2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测试试卷(无超纲)

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法： ①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°； ③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108° 其中正确说法的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图，ABC和DEF全等，且AD，AC对应DE．若AC6，BC5，AB4，则DF的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

3、三角形的外角和是（ ） A．60°

B．90°

C．180°

D．360°

4、如图，已知ABAC，要使△AEB≌△ADC，添加的条件不正确．．．

的是（ ）

A．BDCE B．AEBADC C．BC D．BECD

5、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A．10

B．15

C．17

D．19

6、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（ ）A．65°

B．80°

C．115°

D．50°

7、已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）．A．65°

B．65°或80°

C．50°或80°

D．50°或65°8、如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，B75，则ACD的度数为（

）

A．20° B．25° C．30° D．40°

9、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( ) A．2，11，13

B．5，12，7

C．5，5，11

D．5，12，13

10、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（ ） A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

第Ⅱ卷（非选择题 70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将ABC绕点A顺时针旋转090得到ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则ADE_______．（用含的式子表示）

2、如图，AOB42，C为OB上的定点，P、Q分别为OA、OB上两个动点，当CPPQ的值最小时，OCP的度数为______．

3、已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝70°，则∠B＝_____．

4、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，有下面四个结论：①

△CAD≌△BCE； ② ∠ABE＝∠BAD； ③ AB＝CD； ④ CD＝AD＋DE．其中所有正确结论的序号是____________．

5、如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CABE交射线BF于点C，ADBF交射线BF于点D，给出下列结论：①1是B的余角；②图中互余的角共有3对；③1的补角只有ACF；④与

． ADB互补的角共有3个，其中正确结论有______（把你认为正确的结论的序号都填上）

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，

CE．

（1）如图1，点D在线段BC上． ①根据题意补全图1；

②∠AEF ＝ （用含有的代数式表示），∠AMF＝ °；

③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．

（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．

2、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．

3、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，ABCF，CEABF．

（1）求证：EABF； （2）若BC10，求BE的长．

4、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：

CE平分∠ACB．

5、如图，ABC是等边三角形，D点是BC上一点，BD2CD，DEAB于点E，CE交AD于点P．求

APE的度数．

6、如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到AP ，连接PP，BP ．

（1）用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明； （2）当∠BPC＝120°时，

①直接写出PBP 的度数为 ；

②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

7、 “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝

13PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明． 已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC． 求证：∠APB ＝∠AOB．

13

8、如图，点C是线段AB上一点，ACF与BCE都是等边三角形，连接AE，BF．

（1）求证：AEBF；

（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC． ①依题意补全图形；

②判断△CMN的形状，并证明你的结论．

9、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边

三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC． （1）求证DOB≌AOC； （2）求∠CEB的大小；

（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠CEB的大小．

10、周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：

（1）已知：如图①，在ABC中，ABAC，A36，直线BD平分ABC交AC于点D．求证：

△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；

（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．

（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．

-参-

一、单选题 1、D 【分析】

根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可． 【详解】

解：∵AD∥BC，∠C＝30°， ∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；

∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°， ∵∠ADB：∠BDC＝1：2， ∴∠BDC=2∠ADB，

∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°， 解得∠ADB=50°，故②正确 ∵∠EAB＝72°，

∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，

∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确 ∵AD∥BC，

∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确 其中正确说法的个数是4个． 故选择D． 【点睛】

本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键． 2、A 【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可． 【详解】

∵ABC和DEF全等，AD，AC对应DE ∴ABCDFE ∴AB=DF=4 故选：A． 【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性． 3、D 【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得． 【详解】

解：如图，142536180， 142536540，

又123180，

456540180360，

即三角形的外角和是360，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 4、D 【分析】

已知条件AB＝AC，还有公共角∠A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】

解：A、添加BD＝CE可得AD＝AE，可利用利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；

B、添加∠ADC＝∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意； C、添加∠B＝∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意； D、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；

故选：D． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 5、C 【分析】

等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】

解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17． 故选：C． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 6、C 【分析】

根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=2∠ABC，∠ECB=2∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解． 【详解】

解：如图，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠CBD=2∠ABC，∠ECB=2∠ACB，

∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- 2（∠ABC+∠ACB）=180°- 2×130°=115°．

