2019-2020学年河南省开封市高一上学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省开封市高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合AðUB（ ） A．2,5 B．3,6 C．2,5,6 【答案】A

【解析】ðUB2,5,8,所以AðUB2,5，故选A. 【考点】集合的运算.

2．若方程x2y22xm表示圆，则实数m的取值范围为（ A．,1 B．1, C．,0 D．0,

【答案】B

【解析】将圆方程化为标准形式,满足r20即可. 【详解】

将圆方程x2y22xm化为标准方程:(x1)2y2m1, 则r2m10, 故m1, 故选:B. 【点睛】

本题主要考查圆的方程,属于简单题. 3．下列说法正确的是（ ） A．四边形一定是平面图形 B．三点确定一个平面

C．平行四边形一定是平面图形 D．平面和平面有且只有一条交线 【答案】C

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D．2,3,5,6,8

）

【解析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误. 【详解】

对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A错误; 对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B错误;

对于选项C,平行四边形的对边平行,可以确定一个平面,故C正确; 对于选项D,若平面和平面平行,则其没有交线,故D错误; 故选:C. 【点睛】

本题考查点､线､面的位置关系及公理,推论,涉及知识比较基础,但容易弄混,要求学生对基础知识掌握牢固.

4．已知m､n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A．若m，m//n，则n B．若m//，m//n，则n// C．若m，mn，则n// D．若m//，mn，则n 【答案】A

【解析】利用线面平行,线面垂直的判定定理以及性质定理对选项依次分析正误. 【详解】

对于选项A,若m,m//n,根据线面垂直的性质,可以推出n,故A正确; 对于选项B,若m//,m//n,则n//或n,故B错误; 对于选项C,若m,mn,则n//或n,故C错误;

对于选项D,若m//,mn,则n与相交或平行或n,故D错误; 故选:A. 【点睛】

本题考查空间中线线,线面位置关系的判断,需要学生有一定的空间想象及推理能力,对各类判定方法及性质能灵活应用. 5．幂函数ymm1x25m3在0,上为减函数，则实数m的值为（ ）

C．m2或m1 D．mA．m2 【答案】A

B．m1

15 2【解析】根据题意列出不等式组,求其交集即可.

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【详解】

因为幂函数ymm1x25m3在0,上为减函数,

m2m11,解得m2, 所以5m30故选:A. 【点睛】

本题考查幂函数的基本性质,难度不大.

6．从平面外一点P引平面的垂线，垂足为H，PA､PB是平面的两条斜线（点A､B在平面内)，PA5，PB42，AH（ ） A．3 【答案】B

【解析】由题可知PH平面,因此在RtPAH,RtPBH中,利用勾股定理即可求解. 【详解】

由题可知PH平面, 故PHAH,PHBH,

B．4

C．

3BH，则点P到平面的距离为49 2D．

14 3922PH2PA2AH2PH4PH25BH, 所以1622222BH4PHPBBHPH32BH所以点P到平面的距离为PH4, 故选:B. 【点睛】

本题主要考查线面垂直的应用,需要学生有一定的空间思维和计算能力. 7．函数y31A．,3 【答案】C

【解析】根据x的范围得到1x1，结合指数函数的单调性，即可得到函数函数

x的值域为（ ）

B．0,1

C．0,3

D．1,3

y31x的值域.

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【详解】

∵x0，∴1x1，∴031故选：C 【点睛】

本题主要考查了具体函数的值域，属于基础题.

8．若偶函数fx在,0内单调递减，则不等式f1flgx的解集是（ ）A．0,10

B．x3.

1,10 101C．,

10【答案】D

骣10,?(10,?D．琪琪桫10)

【解析】由题知偶函数fx在(0,)内单调递增,因此可以将题设不等式转化

lgx1求解.

【详解】

若偶函数fx在,0内单调递减, 则fx在(0,)内单调递增, 则f1flgxf1flgx1lgx,

解得x10或01, 10本题属于利用函数的单调性与奇偶性解不等式问题,需要学生对函数的性质熟练掌握且灵活应用.尤其在遇见偶函数解不等式问题时,常用f(x)f(x)进行转化.

