因动点产生的等腰三角形模型

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．

请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

满分解答

（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以EDCDtanC531525． ，EC444（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．

所以

34PMDM4．所以QNPM，PMQN． QNDN343

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN33319PM．所以CQCNQN4． 4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

3151531PM．所以CQCNQN4． 4444QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tanQPD．

PDDM4BA3在Rt△ABC中，tanC．所以∠QPD＝∠C．

CA4此时QN由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时PM4445QN．所以BPBMPM3． 33335425CH，可得CQ． CQ258②如图6，当QC＝QD时，由cosC所以QN＝CN－CQ＝4此时PM257． （如图2所示）

8847725． QN．所以BPBMPM33666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

考点伸展

如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP25． 6

例2 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2． BOCO所以点P的坐标为(1, 2)．

由

图2

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4

图5

例3 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC23． 所以点B的坐标为(2,23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(2,23)，232a(6)．解得a3． 633223所以抛物线的解析式为yx(x4)xx．

663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42(y23)216．解得y1y223． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42(y23)222y2．解得y23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x4)(x2)2)．

663323因此tanDOA．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

3由y

例4 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．

（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

yx7,x3, 所以点A的坐标是(3，4)．

（1）解方程组 得4yx,y4.3令yx70，得x7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形CORAS△ACPSP△OR8，

111得（3+7t)44(4t)t(7t)8．整理，得t28t120．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

在△APQ中， cosA35520为定值，AP7t，AQOAOQOAORt． 533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7tt，得t．

338如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7t2[(7t)(t4)]，得t5．

1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cosA．因此AQ2AP．解方程cosAAP5203226． t2(7t)，得t33543综上所述，t＝1或

41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP2AQcosA来求解．

例5 2010年南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．

拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．

思路点拨

1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．

2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．

3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此

m8xDCEB，即．整理，得y关于x的函数xyCEBF关系为y128xx． mm121xx(x4)22．因此当x＝4时，y取得最大88(2)如图2，当m＝8时，y值为2．

1218122x2x．，那么整理，得x8x120．解得x＝2或x＝6．要

mmmm使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即

1212x＝y．将x＝y ＝2代入y，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y，得m＝2（如

mm(3) 若y图4）．

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y1281116xx(x28x)(x4)2， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为

多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

x

128第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． xx总有一个根x8m的．

mm

例 6 2009年江西省中考第25题

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分．

当N在DC上时，△PMN的形状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM＝PN”、“MP＝MN”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形．

思路点拨

1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF＝4，这是x的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等．

2．当点N在线段AD上时，△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．

3．分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．

满分解答

（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G． 在Rt△BEG中，BE1AB2，∠B＝60°， 23．

所以BGBEcos601，EGBEsin60所以点E到BC的距离为3．

（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．

①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q． 在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3．

在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1．

因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7． 在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4． 因此△PMN的周长为3＋7＋4．

图4 图5

②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．

在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．

如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3． 如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合． 此时x＝4．

综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．

图6 图7 图8

考点伸展

第（2）②题求等腰三角形PMN可以这样解：

如图8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0），那么点P的坐标为（m，3），MN＝MC＝6－m，点N的坐标为（

由两点间的距离公式，得PNm9m21．

当PM＝PN时，m9m219，解得m3或m6．此时x2． 当MP＝MN时，6m23(6m)m6，）．

222223，解得m63，此时x53．

2当NP＝NM时，m9m21(6m)，解得m5，此时x4．