材料力学复习题答案

第二部分：材料力学

扭转

1、钢制圆轴材料的剪切弹性模量G=80Gpa，[]=50Mpa,[]1om,圆轴直径d=100mm;求(1)做出扭矩图;(2)校核强度;(3)校核刚度;(4)计算A,B两截面的相对扭转角.

解：

maxTmax610330.57MPa[]50MPa

Wt3(0.1)16Tmax1800610318000.440m[]10m

GIp80109(0.1)432maxABTl(364)210318000.013rad0.730

GIp80109(0.1)4322、图示阶梯状实心圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN?m， MB=36 kN?m， MC=14 kN?m。 材料的许用切应力[ = 80MPa ，（１）做出轴的扭矩图；（２）校核该轴的强度是否满足要求。

解：（1）求内力，作出轴的扭矩图

（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 AB段：1,maxT122103πWt1120103163.8MPa[]80MPa

BC段：2,maxT21410371.3MPa[]80MPa

3πWt231001016综上，该轴满足强度条件。

3、传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知材料的许用切应力[]=70MPa，单位长度的许可扭转角[，]=1o/m，剪切弹性模量G=80GPa。(1)画出扭矩图。(2)试确定AB 段的直径d1和BC段的直径d2；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理为什么

解：（1）

Me19549P1P40016095497639N.m，Me29549295493056N.m n500n500P324095494583N.m，扭矩图如下 n500Me39549

（2）AB段， 按强度条件：max167639TT16T82.2mm []，d3，d1367010Wt[]d316按刚度条件：maxT1800GIpTG32d41800032T180[]10m，d4 2G0327639180d1486.4mm

801092综合强度和刚度条件得到：d187mm BC段，

按强度条件：d2316458369.3mm； 670100324583180按刚度条件：d2476.0mm 928010综合强度和刚度条件得到：d276mm

（3）将主动轮放置B点，受力合力，此时Tmax4583N.m

弯曲内力

4、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力Fs

max和弯矩Mmax数值。

Fsmaxqa，Mmax1.5qa2

5、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力Fsmax和弯矩Mmax数值。

Fsmax3qa，Mmax2qa2

弯曲应力

6、如图所示正方形截面外伸梁，若材料的许用应力10MPa。（1）试绘制该梁的剪力图和弯矩图。 （2） 按正应力强度条件确定该梁的横截面边长a。 解：（1）支座反力RA8.5kN，RB3.5kN，方向均竖直向上。剪力图和弯矩图如图所示：

（2）Mmaxa33kN•m WZ

6Mmax[] （计算过程略）得a121.6mm WZ由max7、如图所示外伸铸铁梁的横截面为T形，载荷及横截面尺寸（注：横截面尺寸单位为mm）如图所示。中性轴为z轴，已知Iz26.1106m4，材料的许用拉应力为t40MPa,许用压应力为c110MPa。（1）作出梁的剪力图和弯矩图。（2）按照正应力条件校核铸铁梁的强度。（3）若梁上载荷不变，将T形截面倒置，是否合理，何故

