直线方程与圆的方程

一、直线的方程：

概念：倾斜角

（１）倾斜角的范围：0180，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．

（２）特殊位置：当0时，直线l与x轴平行；当90时，直线l与x轴垂直． ２．直线的斜率． （１）斜率的概念

当倾斜角不是90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：ktan．

说明：当90时，直线l没有斜率（但是有倾斜角）；当90时，直线l有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的 倾斜程度的量． （２）斜率公式：k00y2y1，其中

x2x1(x1,y1),(x2,y2)是直线l上两点的坐标．

例1：已知两点A(1,5),

３．直线方程的五种形式：

（１）点斜式：yy1kxx1； （２）斜截式：ykxb；

B(3,2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率．

（３）两点式：

yy1xx1；

y2y1x2x1（４）截距式：

xy1； ab（５）一般式：AxByC0(A,B不同时为0)．

例２．过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程． 练习：

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，

并画图．

４．两条直线的位置关系： （１）平行（不重合）的条件：

l1//l2k1k2,且b1b2；

l1//l2A1B1C1． A2B2C2（２）两条直线垂直的条件：

l1l2k1k21；l1l2A1A2B1B20．

（３）直线l1到直线l2的角公式为：tgk2k1．

1k1k2k2k11k1k2．

．(090)

（４）直线l1与直线l2夹角的公式：tan（5）点到直线的距离公式：dAx0By0CAB22（7）过两直线l1:A1xB1yC10的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数，

l:AxByC02222A2xB2yC20不包括在内）

注：

221. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P. 1P2|(x2x1)(y2y1)特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|x2y2 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 12所成的比为即PP1PP2x1x2yy2 ,y111特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan

x4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k当x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率 ⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0) 4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ∊R） 注：该直线系不含l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(2a – x, 2b – y)=0.

例1：直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线

(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，求a的值。

例2：两条直线2-2y-2=0与x+y-4=0夹角的正弦值为 例3.点（0，5）到直线y=2x的距离为 例4已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?

例5过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为

例6.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是

二、简单的线性规划：

１．二元一次不等式表示平面区域：

２．线性规划的有关概念：①线性约束条件；②线性目标函数；③线性规划问题；④可行解、可行域和最优解； 例1：已知目标函数z=x+2y，在可行域

2xy＋20yx5内，求z的最小值，并求出此时的x,y的值。 x2y601、若直线x1的倾斜角为，则 （ ）

A．0 B.45 C.90 D.不存在

2、经过两点A(4,2y1),B(2,3)的直线的倾斜角为135，则y的值等于（ ）

A 1 B 3 C 0 D 2

3、过点（1，4）作直线l使点M（1，2）到直线l距离最大，则直线l的方程为（ ） A xy30 B xy50 C xy10 D xy50 4、如果ac0且bc0，那么直线axbyc0不通过（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

5、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条

6、已知直线(mm4)x(m4)y2m10的倾斜角为135，则m的值是（ ）

2 A 2或4 B 4或2 C 4或0 D 0或2

7、直线l与直线2x3y60关于点(1,1)对称，则直线l的方程是（ ）

A 3x2y20 B 2x3y70 C 3x2y120 D 2x3y80 8、直线(a1)xy12a0与(a1)x(a1)y150平行，则实数a的值为（ ） A . 1 B.-1或1 C .－1 D. 0 9、过点（1，1），倾斜角是直线y23x的倾斜角的2倍的直线方程是 。

10、无论a取何实数，直线（1＋2a）x＋（3a－2）y＋9a＋1＝0（aR）必经过定点，这个定点的坐标是______________。

11、已知点N（3，1），点A、B 分别在直线yx和y0上，则ABC的周长的最小值是 。 12、设三条直线3x2y60,是 。

13. 求直线3xy30关于直线xy20对称的直线的方程。 14.已知直线l过两条直线3x4y50,2x3y80的交点，且与 A（2，3），B（－4，5）两点的距离相等，求直线l的方程。

三、圆的方程：

1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.

注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2b2 [rb,圆心(a,b)或(a,b)] ②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2 [ra,圆心(a,b)或(a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2 [ra,圆心(a,a)] 3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .

DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r22222x3m2y180和2mx3y120围成直角三角行，则m的值

D2E24F.

2当D2E24F0时，方程表示一个点DE,. 22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

xarcos注：①圆的参数方程：（为参数）.

ybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0. ③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

22xyD1xE1yF10附：若两圆相切，则相减为公切线方程.

22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr时，l与C相交； C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：设 C2:x2y2D2xE2yF20

有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0. ③dr时，l与C相离.

22xyD1xE1yF10附：若两圆相离，则相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.

22xyD2xE2yF20(xa)2(yb)2r2 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，

AxBxC0则：

0l与C相切； 0l与C相交； 0l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykx1k2r过圆x2y2DxEyF0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx0yy0EF0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线

A方程为x0xy0yr2.

