2022年重庆寿区重点中学指标到校招生考试 数学 试题(含答案)

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．﹣3的相反数是（ ）

A．﹣3 B．− C．√3 D．3

2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

1

3A．科克曲线 B．笛卡尔心形线

C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线

3．下列说法中，正确的是（ ）

A．“打开电视，正在播放重庆新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖 C．“明天降雨的概率是50%表示明天有半天都在降雨” D．“掷一次般子，向上一面的数字是2”是随机事件

4．如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是以点O为位似中心的位似图形，若OA：则四边形ABCD√5：3，与四边形A1B1C1D1的面积比为（ ）

A．3 B．3：9 C．3：√5 D．5：12 5．下列运算正确的是（ ）

A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣a2）•a3＝a6 C．（﹣2x2）3＝﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2＝2a2

6．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（ ）

A．75° B．90° C．105° D．120°

7．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°•E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）

A．55° B．65° C．60° D．75°

8．关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ） A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0

9．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）

9𝑥=11𝑦9𝑥=11𝑦A．{ B．{

9𝑥−𝑦=11𝑦−𝑥+139𝑥−𝑦=11𝑦−𝑥−139𝑥=11𝑦9𝑥=11𝑦C．{ D．{

8𝑥+𝑦=10𝑦+𝑥+138𝑥+𝑦=10𝑦+𝑥−13

10．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）

A．32 B．34 C．36 D．38

−5−𝑥≤11(𝑥−𝑎)11．若关于x的一元一次不等式组{3𝑥+1的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程

＞2𝑥+121

2𝑦−𝑎𝑦−1

−

3𝑦−21−𝑦

=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）

A．6 B．9 C．—1 D．2

12．如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）

A． B． C． D．

4

2

4

3

3

3

9

4

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。 13．计算：−22+|1−𝑡𝑎𝑛60°|+(𝜋−1)0⋅(2)−1−√12=__________．

14．不透明口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，它们除颜色外都相同，任意摸出一个球是绿色的概率是．

31

1

√3−1（1）口袋里黄球有__________个；

（2）任意摸出一个球是红色的概率是__________．

15．如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为__________cm．

16．2022年北京冬奥会已经闭幕，但在冰雪项目中，高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，现有8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造雪．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t小时（t为整数）后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完；接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了800千克人造雪；当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为__________ ．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题0分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

17．（1）计算：（3m﹣1）（m+5） （2）先化简，再求值：

𝑎2−3𝑎𝑎+2

÷(𝑎−2−

5

𝑎+2

)+

𝑎2−𝑎𝑎+3

，其中a2﹣2a﹣6＝0．

18．如图，对∠AOB进行以下操作：

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D． ②分别以C，D两点为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P．

21

③作射线OP． 请解答下列问题：

（1）作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求证：OE＝OF．

四、解答题：（本大题7个小题，每小题0分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

19．为了贯彻“减负增效”精神，我县教委抽查了某学校九年级600名学生每天的自主学习情况．县教委随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生人数是__________人．

（2）图2中α是__________度，并将图1条形统计图补充完整．

（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有__________人．

（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．（注：图中1小时对应的比例是30%）

20．隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物﹣﹣明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红

地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂AB（左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基E处测得天堂建筑主体顶端C处的仰角为22°，往前水平行进14米至F处，测得天堂顶端点A的仰角为30°，已知天堂宝顶AC高18.8米，明堂台基EF距地面DB的高DE为10米，请计算天堂的高AB的值．

（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√3≈1.73，√2≈1.41）

21．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y=𝑥的图象都经过点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求这两个函数的表达式；

（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．

𝑚

22．新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2022年植树节，某单位开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．

（1）求购买的甲、乙两种树苗的单价．

（2）经商量、决定用不超过1600元的费用购买甲、乙两种树苗共40棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．

31

23．已知一个三位自然数N，若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字之差为0，则称这个数为“雪花数”，并把其十位数字与个位数字的乘积记为G（N）•

定义P（s，t）＝G（s）•m+G（t）•n（s，t为雪花数，m，n为非零常数） 且P（523，413）＝9，P（312，633）＝﹣5．

例如：945，∵4+5﹣9＝0，∴945是“雪花数”，G（945）＝4×5＝20． 634，∵3+4﹣6＝1≠0，∴634不是“雪花数”．

（1）请填空：817__________“雪花数”，527__________“雪花数”（填“是”或“不是”）． （2）求出常数m，n的值．

（3）已知s是个位数字不为1的“雪花数”，其十位数字为a，个位数字为b，将s的个位数字移作十位，十位数字移作百位，百位数字移作个位，得到一个新数s'，若s与s'的差能被17整除，求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P的值．

24．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的表达式．

（2）求C，D两点坐标及△BCD的面积．

（3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足𝑆△𝑃𝐶𝐷=𝑆△𝐵𝐶𝐷，求点P的坐标．

1

3

25．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．

（1）图②中，∠CMD＝__________；线段NF＝__________． （2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．

剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图③、图④．

（3）图③中，阴影部分的周长为__________．

（4）图③中，若∠A'GN＝80°，则∠A'HD＝__________°． （5）图③中，相似三角形（包括全等三角形）共有__________对． （6）如图④，点A'落在边ND上，若A'N＝2A'D，则

𝐴𝐺𝐴𝐻

=__________．

初中数学参

一．选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 C 11 A 12 B 二．填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。

41．（每空2分） 15．5 16． 1512三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过

13．4 14．（1）6；（2）

程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

17．（1）解：(3m1)(m5)3m15mm53m14m5． （2）解：原式22a(a3)(a2)(a2)5a(a1)a(a3)a2a(a1)

a2(a3)(a3)a3a2a2a3aa2aa2， a3a3a3∵a2a60，∴a2a6． ∴原式222a62(a3)2． a3a318．（1）解：如图，直线EF即为所求．

