函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性

一、单调性

1、定义：对于函数yf(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当

x1x2时，都有

f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2))，那么就说函数yf(x)在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数f(x)ax2bxc(a0)，

b的左侧单调减小，右侧单调增加； 2ab当a0时函数f(x)在对称轴x的左侧单调增加，右侧单调减小；

2a当a0时函数f(x)在对称轴x例1：作出函数f(x)x26x9的图像，并指出函数f(x)的单调区间。

例2：讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性。

4．证明方法和步骤：

1、设元：设x1,x2是给定区间上任意两个值，且x1x2； 2、作差：f(x1)f(x2)； 3、变形：（如因式分解、配方等）；

4、定号：即f(x1)f(x2)0或f(x1)f(x2)0； 5、根据定义下结论。

1

例2、判断函数f(x)

5．复合函数的单调性：复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

x2在(,0)上的单调性并加以证明. x1yf(u) ug(x) yf(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例3：函数yx22x3的单调减区间是 （ ）

A.(,3] B.[1,) C.(,1] D.[1,)

6．函数的单调性的应用：

判断函数yf(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例4：求函数y

2

2在区间[2,6]上的最大值和最小值. x1 二、奇偶性

1．定义：

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数；

（等价于：f(x)f(x)f(x)f(x)0）

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。

（等价于：f(x)f(x)f(x)f(x)0）

注意：当f(x)0时，也可用

f(x)1来判断。 f(x)2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)0； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤

⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(x)f(x)或f(x)f(x) 是否恒成立。 4．奇偶函数图象的性质

奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。 5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

1x2例4：判断函数f(x) 的奇偶性。

x22分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性

针对性练习：

1、判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、f(x)x2x ⑵、f(x)2x3x

342 3

x3x2⑶、f(x) ⑷、f(x)x2 x1,2

x1

⑸、f(x)

x22x ⑹、f(x)x211x2

x2(x0)2、判断函数f(x)2的奇偶性。

(x0)x

3、已知f(x)xaxbx8且f(2)10，那么f(2) （利用奇偶性求函数值）

4、已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。（利用奇偶性比较大小）

53时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)的解析式？（利用奇偶性求解5、已知f(x)为偶函数当0x1析式）

6、若f(x)(k2)x(k3)x3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）

2 4

7、已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)是偶函数，判断g(x)ax3bx2cx的奇偶性。（利用奇偶性判断函数的奇偶性）

8、定义在R上的偶函数f(x)在(,0)是单调递减，若f(2a2a1)f(3a22a1)，则a的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）

10、已知函数f(x)a

1.，若fx为奇函数，则a________。（利用定题） 2x1函数的周期性与对称性

◆函数的轴对称

定理1：函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称. 2推论1：函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称. 推论2：函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线x0（y轴）对称.

◆函数的周期性

定理2：函数fx对于定义域中的任意x,都有fxfxT，则fx是以T为周期的周期函数； 推论1：函数fx对于定义域中的任意x,都有fxafxb，则fx是以（a－b）为周期的周期函数；

推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数： 1、fxTfx；2、fxT11 ；3、fxTfxT；4、f(xT)； fxf(x)

5

◆函数的点对称

定理3：函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称. 推论1：函数yfx满足faxfax0，则函数yfx的图象关于点a,0对称. 推论2：函数yfx满足fxfx0，则函数yfx的图象关于原点0,0对称. （总结：同号看周期，异号看对称）

针对性练习：

1、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x)f(2x)0，则yf(x)图象关于________对称。

2、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)图象关于________对称。

3、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x1)图象关于______对称,yf(x)图象关于__________对称。

）f(x)，且当x[0,2)时，4、已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2f(x)x，则f(2008)f(2009)的值为（ ）

A．2 B．1 C．1 D．2

5、已知函数f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax＋bx＋cx（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 6、已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ） A．－26 B．－18 C．－10 D．10 7、．函数A．

在区间

是增函数，则

C．

的递增区间是 （ ） D．

2

3

5

32

3

2

B．

8、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R的偶函数，且f(x)-g(x)＝１-x-x，则g(x)的解

析式为( )

2222

A.1-x B.2-2x C.x-1 D.2x-2

6