初中数学-勾股定理16种证明方法

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即

11a2b24abc24ab22, 整理得 a2b2c2.

【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等

1ab2于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C

三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, Db∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. H∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

GaCbcFcbaB2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于. D∴

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）, 以c为斜

ab214abc22222. ∴ abc.

cAabGHFECB边作四个全等的直角三角形,则每个直角

1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,

∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.

124abbac2∴ 2.

∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、CB三点在一条直线上.

222∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, D∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

a∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. A∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,

cbEcabB12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

1ab2∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于2.

1ab221ab1c222. ∴ 2222∴ abc.

ba【证法5】（梅文鼎证明）

Eb c做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、G,P斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一

b条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. bC∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ccDHa∴ ∠EGF = ∠BED, aba

FAcB∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则

1a2b2S2ab,2 1c2S2ab2,

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. E过点Q作QP∥BC,交AC于点P. ba过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

cAFF作FN⊥PQ,垂足为N.

P∵ ∠BCA = 90º,QP∥BC, b∴ ∠MPC = 90º, Mcc∵ BM⊥PQ, CN∴ ∠BMP = 90º,

a∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90º. cQB∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC,

又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

222【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 GBF、CD. 过C作CL⊥DE,

H交AB于点M,交DE于点

KaL. C∵ AF = AC,AB = AD,

Fb∠FAB = ∠GAD, baM∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

12a∵ ΔFAB的面积等于2,

ABΔGAD的面积等于矩形ADLM c的面积的一半,

2∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2EDLc同理可证,矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222∴ cab ,即 abc. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.

C在ΔADC和ΔACB中,

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,

b∠CAD = ∠BAC, a∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB, cADB2即 ACAD•AB.

2同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 BCBD•AB. ∴ ACBCADDB•ABAB,即 abc. 【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BP⊥AF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º,∠PAC = 90º, DGa∴ ∠DAH = ∠BAC.

c又∵ ∠DHA = 90º,∠BCA = 90º, 1b92cAD = AB = c,

AF8RHP∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

222222

Tc3QE475cBa6bC∴ DH = BC = a,AH = AC = b. 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º, ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF,TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP= b,高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图）,则以c为边长的正方形的面积为

c2S1S2S3S4S5 ①

S8S3S41bba•abab21ab22, = 1abS82b2= S1S8 . ②

∵

S5S8S9,

∴

把②代入①,得

S3S4b2c2S1S2b2S1S8S8S9

222b= S2S9 = ba.

∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º,

BbT∴ ∠TBH = ∠ABE.

2CR8D又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º,

6BT = BE = b, a13H∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

M7∴ HT = AE = a. GFAE4∴ GH = GT―HT = b―a. 5c又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º,

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º,

Q∴ ∠GHF = ∠DBC.

222∵ DB = EB―ED = b―a, ∠HGF = ∠BDC = 90º,

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG,垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知 ∠ABE = ∠QAM,而AB = AQ = c,所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a,

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4S6.

222cSSSSSaSSb1234516∵ ,,S3S7S8,

又∵ S7S2,S8S5,S4S6,

22abS1S6S3S7S8 ∴

=S1S4S3S2S5

2=c, 222即 abc.

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理,得

AC2AE•AD

=ABBEABBD

=caca

22= ca,

222CaaacbEDBA即bca,

222∴ abc.

【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有

AB•DCAD•BCAC•BD, ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, bBDAC = BD = b,

aAcbcaC∴ ABBCAC,即 cab,

222∴ abc.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F（如图）,设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,

∴ ACBCABAECEBDCDAFBF

= CECD= r + r = 2r,

即 abc2r, ∴ ab2rc.

22ab2rc∴ ,

222222Ab即 ab2ab4rrcc,

2222c∵

SABC1ab2,

FrrOrEBaDC∴ 2ab4SABC, 又∵ SABCSAOBSBOC1111abcrcrarbrSAOC = 222 = 2

∴ 4r224rrc4SABC, ∴

2rc2ab,

212rccr2= 2 = rrc,

∴ ab2ab2abc, ∴ abc.

【证法14】（利用反证法证明）

如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.

222222假设abc,即假设 ACBCAB,则由

AB2AB•AB=ABADBD=AB•ADAB•BD

2222可知 ACAB•AD,或者 BCAB•BD. 即 AD：AC≠AC：AB,或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中,

C∵ ∠A = ∠A,

∴ 若 AD：AC≠AC：AB,则

b∠ADC≠∠ACB. a在ΔCDB和ΔACB中, ∵ ∠B = ∠B, cABD∴ 若BD：BC≠BC：AB,则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º,

22∴ ∠ADC≠90º,∠CDB≠90º.

222这与作法CD⊥AB矛盾. 所以,ACBCAB的假设不能成立.

222∴ abc.

【证法15】（辛卜松证明） A babaDAD 11abab2aaa22ab acbc c2

cabbb2bcb 11aabab 22aCabBCb B设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为

ab2a2b22ab;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面

积为

222∴ ab2ab2abc,

222∴ abc.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

B在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC,

则 AD = c.

c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, 54cb∴ DM = EM―ED = ba―a = b. FAa又∵ ∠CMD = 90º,CM = a, G23∠AED = 90º, AE = b, cbac1∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. 76∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c.

EbDHa∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º, ∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,

CaMab214abc222 =2abc.

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB,在ΔABF和ΔADE中,

∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ c2S22S3S4S5, bS1S2S6, S1S5S4S6S7,

∴

a2b2S3S7S1S2S6 =S2S3S1S6S7

=S2S3S4S5

=c2 ∴ a2b2c2.

a2S3S7,