9．把直线yx，yx，x1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为（ ） A．C．

 3B．

2 34 3D．2

【答案】C

【解析】根据题意画出直线所围图形,推出旋转体的形状,再求体积即可.

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【详解】

直线yx,yx,x1围成图中阴影部分所示的图形,

则其绕y轴旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去两个相同且共顶点的圆锥,

2圆柱的体积V1122,

圆锥的体积V21121, 334, 3因此所求几何体的体积为VV12V2故选:C. 【点睛】

本题考查了旋转体的形成及其体积计算问题,属于基础题.

10．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点2,1，圆C2：

x4y2A．2210，则圆C1，C2的公共弦长为（ ）

B．32 62 437 4C．D．2

【答案】A

【解析】根据题意设圆C1方程为:(xa)y1,代点(2,1)即可求出a,进而求出C122方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长. 【详解】

22设圆C1的圆心为(a,0),则其标准方程为:(xa)y1,

将点(2,1)代入C1方程,解得a2, 故C1方程为:(x2)y1,

两圆C1,C2方程作差得其公共弦所在直线方程为:4x4y70,

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22

圆心C12,0到该直线的距离为8716162, 8因此公共弦长为21(故选:A. 【点睛】

2262, )84本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.

log2x,x0,11．设函数fxlogx,x0.若fafa,则实数的a取值范围是( )

12A．1,00,1 C．1,01, 【答案】C 【解析】【详解】

B．,11, D．,10,1

log2x,x0,a0因为函数fxlogx,x0.若fafa,所以或

1logaloga222a0log1alog2a，解得a1或1a0，即实数的a取值范围是2故选C. 1,01,，log2x,0x4fx12．已知函数，若fafbfc（abc)，则abc6x,x4的取值范围是（ ） A．2,3 C．4,6 【答案】C

【解析】画出f(x)图像,结合图像即可推出ab1,c(4,6),从而可得结论. 【详解】

画出f(x)图像如下图所示:

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B．2,4 D．3,6

由图可知,f(a)f(b)log2alog2b,即ab1, 又c(4,6),所以abc(4,6), 故选:C. 【点睛】

本题考查分段函数的应用问题,运用了数形结合的思想,难度不大.

二、填空题

13．已知直线l1：2x2y10，l2：x2y20，则直线l1，l2之间的距离为______. 【答案】

6 2【解析】将直线l2的方程化为2x2y20,再利用两平行线的距离公式求解. 【详解】

直线l2的方程可化为2x2y20, 则直线l1,l2之间的距离为21246, 2故答案为:【点睛】

6. 2本题考查求两平行线间的距离,注意应用公式时,两平行线方程必须是一般式方程,且

x,y的系数对应相等.

14．已知函数fx【答案】5

【解析】依据分段函数解析式,分别代数求解即可. 【详解】

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log2x,x0，则ff1x31,x01flog3的值为______.

2

Qf(1)log210,

f(f(1))f(0)3012,

1log31213, 又flog3=321ff1flog35,

2故答案为:5. 【点睛】

本题考查分段函数求值,结合了指对运算,难度不大. 15．若函数fxa2x4ax2（a0，a1)在区间1,1的最大值为10，则

a______.

【答案】2或

1 2【解析】将函数化为

f(x)a26,分0a1和a1两种情况讨论f(x)在区间

x21,1上的最大值,进而求a.

【详解】

fxa2x4ax2ax26, Q1x1,

20a1时,aaxa1,

f(x)最大值为f(1)a122610,解得a1 2a1时,a1axa,

fx最大值为f(1)a2610,解得a2,

2故答案为:【点睛】

1或2. 2本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.

16．如图，在底面边长为1的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E为AA1的中点，异面直线BE与CD1所成的角的正弦值为10，则侧棱AA1的长度为______. 10第 8 页 共 17 页

【答案】1或2

【解析】连A1B,由A1B//CD1,知异面直线BE与CD1所成角的平面角为A1BE,故过点E作EHA1B于点H,设EHh,即可表示出BE,AE,又由A1HE∽A1AB,可得其对应线段成比例,列出等式代入数据后即可得解. 【详解】

连A1B,由题可知A1B//CD1,

可得异面直线BE与CD1所成角的平面角为A1BE, 过点E作EHA1B于点H,设EHh,

有

BEEHh10h,AEBE2AB210h21, sinA1BE1010EHA1E, ABA1B又A1HE∽A1AB,有

h10h21112,h得解得或, 21581410h1所以AE1或1, 2所以AA11或2.

