讨论直线斜率是否存在之避免技巧

洪湖 伍强华

用常规方法求有些直线的方程时，常要分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，这样解题过程就有些复杂，我们极易忽略斜率不存在的情况，造成失分.为此，本文将介绍避免讨论直线斜率是否存在的两个技巧.

一、巧用向量

解答解析几何题时应用向量共线或垂直的充要条件常常可以巧妙的避免讨论直线斜率是否存在.

例1 过抛物线y=4x的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD．设弦AB，CD的中点分别为M，N，求证直线MN必过定点.

分析:设点M为为

，将

,N为代入

，点F的坐标为（1，0），设直线AB的方程中，得

,

∴,∴, .

∴点M坐标为.

设直线CD的方程为,同理可得点N坐标为.

解答至此，以下部分许多同学可能就会先求直线MN的斜率，再写出直线的方程.但k=1时直线MN的斜率不存在，用这种做法必须分MN斜率存在与不存在两种情况讨论.如果我们能巧妙的利用共线向量定理的充要条件，则可以避免上述讨论.解法如下：

设点P为直线MN上任一点，

则, =.

又∵与共线，∴.

化简可得直线MN的方程为∴直线MN恒过定点（3，0）. 1

,

v1.0 可编辑可修改 点拨：这类题的解题要点是设点（垂直的充要条件列一个关于，

）为所求直线上的任意一点，再利用向量共线或

的方程，加以化简整理可得所求直线方程.

二、巧设直线方程

已知直线过定点P

且倾斜角α∈

，如果设直线方程为

则多有不便，因为直线的倾斜角为

此时不防巧设直线方程为角∈（0，

）时，可以设其方程为

时，直线方程不能用上式表示，

.特别地，当直线过点（n，0）且直线的倾斜.

例2 已知椭圆T：,直线过椭圆左焦点F，且不与轴重合，直线与椭

交于A，B两点，若

,

圆交于点P，Q，直线绕着F旋转，与圆O：

求△FPQ的面积S的取值范围（F为椭圆右焦点）.

解：∵直线PQ不与轴重合，∴可以设直线PQ的方程为.设点P，

Q. ∴=， =2．又∵，

∴得

.将代入.

中，消去，

∴ ∴

=, .

+===．

设2

,∴；设,当时为增函数，

v1.0 可编辑可修改 ∴．又∵S=，∴.所以S的取值范围是），巧设其方程为

.

，使运算

点拨：此解法抓住直线PQ的倾斜角属于（

得到很大的简化.若用常规方法做则要分斜率存在与不存在两种情况讨论.数学学习中做大量的习题是必不可少的，但是在解题的同时我们还要注意总结，提炼其中的方法，这样才能触类旁通，提升解题能力.

【巩固练习】 1．已知圆的方程是

，求经过圆上一点M

的切线的方程.

２．已知曲线C的方程为交点C的轨迹于点P、Q，且

【参】 1．

（提示：设点P

（＞2），若过点M（2，0）作两条射线，分别=0，求证直线PQ必过定点.

为切线上任意一点，则）

2．提示：设直线PQ的方程为，求出的值为，所以直线PQ过定点

（

，0）.

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