根与系数关系经典题

22 2. 已知一元二次方程x 3. 若方程x二. 选择题

23x50的两根分别为x1、x2，那么x1x2的值是_________。

82xk0的两根的倒数和是，则k3____________。

1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A.

x22x30 B. x22x30 C. 2x22x30 D. 3x26x10

2 2. 如果一元二次方程x A. 3，2 3. 如果方程 A. 3

3x20的两个根为x1、x2，那么x1x2与x1x2的值分别为（ ）

B.

3，2 C. 3，2

D.

3，2

2x26x30的两个实数根分别为x1、x2，那么x1x2的值是（ ）

B.

3

C.

3 2 D.

3 2 4. 如果x1、x2是方程

x23x10的两个根，那么

B. 3

C.

11的值等于（ ） x1x2D.

A.

3

1 31 32x(k2)x6k0有两个相等的正实数根，则k的值是（ ） 5. 已知关于x的方程

A.

2

2 B.

10

C. 2或10

D.

25

6. 若方程x A. 3

8xm0两实数根的平方差为16，则m的值等于（ ）

B. 5

C. 15

2 D.

15

2 7. 如果x1、x2是两个不相等的实数，且满足（ ） A. 2

B.

x12x11，x22x21，那么x1x2等于

D.

2

2C. 1

1

8. 对于任意实数m，关于x的方程(m1)x22mx(m24)0一定（ ）

A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根 三. 解答题

1. 已知关于x的方程x2(k1)xk10的两上实数根的平方和等于4，求实数k的值。

2. 已知一元二次方程x22xm10

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足 3. 已知关于x的方程x(k1)x2x1x1x21，求m的值。

212k10 4 （1）k取什么值时，方程有两个实数根？ （2）如果方程的两个实数根

x1、x2满足|x1|x2，求k的值。

2 4. 已知关于x的一元二次方程axxa0(a0)

（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根； （2）设

x1、x2是方程的两个实数根，若|x1||x2|4，求a的值。

一元二次方程根与系数的关系

知识考点：

掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题：

【例1】关于x的方程2x2kx410的一个根是－2，则方程的另一根是 ；

k＝ 。

分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。 答案：

5，－1 22【例2】x1、x2是方程2x（1）x123x50的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

x22 （2）

x1x2 （3）x123x23x2

21 412 （2）x1x2＝(x1x2)4x1x2＝3

211222 （3）原式＝(x1x2)(2x23x2)＝75＝12

44略解：（1）x12x22＝(x1x2)22x1x2＝7【例3】已知关于x的方程x的积大16，求m的值。

22(m2)xm250有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根

分析：有实数根，则△≥0，且x1略解：依题意有： 由①②③解得：m2x2x1x216，联立解得m的值。

21或m15，又由④可知m≥9 4∴m15舍去，故m1

2探索与创新：

【问题一】已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x4(m1)xm20的两个非零实数根，问：x1与

x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。

略解：由32m16≥0得m≤

112。x1x2m1，x1x2m≥0 24 ∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论：

（1）若x1＞0，x2＞0，则x1x20，解得m＜1且m≠0

x1x20 ∴m≤

1且m≠0 2x1x201（2）若x1＜0，x2＜0，则，解得m＞1与m≤相矛盾

2x1x20 综上所述：当m≤

1且m≠0时，方程的两根同号。 22【问题二】已知x1、x2是一元二次方程4kx（1）是否存在实数k，使(2x14kxk10的两个实数根。

x2)(x12x2)3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 2（2）求使

x1x22的值为整数的实数k的整数值。 x2x1略解：（1）由k≠0和△≥0k＜0 ∵x1x21，x1x2k1 4k ∴(2x1 ∴kx2)(x12x2)2(x1x2)29x1x2

9，而k＜0 5 ∴不存在。

x1x2(x1x2)2442＝（2），要使的值为整数，而k为整数，k1只4＝x2x1k1k1x1x2能取±1、±2、±4，又k＜0

∴存在整数k的值为－2、－3、－5

【课后作业】

1．一元二次方程x2x10的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根

2Ｃ．只有一个实数根

2

Ｄ．没有实数根

2. 若方程kx－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 3．设x1、x2是方程3x＋4x－5＝0的两根,则

2

11 ，.x12＋x22＝ . x1x24．关于x的方程2x＋(m－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；当m＝ 时，两根互为相反数.

2

5．若x1 =32是二次方程x＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .

22

6．设x1，x2是方程2x＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x1＋x2＝_____，

222

11x1x2＝__________，(x1－x2)＝_______.

7．当c__________时，关于x的方程2x8xc0有实数根．（填一个符合要求的数即可） 8. 已知关于x的方程x(a2)xa2b0的判别式等于0，且x为 ．

9. 已知a，b是关于x的方程x(2k1)xk(k1)0的两个实数根，则a

．

22222

21是方程的根，则ab的值22b2的最小值是

10．已知，是关于x的一元二次方程x(2m3)xm0的两个不相等的实数根，且满足

111，则m的值是（ ）

Ｂ．3

Ｃ．1

Ｄ．3或1

Ａ．3或1

11．一元二次方程x23x10的两个根分别是x1，x2，则x12x2x1x22的值是（ ）

Ａ．3

Ｂ．3

Ｃ．

2.1 3

Ｄ．

1312．（泸州）若关于x的一元二次方程x2xm0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m－1 C．m>l D．m<－1

跟踪训练：

一、填空题：

1、设x1、x2是方程x24x20的两根，则①

11x1x2＝ ；②

x1x2 ＝ ；③(x11)(x21)＝ 。

2、以方程2x2x40的两根的倒数为根的一元二次方程是 。 mx450的两实根差的平方为144，则m＝ 。

3xm0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 。

23、已知方程x4、已知方程x226、已知x1、x2是方程x二、选择题： 1、如果方程x23x10的两根，则4x112x211的值为 。

2mx1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ）

A、0 B、－1 C、1 D、±1

b22、已知ab≠0，方程axbxc0的系数满足ac，则方程的两根之比为（ ）

2 A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3

4、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：

2x2(2m1)xm230的根，则m的值为（ ）

A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3 三、解答题： 1、证明：方程x21997x19970无整数根。

22、已知关于x的方程x3xa0的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程(k1)x23x2a0有

实根，且k为正整数，求代数式3、已知关于x的方程x2k1的值。 k2(12a)xa230……①有两个不相等的实数根，且关于x的方程

x22x2a10……②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？

4、已知关于x的方程x22(m1)xm230

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且(x15、已知关于x的方程kx2x2)2(x1x2)120，求m的值。

(2k1)xk10只有整数根，且关于y的一元二次方程

(k1)y23ym0的两个实数根为y1、y2。

（1）当k为整数时，确定k的值。 （2）在（1）的条件下，若m＝2，求

y1y222的值。

6、已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x24(m1)xm20的两个非零实根，问：x1、x2能否同号？

若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由。

7．设关于x的方程kx－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若

2

x1x217,求k的值. x2x148．已知关于x的一元二次方程x2m1xm20．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程的两实数根之积等于m

29m2，求m6的值．