【点睛】

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本题考查空间中棱长的求法,需要学生有一定的空间思维和计算能力,解题关键是将异面直线所成角转化为平面角求解.

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知直线l过点1,1. （1）若直线l的纵截距和横截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为

1，求直线l的方程. 4【答案】（1）yx或xy20，（2）2xy10或x2y10. 【解析】(1)按截距为0和截距不为0,分两种情况求解方程即可; (2)设出直线方程,确定其横､纵截距后,根据面积公式列等式求解即可. 【详解】

(1)①若直线l截距为0，则其过原点,可得直线l的方程为yx, ②若直线l截距不为0,设直线l的方程为代点1,1入方程可得

xy1(a0), aa111,解得a2, aa此时直线l的方程为xy20,

综上所述,所求直线l的方程为xy0或xy20; (2)由题意知直线l的斜率存在且不为零, 故可设直线l的方程为ykx11(k0), 可得直线l与坐标轴的交点坐标为0,1k,因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为

k1,0, k1, 4则有

1k1111k,解得k2或k. 2k42故所求直线方程为2xy10或x2y10. 【点睛】

本题考查了求直线方程,涉及了三角形面积公式,需要学生有一定的计算能力,难度不大. C不重合的动点，PO平面ABC. 18．如图，AC是eO的直径，点B是eO上与A，

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（1）当点B在什么位置时，平面OBP平面PAC，并证明之；

（2）请判断，当点B在eO上运动时，会不会使得BCAP，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）当OBAC时，平面OBP平面PAC，证明见解析，（2）不存点B使得BCAP，理由见解析

【解析】(1)由题可推出平面ACP平面ABC,故OBAC时,即可推出OB平面

PAC,进而得出结论;

(2)假设存在点B满足题意,即可推出BC⊥平面PAB,进而有BCBP,又由题可推得

BPPC,故PBC为锐角,这与BCBP矛盾,故不存点B使得BCAP.

【详解】

(1)当OBAC时,平面OBP平面PAC,证明如下:

QOP平面ABC,OP平面ACP,

平面ACP平面ABC,

QOBAC,平面APCI平面ABCAC,

OB平面PAC,

QOB平面OBP,

∴平面OBP平面PAC; (2)假设存在点B,使得BCAP,

Q点B是eO上的动点,

BCAB,

又QBCAP,AB､AP平面PAB,ABIAPA,

BC平面PAB,

QBP平面PAB,

BCBP,

设OBR,

在RtOPC中,有PCOC2OP2在RtOPB中,有PBOB2OP2R2OP2, R2OP2,

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可得BPPC,故PBC为锐角,这与BCBP矛盾, 故不存点B使得BCAP. 【点睛】

本题考查空间中的垂直问题,需要一定的空间思维和推理能力,属于中档题.解决存在性问题时,一般先假设存在,再以此为基础,推出结论或矛盾. 19．设fxlog110ax，a为常数.若f32.

2（1）求a的值；

1（2）若对于区间3,4上的每一个x的值，不等式fxm恒成立，求实数m2的取值范围 .

【答案】（1）a2（2）,x17 8【解析】(1)依题意代数求值即可;

1(2)设gxlog1102x,题设条件可转化为gxm在x3,4上恒成立,22因此,求出g(x)的最小值即可得出结论. 【详解】 (1)Qf32,

xlog1103a2,

21即103a,解得a2;

221(2)设gxlog1102x,

22题设不等式可转化为gxm在x3,4上恒成立,

xQgx在3,4上为增函数,

gxminm171g(3)log1(106),

822317, 817m的取值范围为,.

8第 12 页 共 17 页

【点睛】

本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.

20．如图，已知四棱锥PABCD，PA底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，

AD//BC，AD1，BC3，ABCD2，点E为PC边上的点，EC2PE.