解：（1）求约束力

Fx0RARB402000.4

AM0RB1.4400.52000.41.60

解得：RA14.3kN,RB105.7kN 绘出剪力和弯矩图：

（2）MB16kN.m,MC7.15kN.m;y148mm,y2142mm 截面B

tmaxcmaxMBy1161030.04829.4MPat

IZ26.1106MBy2161030.14287MPac 6IZ26.110Mcy27.151030.14238.9MPat 故，铸铁梁的强度足够。

IZ26.1106MBy287MPat，不满足强IZ截面C

tmax若将截面倒置，则B截面的最大拉应力tmax度要求。

8、T字形铸铁梁的弯矩图和横截面尺寸如图所示，已知其对中性轴的惯性矩

Iz6.01105m4。铸铁材料的许用拉应力[t]40MPa，许用压应力

[c]160MPa。按照正应力的强度条件校核梁的强度。如载荷不变，但将T形

导致成为形，是否合理，何故

解：

（1）由弯矩图可知，可能的危险截面是B和C。

MB20kN.m，MC10kN.m

（2）强度计算：

B截面（上拉下压）：

2072.520157.5，tmax24.1MPa[]52.4MPa[C] tCmax6.011056.01105C截面（上压下拉）：

10157.51072.5， tmax26.2MPa[]11.67MPa[C] tCmax556.01106.0110∴安全

20157.5（3）截面倒置后，由于B截面tmax所以不安全。 52.39MPa[t]，

6.011058、槽形截面悬臂梁，现已给出该梁在图示外载作用下的弯矩图（如图所示，图、 中未标明的长度单位为：mm），已知：IZ = ×10 -4m4, 脆性材料的许用拉应 力[+] = 35MPa， 许用压应力[ -] = 120MPa，试按弯曲正应力强度条件校核该 梁的强度。

25096z

解:可能的危险截面是跨度中点截面C

MC左30KNm;MC右40KNm，y196mm;y2154mm C处的左侧截面：

maxMC左y1IZMC左y2IZMC右y2IZ301030.09628.23MPa35MPa 41.0210301030.15445.29MPa4120MPa 1.0210maxC处的右侧截面：

max401030.15460.39MPa35MPa 41.0210maxMC右y1IZ401030.09637.MPa120MPa 41.0210所以满足强度要求。

弯曲变形

9、直角折轴ABC如图所示。B为一轴承，允许AB轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。已知P60N，E210Gpa,G0.4E。试求截面C的挠度。

附：如左下图所示，悬臂梁A截面的挠度和转角为：yAPL3/3EI；APL2/2EI

300 L=500 C A 20 B 5

10

pL136.17mm P60N L10.3m 解：（1）先AB段刚化，得VC13EI (2)BC段刚化VC2AB•L12.05mm   GI TPL118N•m

pTlVCVC1VC28.21mm

10、用叠加法计算下图（1）中B点的挠度

（1） （2）

附：如下图（2）所示，悬臂梁A截面的挠度和转角为：yAPL3/3EI， APL2/2EI。

VBPVBPCPCPL3PL25PL3•L•L

3EI2EI6EI

VB2P2P(2L)316PL3

3EI3EI27PL3

6EIVBVBPVB2P

应力状态分析

11、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法（即应力圆法）求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：x120MPa,y50MPa,xy30MPa,yx30MPa （1） 应力圆，B(120,30),B(50,30)， 选“—”代表30MPa

(2)

maxxyxy21205021205030xymin22223590.12125MPa55.11MPa

1125.12MPa,20,355.12MPa （3）tan202xyxy2300.3529,09.720

12050主单元体如图所示。

12、已知应力状态单元体如下图所示，采用解析法 求：（1）主应力的大小，（2）主平面的方位，（3）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：

x0,y80MPa,xy20Mpa，

xy22maxxy()xy402054.7MPa min84.72214.7MPa,20,384.7MPa

tan202xyxy20.5，013.30或076.70

maxmaxmin44.7MPa

13、单元体的应力状态如图;（1）求图示30o斜截面上的正应力、切应力;（2）主应力及主平面所在的方位，并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：x100MPa,y80MPa,xy40MPa （1）计算300和300

300xy2xy2cos2xysin2

100(80)100(80)cos60040sin60020.36(MPa) 22300xy2sin2xycos2

100(80)sin60040cos60097.(MPa) 2min（2）可以采用解析法或图解法中的一种来计算，下面采用解析法计算max，及主平面方位角

maxxyy108.5MPa 2xxymin2288.5MPa2主应力分别为：1108.5MPa,20,388.5MPa 计算主平面方位：tan202xyxy2400.4444

100(80)0120和0120900780 主单元体如下：

14、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法(即应力圆法)求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