（2）证明：∵OP平分AOB，∴AOPBOP， ∵EFOP，∴OTEOTF90，

∴EOTOET90，FOTOFT90， ∴OETOFT，

OTOT ∴OTE≌OTF ∴OEOF．

四．解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19．解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，∴1230%40，故答案为40．

636054，故答案为54； 40自主学习的时间是0.5小时的人数为4035%14；

（2）补充图形如图：

图1 （3）600148330；故答案为330； 40（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能， ∴P(A)61． 12220．解：延长EF交AB于G，如图所示：

则AGF90，BGDD10米， ∵AFG30，∴FG3AG， 在RtCEG中，CEG22，

CGCGCG2.5CG， ，∴EGEGtan220.40∵FGEFEG，AGACCG，

∵tanCEG∴3(18.8CG)142.5CG，解得：CG60.4（米）， ∴ABACCGBG18.860.410（米）， 答：天堂的高AB约为米．

21．解：（1）∵一次函数ykxb(k0)的图象经过点C(3,0)， ∴3kb0①，点C到y轴的距离是3， ∵k0，∴b0，

13b3，解得：b2． 222把b2代入①，解得：k，则函数的解析式是yx2．

3322把点A(a,4)代入yx2得，4a2，

33∵一次函数ykxb的图象与y轴的交点是(0,b)，∴解得：a3，∴A(3,4)，∴m12， ∴反比例函数的解析式为y12； x2x3， 3（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y当y0时，即0299x3，解得：x，∴E,0， 3222yx2x3x63解得，，，∴B(6,2)，

12y4y2yx连接AE，BE，∵AB//DE， ∴SADBSAEB1919453432． 2222225x10y125022．解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元，依题意得：，

15x5y700解这个方程组得：x30

y50答：购买的甲种树苗的单价是30元，乙种树苗的单价是50元．

30a50(40a)1600（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买的乙种树苗40a棵，由题意得： 140aa3解得：20a30．

答：购买的甲种树苗数量的取值范围为20a30． 23．解：（1）在数817中，∵1780，∴817是雪花数； 在数527中，∵2750，∴27不是雪花数． 故答案为：是，不是； （2）∵P(523,413)9，

根据十位数字与个位数字的乘积记为G(N)，

则G(523)236，G(413)133，即可得6m3n9①． ∵P(312,633)5，

根据十位数字与个位数字的乘积记为G(N)，

G(312)122，G(633)339，即可得2m9n5②，

联立①②解得m2，n1．

（3）由雪花数的定义可知s100(ab)10ab， 由雪花数定义以及已知条件可知s'100a10b(ab)， ∵s与s'的差能被17整除，

∴100(ab)10ab[100a10b(ab)]能被17整除， 即100a100b10ab100a10bab， 化简得ss'9(10ba)，∴10ba为17的倍数， ∵s为雪花数，且ab9，b1， ∴a9，1b9，∴10ba小于100， 列举100以内17的倍数如下： 17，34，51，68，85……

若10ba17，则a7，b1，不符合题意， 若10ba34，则a4，b3，符合题意， 若10ba51，则a1，b5，符合题意，

若10ba68，则a8，b6，ab9，不符合题意， 若10ba85，则a5，b8，ab9，不符合题意， 综上可得s743或s615，

则P(743,615)G(743)mG(615)n43215(1)15．

24．解：（1）

∵抛物线的顶点坐标为A(1,4)，

∴设抛物线的表达式为ya(x1)4． 把点B(0,3)代入，得a43，解得a1． ∴抛物线的表达式为y(x1)4．

（2）由（1）知抛物线的表达式为y(x1)4．

令y0，则0(x1)4，解得x1或x3，∴C(1,0)，D(3,0)，∴CD4． ∵B(0,3)，∴OB3，∴S（3）由（2）知，S∵SPCDBCD222211CDOB436． 22BCD6，CD4．

PCD1S3BCD2，∴S11CDyP4yP2，∴yP1． 22∵点P在x轴下方的抛物线上，∴点P的纵坐标为1．

∵抛物线的表达式为y(x1)4，∴1(x1)4，解得x15，

25．（1）解：由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，∴EFCD，EDF90，DEAE∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处， ∴DNCD2DE，MNCM，

∴EDN60，∴CDMNDM15，EN∴CMD75，NFEFEN23， 故答案为：75；23；

（2）解：ADN是等边三角形，理由如下：

由第一次折叠知，EF是AD的垂直平分线，∴ADN， ∵EDN60，∴ADN是等边三角形；

（3）解：∵将图②中的ADN剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处， ∴A'GAG，A'HAH，

∴图③中阴影部分的周长ADN的周长326，故答案为：6；

（4）解：将图②中的ADN剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处， ∴AGHA'GH，AHGA'HG， ∵A'GN80，∴AGH50， ∴AHGA'HG70，

∴A'HG180707040，故答案为：40；

（5）解：如图③，∵NMGA'MP，A'PMDPH， ∴NMG∽A'MP∽DHP， 由折叠知，AGH≌A'GH，

∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4对；

221AD， 23DN3， 2

图③

（6）解：∵A'N2A'D，设A'N2x，A'Dx， ∵NDNA'A'D，∴22xx3x，∴x2， 3∵·NDAA'60，

NA'GA'GNNA'GDA'H120，

∴A'GNDA'H，

A'GA'NGN， A'HDHA'D设A'GAGm，A'HAHn，∴GN2m，HD2n， m2x2m∴， n2nx22x解得：mn，

x221022AGm22x335； ∴284AHnx22335故答案为：．

4∴A'GN∽HA'D，∴