（1）求证：DE//平面PAB； （2）若PA1，求点E到平面PAB的距离 . 22 2【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】(1)在PB上取一点,使得BF2PF,推出EF//BC,则四边形ADEF为平行四边形,从而DE//AF,进而得到DE//平面PAB;

(2)由(1)知,DE//平面PAB,故点E到平面PAB的距离与点D到平面PAB的距离相等,设点E到平面PAB的距离为d,由VBPADVDPAB,即可解出d. 【详解】

(1)证明:如图,在PB上取一点,使得BF2PF,

QBF2PF,CE2PE, PFPF1,可得EF//BC, FBEC2EF111,可得EFBC31, BC333又QAD1,且AD//BC,

AD//EF且ADEF,

四边形ADEF为平行四边形,

DE//AF,

QAF平面PAB,DE平面PAB,

DE//平面PAB;

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(2)由(1)知,DE//平面PAB,

故点E到平面PAB的距离与点D到平面PAB的距离相等, 设点E到平面PAB的距离为d, 过点A作AHBC于点H, 可得BH11BCAD311, 22AB2BH2211,

故在RtABH中,AHQBC//AD,AHBC, AHAD,

又QPA平面ABCD,AH平面ABCD,

PAAH,

QAD平面PAD,PA平面PAD,PAADA,

AH平面PAD,

11111112VBPAD11,VDPABd2d,

3221232212QVBPADVDPAB,

212, d,解得d121222. 2故点E到平面PAB的距离为【点睛】

本题考查线面平行的证明,考查点到平面距离的求法,属于中档题.一般而言,解决点到平面距离问题时,常用等体积法.

1fx2logx2logx421．已知函数4.

2（1）当x2,4时，求该函数的值域；

（2）求fx在区间2,t（t2)上的最小值gt.

第 14 页 共 17 页

2log42t3log4t1,2t2211 【答案】（）,0（2）gt18,t228【解析】(1)令mlog4x,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】

(1)令mlog4x,则x2,4时,m,1,

12131则fxh(m)2m2m2m23m12m, 248故当m2113时,fx有最小值为,当m或1时,fx有最大值为0, 4821∴该函数的值域为,0;

831(2)由(1)可知fxh(m)2m23m12m, 481Qx2,t,m,log4t,

22131h(m)当log4t,即2t22时,函数在,log4t单调递减,

242gthmminhlog4t2log42t3log4t1,

当log4t3,即t22时, 4133,,logth(m),函数在上单调递减在上单调递增, 424413gthmminh,

842log42t3log4t1,2t22. 综上所述:gt1,t228【点睛】

本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.

22．如图，已知圆O：x2y24和点A6,8，由圆O外一点P向圆O引切线PQ，

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Q为切点，且有PQPA .

（1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形? （2）求PQ的最小值；

（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 【答案】（1）3x4y260，轨迹是斜率为22133，在y轴上的截距为的直线，（2）422478104256 （3）xy5252525【解析】(1)设点Px,y,根据PQPA,列式化简即可得解;

(2)由PQPA可知,PQ的最小值即为点A到直线3x4y260的距离;

(3)结合圆的性质可知,OP与直线3x4y260垂直,且圆P与圆O相切时,半径最小,据此求解即可. 【详解】

(1)设点P的坐标为x,y,

PA22x6y8,PQOP4x2y24,

22由题意有x6y8x2y24,整理为:3x4y260, 故点P的轨迹方程为3x4y260,

22点P的轨迹是斜率为133,在y轴上的截距为的直线; 42(2)由PQPA和(1)可知,

PQ的最小值即为点A到直线3x4y260的距离,

故其最小值为183226324224; 5第 16 页 共 17 页

(3)由圆的性质可知,当直线OP与直线3x4y260垂直时, 以此时的点P为圆心,且与圆O相外切的圆即为所求, 此时OP的方程为y4x, 3784x78104yx25,解得,即P(,), 联立方程32525x1043x4y26025又点O到直线3x4y260的距离为

2261626,可得所求圆的半径为2,

555278104256. 故所求圆的标准方程为xy252525【点睛】

本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需要学生有一定的分析和计算能力,属于中档题.

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