111111

故选：C 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键． 7、D 【分析】

50可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．

【详解】

当50角为底角时，底角就是50，

当50角为等腰三角形的顶角时，底角为(18050)265， 因此这个等腰三角形的底角为50或65． 故选：D． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 8、C 【分析】

根据全等三角形的性质可证得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可． 【详解】

解：∵△ABC≌△DEC， ∴BC=CE，∠ACB=∠DCE， ∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE， ∵B75，

∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C． 【点睛】

本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 9、D 【分析】

根据三角形三边关系定理，判断选择即可． 【详解】 ∵2+11=13， ∴A不符合题意； ∵5+7=12， ∴B不符合题意； ∵5+5=10＜11， ∴C不符合题意； ∵5+12=17＞13， ∴D符合题意； 故选D． 【点睛】

本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 10、A 【分析】

根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可． 【详解】

解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x， 则3x+4x+5x＝360°， 解得，x＝30°，

∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°， 对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°， ∴此三角形为直角三角形， 故选：A． 【点睛】

本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键． 二、填空题 1、

180 2【分析】

由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB，ADE∠B，进而即可求解． 【详解】

解：∵将ABC绕点A顺时针旋转090得到ADE， ∴∠DAB=，AD=AB，ADE∠B， ∵∠B=

180， 2180， 2∴ADE故答案是：【点睛】

180． 2本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 2、6° 【分析】

作点C关于直线OA的对称点C，连接CC，交OA于点D，过点C作CMOB，交OA于点N，根据CPPQCPPQCQ，且当CQBO时最小，所以当CPPQ的值最小时，当点P与点N重合，点Q与点M重合时，此时OCP等于OCN，进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的和差关系求得OCN即可 【详解】

解：如图，作点C关于直线OA的对称点C，连接CC，交OA于点D，过点C作CMOB，交OA于点N，

CPCP，

CPPQCPPQCQ，且当CQBO时最小，

所以当CPPQ的值最小时，当点P与点N重合，点Q与点M重合时，此时OCP等于OCN，

CCOA

又AOB42

DCNCND90,AOCONM90,ONMCNA CCMAOB42

DCO90AOC48

根据对称性可得NCDDCD42 NCODCMDCM48426

当CPPQ的值最小时，OCP的度数为6

故答案为：6 【点睛】

本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关键．

3、40或55或70 【分析】

分①A是顶角，B是底角，②A是底角，B是底角，③A是底角，B是顶角三种情况，再根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】

解：由题意，分以下三种情况： ①当A是顶角，B是底角时，

则B(180A)(18070)55； ②当A是底角，B是底角时， 则BA70；

③当A是底角，B是顶角时， 则B1802A18027040； 综上，B的度数为40或55或70， 故答案为：40或55或70． 【点睛】

1212本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． 4、①②④ 【分析】

由∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD，得到∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°，则

∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE，即可判断②，即可利用AAS证明△CAD≌△BCE，即可判断①；则

AD=CE，得到CD=CE+DE=AD+DE，即可判定④；由AB>AC>CD，得到AB≠CD，即可判断③．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，BE⊥CD，AD⊥CD， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°，AD∥BE，

∴∠CAD=∠BCE，∠ABE=∠BAD，故②正确； 又∵AC=CB，

∴△CAD≌△BCE（AAS），故①正确； ∴AD=CE，

∴CD=CE+DE=AD+DE，故④正确， ∵AB>AC>CD， ∴AB≠CD，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 5、①④ 【分析】

根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，结合三角形的内角和，然后再根据余角定

义和补角定义逐一进行分析即可． 【详解】

解： CABE， B190,

 1是B的余角；故①符合题意；

ADBF， 1+CAD90, BBAD90,

1,CAD互为余角，B,BAD互为余角，

CABE，

CAD,BAD互为余角，

所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意； 1ACF180,

 1与ACF互补；

∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠DAE=180°， ∴∠1+∠DAE=180°，

∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意； CABE，ADBF ADBADCCABCAE90,

所以与ADB互补的角有ADC,CAB,CAE, 共3个，故④符合题意； 所以正确的结论有：①④

故答案为：①④ 【点睛】

本题考查的是垂直的定义，互余，互补的含义，三角形的内角和定理，掌握“互为余角的两个角之和为90, 互为补角是两个角之和为180”是解本题的关键. 三、解答题

1、（1）①见解析； ②60，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MFMAME 【分析】

（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF； ③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG ≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF＝MA＋ME；

（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论． 【详解】

解：（1）①补全图形如下图：

②∵∠CAE=∠DAC=， ∴∠BAE=30°+ ∴∠FAE=2×（30°+）

∴∠AEF=

180-2+30=60°-；

2∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°， 故答案是：60°-，60°； ③MF＝MA＋ME．

证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG ．

∵点D关于直线AC的对称点为E， ∴△ADC ≌△AEC． ∴∠CAE ＝∠CAD ＝． ∵∠BAC＝30°， ∴∠EAN＝30°＋．

又∵点E关于直线AB的对称点为F， ∴AB垂直平分EF．

∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN ＝30°＋， ∴∠F＝∠AEF＝

180230260．

∴∠AMG ＝6060． ∵AF＝AE，∠F＝∠AEF， GF＝ME，

∴△AFG ≌△AEM． ∴AG ＝AM． 又∵∠AMG＝60， ∴△AGM为等边三角形． ∴MA＝MG．

∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME． （2）MFMAME，理由如下： 如图1所示，

∵点E与点F关于直线AB对称， ∴∠ANM=90°，NE=NF， 又∵∠NAM=30°， ∴AM=2MN，

∴AM=2NE+2EM =MF+ME， ∴MF=AM-ME；

如图2所示，

∵点E与点F关于直线AB对称，

∴∠ANM=90°，NE=NF， ∵∠NAM=30°， ∴AM=2NM，

∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF， ∴MF=MA-ME；

综上所述：MF=MA-ME． 【点睛】

本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键． 2、见解析 【分析】

过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案． 【详解】

证明：如图，过A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC，AD=AE， ∴BF=CF，DF=EF， ∴BF-DF=CF-EF， ∴BD=CE． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合． 3、 （1）见解析 （2）BE5 【分析】

(1)利用CEA是△ABE的外角,以及CEABF证明即可． (2)证明△ABE≌△FCE,可知BECE,从而得出答案． （1）

证明：∵CEA是△ABE的外角， ∴CEABEAB．

又∵CEABF，∴EABF．

（2）

解：在△ABE和△FCE中，

ABFCEABF， AEBFEC∴△ABE≌△FCE． ∴BECE． ∵BC10， ∴BE5． 【点睛】

本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键． 4、见解析 【分析】

根据等腰三角形的性质，可得∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，从而得到△BDE≌△CDE，进

11而得到∠DCE=∠DBE，再由BE平分∠ABC，可得DBEABC ，进而得到DCEACB，即可求

22证． 【详解】

解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，

∵DE=DE， ∴△BDE≌△CDE， ∴∠DCE=∠DBE， ∵BE平分∠ABC， ∴DBEABC ，

1∴DCEABC，

21∴DCEACB，

212∴CE平分∠ACB． 【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 5、APE60 【分析】

由题意易得ABCACB60，ABACBC，则有BDE30，然后可得BECD，进而可证

BEC≌CDA，则有∠BCE∠CAD，最后问题可求解．

【详解】

解：∵ABC是等边三角形，

∴ABCACB60，ABACBC， ∵DEAB， ∴DEB90， ∴BDE30， ∴BD2BE，

∵BD2CD， ∴BECD，

∴BEC≌CDA（SAS）， ∴∠BCE∠CAD，

∵APEPACACP,ACBDACACP60， ∴APEACB60． 【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6、（1）BPCP，理由见解析；（2）①60°；②PM＝AP，见解析 【分析】

（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：

APAP，PAP60，从而得到BAPCAP，可证得ABP≌ACP，即可求解 ；

12（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由ABP≌ACP，可得ABPACP ，即可求解；

②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到BNBP ．根据①可得PBP＝60，可证得PNB≌PPB，从而得到PNPP ．再由PAP 为等边三角形，可得PPAP ．从而得到PNAP ，即可求解．

【详解】

解：（1）BPCP ．理由如下：

在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°， 由旋转可知：APAP，PAP60， ∴PAPBAPBACBAP

即BAPCAP 在△ABP和△ACP中

ABACBAPCAP APAP（SAS）∴ABP≌ACP ．

∴BPCP ．

（2）①∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠ABP＋∠ACP＝60°． ∵ABP≌ACP ． ∴ABPACP ， ∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°． 即PBP＝60 ；

