|=𝑒𝑥
2
2−𝑦2
1𝑧
10.设z=x+iy，计算Re(𝑒) 参：
∵z=x+iy
∴𝑧=𝑥+𝑖𝑦=𝑥2+𝑦2−𝑖𝑥2+𝑦2 ∴𝑒=𝑒
1𝑧1𝑧𝑥𝑦𝑦
(𝑐𝑜𝑠22−𝑖𝑠𝑖𝑛22)22𝑥+𝑦𝑥+𝑦𝑥+𝑦
𝑥2𝑥+𝑦211𝑥𝑦
∴𝑅𝑒(𝑒)=𝑒𝑐𝑜𝑠
𝑦𝑥2+𝑦2 11.求方程2Inz=πi的解。 参：
∵Inz=πi/2
∴由对数函数定义有： Z=𝑒
𝑖𝜋
2=𝑐𝑜𝑠2+𝑖𝑠𝑖𝑛2=𝑖
𝜋𝜋
∴所给方程的解为z=𝑖 12.求方程𝑒𝑧=1+√3i的解。 参：
∵𝑒=1+√3i=2(cos3+𝑖𝑠𝑖𝑛3)=𝑒根据指数函数的定义有：
𝜋
z=n2+i或z=n(1+√3𝑖)
3四、证明题
13.试证：sin2z=2sinz·cosz。 参：
根据正弦函数及余弦函数定义有： sin2z=
𝑒2𝑖𝑧−𝑒−2𝑖𝑧
2𝑖
𝑧
𝜋
𝜋
𝑙𝑛2(cos+𝑖𝑠𝑖𝑛)
𝜋3𝜋3
∙
2
2sinzcosz=2
𝑒𝑖𝑧−𝑖𝑧𝑒𝑖𝑧+𝑒−𝑖𝑧2𝑖
=
𝑒2𝑖𝑧−𝑒−2𝑖𝑧
2𝑖
∴sin2z=2sinzcosz
14.证明：sinx+sin2x+⋯+sinnx=参：
令A=1+cosx+cos2x+…+cosnx B=sinx+sin2x+…+sinnx
𝑠𝑖𝑛
𝑛+1
𝑥2𝑥𝑠𝑖𝑛
2∙𝑠𝑖𝑛2𝑥。
𝑛
∴A+Bi=1+𝑒𝑖𝑥+𝑒𝑖2𝑥+⋯+𝑒𝑖𝑛𝑥 =
1−𝑒𝑖(𝑛+1)𝑥1−𝑒𝑖𝑥2𝑖𝑠𝑖𝑛
=
𝑛+1
𝑥
1−𝑒2𝑥𝑖21−𝑒2𝑖2
𝑖𝑥
𝑛2 = =
𝑛+1
𝑛+1𝑖𝑥
𝑥𝑒22𝑥𝑥𝑖2𝑖𝑠𝑖𝑛𝑒22=
𝑠𝑖𝑛
𝑛+1
𝑥2𝑥𝑠𝑖𝑛
2∙𝑒
𝑠𝑖𝑛
𝑛+1
𝑥2𝑥𝑠𝑖𝑛
2
(𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑖𝑠𝑖𝑛2𝑥)
𝑠𝑖𝑛
𝑛+1
𝑥2𝑥𝑠𝑖𝑛
2𝑛𝑛
∴sinx+sin2x+⋯+sinnx=
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑛
