第１４卷第５期 ２０１１年９月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．１４，ＮＯ．５ Ｓｅｐｔ．，２０１１ 有关中值定理的探究性教学 杨宪立，闫德明 （河南教育学院数学系，河南郑州４５００４６） 摘要 通过对中值定理教学思路的设计，给出探究性教学方法的一个实例，即通过导数概念的物理意义导 ‘ 出Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理，经特殊化后推出Ｒｏｌｌｅ定理，再经化归思想给出Ｌａｇｒａｎｇｅ定理的证明，最后推广得到Ｃａｕｃｈｙ 中值定理，并借助类比或化归思想分别给出Ｃａｕｃｈｙ定理的证明． 关键词 中值定理；化归；类比；辅助函数 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１１）０５—００３３—０３ 中图分类号 Ｇ６４２．０ 所谓数学探究性教学是指教师在课堂上巧 妙地组织、引导学生自主地参与教学，促使学生 加深对知识的体验，帮助学生逐步形成研究数学 ２ 经特殊化推出Ｒｏｌｌｅ定理 有了猜想，我们就需要证明它．那么，我们的第 一的积极态度，掌握研究数学的基本方法，发展研 究数学的能力．本文结合中值定理教学实际，对 数学探究性教学作一探讨． 感是什么？即首先考虑的问题是什么？首先考虑的 问题不是如何证明，而是问题能不能化简！这是一个 重要的数学思想方法． 化简一个问题，常用的思维模式是“将一般性问 题特殊化”．即当一个一般问题不易解决时，可以附 １ 利用导数概念猜出Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理 要研究导数的应用，就要深谙导数的性质． 而我们知道，导数概念是通过物理上的速度、几 何上的切线引入的．为此我们仍通过导数概念的 物理意义——速度来导出． 加一些条件，将它转化为特殊问题，通过特殊问题的 解决，回头再探讨一般问题的解决． 对该猜想１的特殊化，自然想到的是，当（１）式 左边等于０的简单形式，即附加条件 －厂（口）一Ｌ厂（６）， 设一作直线运动的质点走过的路程Ｙ与时间Ｘ 之间的关系为 Ｙ一厂（ｚ）， 就得到Ｒｏｌｌｅ中值定理的如下雏形． 猜想２ 如果函数厂（ ）在［ｎ，６］上可导，其导 那么，ｆ （ｚ）就是质点在时刻Ｘ的瞬时速度，与瞬时 速度相关的物理量，自然想到是平均速度 、 函数ｆ （ ）在［ａ，６］上连续，且 厂（口）一，（６）， 一 ． 则存在 ∈（＆，６），使得 ｆ （ ）一０． 那么平均速度与瞬时速度有什么关系呢？我们知道 关于猜想２的证明，可参考各种数学分析教 材ｌ】 ］，这里从略． 平均速度介于速度的最大值与最小值之间，联想到 连续函数的介值定理，只要ｆ （ｚ）在［ｎ，６］上连续， 就有Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的如下雏形． ３ 化归给出Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的证明 当Ｒｏｌｌｅ定理的雏形猜想２获得证明之后，我们 来探究Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的雏形猜想１的证明． 数学的另一个重要思想方法是化归思想，其一 般思维模式是“将未知问题化归为已知问题或简单 问题”．那么，猜想１能化归为已解决的猜想２吗？ 由于以下三式等价： 厂，（ ）一 一“ 猜想１ 若函数，（ｚ）在［口，６］上可导，其导函 数厂（ ）在［口，６］上连续，则存在 ∈［口，６］，使得 厂 （ ）：＝＝ ． （１） 收稿日期：２０１０—０８—１０；修改日期：２０１１－０５—２０． 基金项目：河南省教育科学“十一五”规划课题（２００９一ＪＫＧＨＡＧ－０２２７）． 作者简介：杨宪立（１９６１－－），男，河南林州人，副教授，主要从事数学 教育和数学建模研究．Ｅｍａｉｌ：ｙａｎｇｘＩ６１０４＠ｓｏｈｕ．ｃｏｒｎ． 闰德明（１９７２－－），男，河南西华人，博士研究生，副教授，主 ， 一０， 要从事数学教育研究．Ｅｍａｉｌ：ｙａｎｄｅｍｉｎｇ＠１６３．ＣＯＩｌ１． 厂 （ ）一 ３４ 高等数学研究 ２０１１年９月 ［ 一 不妨构造函数 Ｆ（ｚ）一厂（ｚ）一 ｚ ０， ｚ． 在（ａ，口）内可导，且 （ ）≠０， 则存在 一 （ ）Ｅ（ａ，卢）， 显然Ｆ（ｚ）在［口，６］上可导，其导函数Ｆ （ ）在［ｎ，６］ 内连续，且有 Ｆ（口）一Ｆ（６）， 使得 ５ ： 一业！ ２二业 （ ） 下的Ｃａｕｃｈｙ中值定理． （ａ）一 （』９）‘ 通过修改函数名称与相应的字母符号，即可得到如 、 Ｃａｕｃｈｙ中值定理［。 如果函数，（ｚ），ｇ（ｚ）在 从而由猜想１成立可知猜想２也成立． 从以上分析可以看到，对辅助函数Ｆ（ｚ）求导 时，只用到了－厂（ｚ）在（口，６）内可导的条件，从而可 优化猜想１和猜想２中的条件，即可得到Ｒｏｌｌｅ中值 定理与Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理． ［口，６］上连续，在（口，６）内可导，且 ｇ （ｚ）≠０， 则存在 Ｅ（ａ，６），使得 ｆ （ ）一 （６）一，（口） ｇ （ ） ｇ（６）一ｇ（口）’ Ｒｏｌｌｅ中值定理嘲 如果函数厂（ｚ）在［ｎ，６］上 连续，在（ｎ，６）内可导，且 厂（口）一厂（６）， 则存在 Ｅ（ｎ，６），使得 ｆ （ ）一０． ５ 经类比给出Ｃａｕｃｈｙ中值定理的证明 Ｃａｕｃｈｙ中值定理是利用函数的参数形式，由 Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理类比推广得到的，那么，Ｃａｕｃｈｙ 定理的证明能否也利用函数的参数形式，把 Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理 如果函数，（ｚ）在 ， 上连续，在（ｎ，６）内可导，则存在 ∈（口，６），使得 ＝＝＝ ． Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理证明中的辅助函数类比推广得 到呢？类比构造辅助函数 Ｆ（ ）＝＝＝，（ｚ）一，（口）一 ｇ（６）一ｇ（口） … 继续探究辅助函数Ｆ（ｚ），这里辅助函数的端点 值尽管相等，但并不简单优美，能优化吗？一个自然 的想法是端点值为０该多好！这时只需令： Ｆ （ｚ）：＝：Ｆ（ ）一 （ａ）＋ ｎ一 ［ｇ（ｚ）一ｇ（口）］， … ’ 显然Ｆ（ ）在［口，６］上连续，在（口，６）内可导，且 Ｆ（口）＝Ｆ（６）一０， 厂（ｚ）一 （ ）一 （ｚ一口）． 所以Ｆ（ｚ）满足Ｒｏｌｌｅ定理条件 ，从而命题得证． 当然，Ｃａｕｃｈｙ中值定理的证明也可直接化归为 Ｒｏｌｌｅ定理来证．由于以下诸式等价： （ ）ｇ （ ） 一即可．这里的辅助函数Ｆ （ｚ）和教材中构造的一模 一样，但来得更为自然． 厂（６）一厂（口） ｇ（６）一ｇ（ｎ）。 ４ 经推广得到Ｃａｕｃｈｙ中值定理 ｜ ＿Ｒｏｌｌｅ定理是Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的特殊情形， 厂（ ｇ１．㈣． Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理又是Ｒｏｌｌｅ定理的推广．那么 Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理还能推广吗？ ［ ）一 为此可构造辅助函数 ） 。． 函数的表示形式还有参数形式，如果函数 Ｙ一－厂（ｚ） （口≤Ｘ≤６） ）＝＝＝ｆ（ｘ）～舞ｇＤ 一旨ｇ ｋａ ）． ‘ 的参数形式为 容易验证Ｆ（ｚ）满足Ｒｏｌｌｅ定理的所有条件，从而存 在 Ｅ（口，６），使得 Ｆ （ ）：＝＝０， ｛ｌ一 ’Ｙ一 （ ） ∈ ， 一一 ， 其中ｑｖ（ｔ）， （￡）在（ａ，卢）内均可导，而且 ａ＝＝＝ （ａ），ｂ一 （』８）， （ ）≠０， 则有 也即 一 ｆ （ ）一 （６）——，（ａ） ｇ （ ） ｇ（６）一ｇ（口）‘ 厂（ｚ）＝＝＝ ｄｙ一 ’ 类似地，这里的辅助函数仍然可以改造优化，只需令 Ｆ１（ ）一Ｆ（ｚ）一厂（ｎ）＋ ．从而Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理就可推广为如下猜想． 猜想３ 如果函数 （￡）， （￡）在［ａ， 上连续， ）一ｇ（６）一ｇ（口） … 、 第１４卷第５期 高等数学研究 ＶｏＩ．１４。Ｎｏ．５ ２０１１年９月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｓｅｏｔ．，２０１１ 浅谈高等数学习题课教学 高文华 （华南理工大学理学院，广东广州５１０６４０） 摘要 探讨习题课教学应注意的问题．首先明确指出习题课的目的和意义，之后从重视对数学概念的理解 运用、习题的选择、课堂互动等方面阐述如何提高课堂教学效率，以达到不断渗透数学思想、数学方法的目的，从而 培养学生良好的思维品质． 