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幂函数题型及解析
1.（1）下列函数是幂函数的是________
y=x，y=（），y=4x，y=x+1，y=（x﹣1），y=x，y=a（a＞1）
分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x和y=x．
解：由幂函数的定义知，y=x，y=（），y=4x，y=x+1，y=（x﹣1），y=x，y=a（a＞1），七个函数中是幂函数的是y=x和y=x，
（2）①y=x+1； ②y=2； ③y=
2
x
2
2
x
2
5
2
x
2
2
x
2
5
2
x
； ④y=（x﹣1）； ⑤y=x； ⑥y=x
25x+1
分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．
α
解：根据幂函数y=x，α∈R的定义知， ①y=x+1不是幂函数，②y=2不是幂函数，③y=⑥y=x不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤
2.已知幂函数y=f（x）的图象过点（9，）.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（25）的值；（3）若f（a）=b（a，b＞0），则a用b可表示成什么？
分析：（1）设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f（25）的值；（3）根据函数的解析式求出a与b的关系． 解：（1）设幂函数f（x）=x，∵图象过点（9，），∴（2）∵f（x）=
，∴f（25）=25=
=
t
x+12
x
=x是幂函数，④y=（x﹣1）不是幂函数，⑤y=x是幂函数，
﹣225
；即3=3，∴
2t﹣1
，∴
﹣1
2
； ．
=；（3）∵f（a）=a=b，∴a＝b，∴a=b，∴a=
3.比较下列各组中两个值的大小
；（3）(1.2)23，(1.25)23
235；（4）（）与()4；
61（5）；（6）（），（）；（7；（8）（），（）
分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．
解：（1）∵幂函数y=x在（0，+∞）单调递增，∴1.5＜1.7；（2）∵幂函数y=x在（0，+∞）单调递增，∴＞；（3））∵幂函数y=x135353523在（﹣∞，0）单调递增，∴(1.2)23＞(1.25)23；（4）∵0＜＜，∴（）
523
＜()4；（5）＜；（6）（）＞（）；（7＞；（8）（）＜（）
.若函数y=（m+2m﹣2）x为幂函数且在第一象限为增函数，求m的值
﹣﹣
②已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm22m3，当x∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数 分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m的值即可
2m2
解：①∵函数y=（m+2m﹣2）x为幂函数且在第一象限为增函数，∴m+2m-2=1且m＞0；解得m=1
﹣﹣
②解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm22m3，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时y为减函数，∴当m=2时，m2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x-3，满足题意；当m=-1时，m2-2m-3=0，幂函数为y=x0，不满足题意；综上幂函数y=x-3
2m
5.幂函数y=（m﹣3m+3）x是偶函数，求m的值
分析：根据幂函数的定义先求出m的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．
22
解：∵函数是幂函数，∴m﹣3m+3=1，即m﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件．当
2
m=2时，y=x是偶函数，满足条件，即m=2
2
m
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6.求函数y=x23的定义域和值域．
23分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=x解：∵函数y=x﹣
﹣
化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．
23= ，∴x≠0，且y＞0；∴函数y的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y＞0}
7.x23x+4的定义域、值域和单调区间．
分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可． 解：令f（x）=﹣x2﹣3x+4=﹣（x2+3x+）++∞）递减，∴
﹣x2﹣3x+4
=﹣+，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，
=
，∴
﹣x2﹣3x+4
在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴ymin=
的定义
域是R、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增
43mm28.已知幂函数y=x（m∈Z）的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象 22
分析：由题意得4-3m-m＞0解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴对称，所以4﹣3m﹣m必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．
2
解：由题意得4﹣3m﹣m＞0，即有（m+4）（m﹣1）＜0，解得﹣4＜m＜1，又因为图象关于y轴对称，所以4﹣3m246
﹣m必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x，m=﹣2，y=x，m=﹣1，y=x，m=0，y=x其图象如图：
9.已知函数y=（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数图象．
2
分析：由题意可得，可得幂指数n﹣2n﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，
2
幂指数n﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象． 解：已知函数y=
（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幂指数n﹣
2
2
2
2n﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n﹣2n﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n﹣2n﹣3=0，满足
﹣40
条件故函数为y=x，或y=x，它的图象如图所示：
m﹣2
10.已知幂函数y=x（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象． 分析：由题意利用幂函数的性质可得m∈N，m﹣2≤0，且m﹣2为偶数，由此求得m的值．
m﹣2
解：∵幂函数y=x（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，∴①m﹣2＜0，m﹣2为偶数，故m=0，
﹣20
即幂函数y=x，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x，（x≠0），它的图象如图所示
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11.已知幂函数 的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值
22
分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m﹣2m﹣3≤0且m﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案． 解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m﹣2m﹣3≤0且m﹣
2
2m﹣3为偶数（m∈Z），由m﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．
22
当m=﹣1时，m﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当
22
m=1时，m﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题
2
意；当m=3时，m﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，3
m2﹣2m﹣3
12. 已知幂函数y=x（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．
22
分析：由题意知，m﹣2m﹣3＜0，且 m﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．
m2﹣2m﹣322
解：幂函数y=x（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m﹣2m﹣3＜0，且 m
2﹣3
﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3 且 m﹣2m﹣3 为奇数，∴m=0或2，∴y=x，其图象为：
2
2
13.
2m+3
＜，求实数m的取值范围
2m+3
3m
3m
﹣（4m+6）
分析：
2m+3
＜，即为（）
3m
＜（），再由y=（）在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．
﹣（4m+6）
3m
x
3mx
＜
3m2（2m+3）
＜（），即有（）＜（），由于y=（）在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m
＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）14.已知幂函数
．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）
若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性
（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．
2*2
解：（1）∵m+m=m（m+1），m∈N∴m+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：∴
，故a的取值范围为：
，∴
，∴m=1（m∈N）由已知得：
*
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