解：

x0,xy20Mpa,y80MPa,yx20Mpa， 得到两点：D1(0，20)，D2(-80，-20) 以D1D2为直径做应力圆

量得主应力为14.7MPa,20,384.7MPa 量得013.30

主单元体如下：

组合变形

15、图示手摇铰车的轴的直径d30mm，材料为Q235钢，80MPa。试按第三强度理论求铰车的最大起吊重量P。

解：轴的受力分析图如下

FAFB0.5P，弯矩图和扭矩图为

弯扭组合变形，横截面为圆形，危险截面为C截面

Mc0.5P0.40.2P，Tc0.18P

按第三强度理论r3Tc2Mc2W（计算过程略）可得P788N ，

绞车的最大起吊重量为788N。

16、图示起重架的最大起吊重量（包括走小车等）为P=40kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力120MPa。试校核梁的强度。（附：18号槽钢的横截面面积、惯性矩、抗弯截面系数分别为A29.30cm2，

Iy1370cm4，Wy152cm3） 解：对梁AC受力分析，

梁AC的变形为压弯组合变形，当集中力P作用在跨度中点时梁的跨度中点弯矩为最大值，危险截面为梁跨度中点截面。危险点为该危险截面的顶边上 静力学平衡方程为：

MC0,RA3.5sin30oP3.50.5

RAP40kN，RCxRAcos30o34.6kN，RCyPRAsin30o20kN

梁的轴力为：FNRCx34.6kN

梁跨度中点的最大弯矩为：MRCy3.50.535kN.m 危险点的最大正应力为：

maxFNM34.610335103120MPa（压应力）

AWy229.31042152106最大应力等于许用应力，梁满足强度要求。

17、图示钢制悬臂梁，承受水平平面力F1和铅垂平面力F2作用，两力均垂直于AC杆，已知F1=800N，F2=1600N，l = 1m，h=60mm，b=30mm，许用应力[σ]=160MPa，试校对强度。

解：画出弯矩图（斜弯曲）

固定端截面为危险截面

Mymax1600N.mMzmax1600N.m

11W10.060.032,W20.030.062

66maxMymaxW1Mzmax1600616006266.67MPa，不符合强度W20.060.0320.030.062要求。

18、如图所示，用直径d=80mm的实心圆杆制成水平放置的T形结构ABCD，A端固定，CD⊥AB，在C、D两处分别作用竖向力2F、F，已知［σ］＝100MPa，试用第三强度理论确定许用载荷［F］。

解：危险截面在A处。

MA4F2F6F，TA＝，

(6F)2(1.5F)2[]

r322MATA32WZ0.083解得：F0.812kN

压杆稳定

19、一根直径为160mm的圆形截面压杆，杆长为9m，两端为固定端约束。已知材料的弹性模量E=206Gpa，P =100 ，a=577Mpa，b=，计算该压杆的临界载荷。

dl0.59解：0.5，i40mm，112.5p，细长杆

4i0.042E22061090.162PcrcrA2A3.225MPa 2112.5420、实心圆截面压杆的直径D＝40mm，长L＝600mm，两端铰支，材料为Q235

钢，σp=200MPa，σs = 240 MPa，E=200Gpa，a＝304MPa，b＝，压杆受到的最大工作压力为Pmax＝40kN，许用的安全系数为nst＝10，试校核杆的稳定性。

2E304240100,257.1 解：60 1p1.12i40/4L160021（属于中长杆）

crab3041.1260236.8MPa

ncrAPmax236.8402/47.44nst

40103 ∴不安全

21、圆截面压杆直径为d=160mm，长度为L1=5m，两端铰支，材料为Q235钢，σp=200MPa，σs=240MPa，E=200GPa， a＝304MPa，b＝，许用的安全系数为nst＝10，试确定压杆的最大工作压力。

2E304240100,257.1，1,i40(mm) 解： 1p1.12

Li1251，所以该杆为大柔度杆

2EPcr2A2540(kN)

nPcr2540nst10 PPp254(kN)

22、已知压杆BD为20号槽钢，最小惯性半径为i＝，A＝，材料为A3钢，λ1

＝100，λ2＝62，a＝304Mpa，b=，P＝40kN，稳定安全系数为nst=5，试校核BD杆的稳定性。 解：（1）研究杆AC的受力情况

1.5mA30oB0.5mCP0M0:1.5Fsin302P0A8FP106.7kN3

（2）研究BD杆的稳定性

XA30oYAFBP