CD(a,b)B

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，联立求出k切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则RR217. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知O的方程

x2y2DxEyF0…① 又以ABCD为圆为方程为(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

R2(xAa)2(yAb)24…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

例1：若直线ax+by-3=0与圆x2y24x10切于点P(-1,2)，则ab积的值为 例2：两圆求(x1)2(y1)29,(x1)2(y3)216的公共弦所在的直线方程例 3：实数x,y满足x2y24x14y450,求：x2y24x6y 1、三角形ABC中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则kAB，kBC顺次为 （ ）

A －

17，2 B 2，－1 C 0，2 D 0，－17 2、斜率为－12，在y轴上的截距为5的直线方程是 （ ）

A x－2y = 10 B x + 2y = 10 C x－2y + 10 = 0 D x + 2y + 10 = 0

3、经过(1，2)点，倾斜角为135˚的直线方程是 （ ） A y－2 = x－1 B y－1 =－(x－2) C y－2 = －(x－1) D y－1 =x－2 5、如果直线ax + 2y + 2 = 0与3x－y－2 = 0直线平行，那么系数a = （ ） A －3 B －6 C －

32 D 23 6、点(0，10)到直线y = 2x的距离是 （ ） A 25 B 5 C 3 D

5

7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为 （ ）

A (x－3)2 + (y + 2)2 = 5 B (x－3)2 + (y + 2)2 = 25 C (x + 3)2 + (y－2)2 = 5 D (x + 3)2 + (y－2)2 = 25

8、已知圆的方程为x2 + y2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ） A 3x + 2y + 1 = 0 B 3x－2y + 1= 0 C 3x－2y = 0 D 3x + 2y = 0 9、设0 ≤ θ ≤

2，则参数方程x2cossin(是参数）所表示的曲线是（ ） yA 直线 B 圆 C 半圆 D 四分之一圆

10、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为 （ ） A (x + 1)2 + (y－1)2 = 25 B (x－1)2 + (y + 1)2 = 100 C (x－1)2 + (y + 1)2 = 25 D (x + 1)2 + (y－1)2 = 100

11、直线3x + 4y + 2 = 0与圆x2 + y2 + 4x = 0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 A 4x－3y－2 = 0 B 4x－3y－6 = 0 C 4x + 3y + 6 = 0 D 4x + 3y + 8 = 0

） （

12、已知直线3x－y + 4 = 0与6x + my + n = 0是一个面积为

81

的圆的两条平行切线，则m，n的值分别160

为 （ ）

A －2，－1 B －1，－2 C 2，－1 D －2，1

13、直线3x－4y－5 = 0和(x－1)2 + (y + 3)2 = 4位置关系是 ( ) A 相交但不过圆心 B 相交且过圆心 C 相切 D 相离

14、(x－2y + 1)(x + y－3) < 0表示的平面区域是 （ ）

y y 3 3 x x - 1 3 - 1 3 o o B A y y 3 3

x x - 1 3 - 1 3

o o

C D

15、点P (1，5)关于直线x + y = 0的对称点的坐标是 （ ）

A (5，1) B (1，－5) C (－1，5) D (－5，－1) 16、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是 （ ） A x + y－5 = 0 B x + y + 5 = 0

C x + y－5 = 0 或x + y + 5 = 0 D x + y－5 = 0 或3x－2y = 0

17、两条直线2x + 3y－k = 0和x－ky + 12 = 0的交点在y轴上，那么k的值是 （ ） A －24 B 6 C ±6 D 24

18、已知圆C1：x2 + y2 = 4和圆C2：x2 + y2 + 4x－4y + 4 = 0关于直线l对称，则直线l的方程为 （ ） A x + y = 0 B x + y = 2 C x－y = 2 D x－y =－2

19、已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y + a = 0的两侧，则a的取值范围是 （ ） A a <－7或a > 24 B a = 7 或24 C －7 < a < 24 D －24 < a < 7 20、如果实数x，y满足x2 + y2 = 4，那么3y－4x的最大值是 （ ） A 10 B 8 C 6 D

10

21、经过两点A(－m，6)、B(1，3m)的直线的斜率是12，则m的值为 。 22、一直线经过点A(2，－3)，它的倾斜角等于直线y =

13x的倾斜角的2倍，则该直线的方程

为 。

23、过点A(2，3)且与直线2x + y－5 = 0垂直的直线方程为 。 24、直线y = 3x－1与3y + x－12 = 0的夹角为 。

25、 圆心为C(3，－5)，且与直线x－7y + 2 = 0相切的圆的方程为 。 26、已知圆的方程为x2 + y2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为 。 27、已知直线4x + 3y = 10和2x－y = 10，

（1）直线ax + 2y + 8 = 0过两条直线的交点，求a的值；

（2）过两条直线的交点，且与直线4x－y + 5 = 0平行的直线方程。

（3）若直线l经过三条直线的交点，且和直线5x + 2y +3 = 0夹角为45˚，求直线l的方程。

28、已知直线l1：3x－4y = 2和l2：3x－4y + 2 = 0。

（1）判断两条直线的位置关系，若相交求出夹角；若平行，求出两条直线的距离。 （2）当a为何值时，点P(a，6)到直线l1的距离不小于4？

29、求经过两圆x2 + y2 + 6x－4 = 0和x2 + y2 + 6y－28 = 0的交点，并且圆心在直线x－y－4 = 0上的圆的方程。

30、圆C经过点A(2，－1)，和直线x + y = 1相切，且圆心在直线y = －2x上。

（1）求圆C的方程； （2）圆内有一点B(2，－

5)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程。 2