关键词 高等数学；教学方法；习题课 中图分类号 Ｇ６４２ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８－１３９９（２０１１）Ｏ５—００３５—０３ 高等数学是理工科大学生必修的一门基础理 阐述习题课的目的和意义，然后从几个方面探讨 论课．高等数学学习的好坏直接影响到后续专业 习题课教学应注意的一些问题． 课的学习．从大量教学实践来看，不论教师还是学 生应该说都投人了大量的精力，但长期以来，高等 １ 习题课的目的和意义 数学的教学效果总是不尽如人意．原因之一就是 习题课的目的是在老师的引导下，让学生利用 高等数学的授课学时不足，为了完成教学计划，缩 已学过的知识来解题，从中进一步加深对课本上基 减了习题课，而习题课教学是高等数学教学中必 本概念、基本理论的理解，进而提高运用能力．通过 不可少的重要环节，是对所学知识的复习、巩固、 习题课帮助学生总结所学知识内容与解题经验，比 运用和深化［１ ］．为了对高等数学的教学达到满意 较解题方法的优劣，分析所犯错误的性质及原因等， 的教学效果，教师必须重视习题课的教学．下面先 从而有利于学生对所学知识的全面理解． 收稿日期：２００９—０２—１１；修改日期：２０１１－０７－２５． 著名数学教育家、中国科学院院士刘应明教授曾 作者简介：高文华（１９７４－－），女，河南扶沟人，博士，副教授，从事随机 指出：“有效的解题训练，不仅可以使学生深入理解所 时滞系统的稳定性研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｈｇａｏ＠ｓｃｕｔ．ｅｄｕ．ｃｎ． 学的知识，还能通过对各类问题的分析研究及寻求解 ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●＜＞●ｏ●ｏ●＜＞●ｏ●－＜＞●－夺●ｏ●ｏ●－＜＞●ｏ●ｏ●－０●０●＜＞●－（＞●＜＞●ｏ●＜＞●－（＞●＜＞● ｏ●ｏ●ｏ●ｏ‘＜＞０＜＞０＜＞０ 厂（ｚ）一厂（ｎ）一 参考文献 ｇ（６）一ｇ（口） ［ｇ（ｚ）一ｇ（口）］．… … ‘ ［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．３版．北京： 这里，我们借助化归的观点也得到了Ｃａｕｃｈｙ中值定 高等教育出版社，２００１：１１９—１２０． 理的辅助函数．同一个问题用不同的观点和从不同 的角度去考察、去研究，这就是立体式教学立体式学 ［２］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：高等 习．它使得教学更加丰富，更加生动活泼． 教育出版社，２００７：１２８￣１３３． Ｉｎｑｕｉｒｙ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｆｏｒ Ｍｅａｎ Ｖａｌｕｅ ＴｈｅｏｒｅｍＵｌｒｙ １ ｅａｃｌｌ ｏｒ ＹＡＮＧ Ｘｉａｎ—ｌ ， ＹＡＮ Ｄｅ—ｍｉｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｅｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００４６，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｃａｓｅ ｏｆ ｉｎｑｕｉｒｙ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔｅｐｓ．Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ａｎｄ ｔｈｅｎ Ｒｏｌｌｅ’Ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｖｉｅｗ ａｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ￣ｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ａｎａｌｏｇｙ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｍｅａｎ ｖａｌｕｅ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ，ａｎａｌｏｇｙ，ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