②PM＝AP ．理由如下：

如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

12

∵M为BC的中点， ∴BM＝CM． 在△PCM和△NBM中

PMNMPMCNMB CMBM∴△PCM≌△NBM（SAS）． ∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM． ∴BNBP ． ∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＋∠PCB＝60°． ∴∠PBC＋∠NBM＝60°． 即∠NBP＝60°． ∵∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠ABP＋∠ACP＝60°． ∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°． 即PBP＝60 ． ∴PBP＝NBP ． 在△PNB和PPB 中

BNBPNBPPBP BPBP∴PNB≌PPB （SAS）．

∴PNPP ．

∵APAP，PAP60， ∴PAP 为等边三角形， ∴PPAP ． ∴PNAP ， ∴PM＝AP ． 【点睛】

本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键． 7、见解析 【分析】

由OAOCPC，得出POC,AOC为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得CAO2APB，再次利用外角的性质及等量代换得AOB3APB，即可证明． 【详解】

解：OAOCPC，

POC,AOC为等腰三角形， APBCOP,ACOCAO，

12由外角的性质得：ACOAPBCOP2APB， CAO2APB，

再由外角的性质得：AOBAPBCAO， AOB3APB，

1APBAOB．

3【点睛】

本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解． 8、

（1）证明见解析；

（2）①补全图形见解析；②△CMN是等边三角形，证明见解析． 【分析】

（1）由等边三角形的性质可知ACFBCE60，ACFC，CBCE．结合题意易得出ACEFCB．即可利用“SAS”证明ACEFCB，即得出AEBF；

（2）①根据题意补全图形即可；

②由全等三角形的性质可知CAMCFN，AEBF．再由题意点M，N分别是AE，BF的中点，即得出AMFN．即可利用“SAS”证明ACMFCN，得出结论CMCN，ACMFCN．最后根据ACMFCMFCNFCM，即得出ACFMCN60，即可判定△CMN是等边三角形． （1）

∵ACF与BCE都是等边三角形，

∴ACFBCE60，ACFC，CBCE， ∴ACFECFBCEECF，即ACEFCB， 在ACE和FCB中，

ACFC∴ACEFCB， CECB∴ACEFCB(SAS)， ∴AEBF． （2） ①画图如下：

②△CMN是等边三角形． 理由如下：∵ACEFCB， ∴CAMCFN，AEBF． ∵点M，N分别是AE，BF的中点， ∴AMFN，

在△ACM和△FCN中，

ACFC∵CAMCFN， AMFN∴ACMFCN(SAS)， ∴CMCN，ACMFCN，

∴ACMFCMFCNFCM，即ACFMCN60， ∴△CMN是等边三角形． 【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

9、（1）见详解；（2）120°；（2）120°． 【分析】

（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，则利用根据“SAS”判断△AOC≌△BOD；

（2）利用△AOC≌△BOD得到∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可得到∠AEB=∠AOB=60°，即可求出答案；

（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC≌△BOD；则∠CAO=∠DBO，然后根据三角形内角和可求出∠AEB=∠AOB=60°，即可得到答案． 【详解】

（1）证明：如图1，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形， ∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°， ∴∠BOD=∠AOC=120°， 在△AOC和△BOD中

OCODAOCBOD OAOB∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠1=∠2，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∴CEB120； （3）解：如图2，

∵△ODC和△OAB都是等边三角形， ∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中

OCODAOCBOD OAOB∴△AOC≌△BOD； ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠1=∠2，

∴∠AEB=∠AOB=60°， ∴CEB120； 即∠CEB的大小不变． 【点睛】

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题． 10、

（1）见详解； （2）见详解； （3）见详解； （4）见详解； 【分析】

（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得

AD=BD=CB，所以△ABD与△DBC都是等腰三角形；

（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可； （3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形； （4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式． （1）

证明：在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=2（180°-∠A）=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2=36° ∴∠3=∠1+∠A=72°， ∴∠1=∠A，∠3=∠C， ∴AD=BD，BD=BC，

∴△ABD与△BDC都是等腰三角形

1（2）

解：如下图所示：

（3）

解：如图所示：

（4）

解：特征一：直角三角形（直角边不等）；

特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°； 【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．