《2.2函数的定义域和值域》 教案

教学过程

一、课堂导入

函数的三要素为：定义域，值域，对应法则。那么对于求函数的定义域及值域，我们一般都采用什么方法呢，本节课我们就一起来学习如何求解函数的定义域及值域

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二、复习预习

1、函数的概念及三要素 2、函数的表示方法

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三、知识讲解

考点1 常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (6)y＝tan x

π|的定义域为xx≠kπ＋2，k∈Z. 

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

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考点2 基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是： 当a>0时，值域为4ac－b2

y|y≥4a； 当a<0

4ac－b2时，值域为

y|y≤



4a. (3)y＝k

x(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]．(7)y＝tan x的值域是R.

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考点3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系 分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集

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三、例题精析 【例题1】

【题干】(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝

1－2log6x的定义域为________．

(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．

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【答案】(0，6 ]

1

【解析】(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤2⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6 ]． (2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，

∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]

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【例题2】

【题干】求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝x2－x

x2－x＋1；

(3)y＝log3x＋logx3－1.

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【解析】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵0≤x≤3，

∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16. ∴0≤y≤15，

即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y＝

x2－x＋1－1x2－x＋1

＝1－

1

x2－x＋1

，

∵x2－x＋1＝133

x－22＋4≥4，

∴0<1

4

x2－x＋1≤3

，

∴－1y<1，即值域为－13，13≤.

(3)y＝log3x＋1

log3

x－1，

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令log3x＝t， 1

则y＝t＋t－1(t≠0)， 当x>1时，t>0，y≥2

1t·t－1＝1，

1

当且仅当t＝t即log3x＝1，x＝3时，等号成立； 当01

y＝－－t＋－t－1≤－2－1＝－3.



11

当且仅当－t＝－t即log3x＝－1，x＝3时，等号成立． 综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).

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【例题3】

【题干】若函数f(x)＝

11

在区间[a，b]上的值域为3，1，则a＋b＝________.

x－1

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【答案】6

【解析】∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]， ∴a>1.则f(x)＝1

x－1在[a，b]上为减函数，

则f(a)＝

1a－1

＝1且f(b)＝

1b－1

＝13，

∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.

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【例题4】

11

【题干】若函数f(x)的值域是2，3，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )

A.12，5

 C.

2，103

B.5

6，5 D.

103，3

fx14 / 30

【答案】 C

1

【解析】令t＝f(x)，则2≤t≤3.

11

易知函数g(t)＝t＋t在区间2，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．

又因为g12＝5

g(1)＝2，g(3)＝102，3. 可知函数F(x)＝f(x)＋

1

10fx

的值域为2，3.

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五、课堂运用 【基础】

1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是( )

A．f(x)＝x2＋a C．f(x)＝ax2＋x＋1

B．f(x)＝ax2＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1

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解析：选C 当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.

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2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )

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解析：选A A中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C不表示函数；D中的值域不是[0,2]．

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3．函数y＝2－－x2＋4x的值域是( ) A．[－2,2] C．[0,2]

B．[1,2] D．[－2，2 ]

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解析：选C ∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤－x2＋4x≤2，－2≤－－x2＋4x≤0， 0≤2－－x2＋4x≤2，∴0≤y≤2.

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【巩固】

4．函数y＝

1

的定义域是________．

6－x－x2

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解析：由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－323 / 30

5．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a24 / 30

x－2，x∈[－2，1]，

解析：由题意知，f(x)＝3

x－2，x∈1，2].

当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]，故当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．

答案：[－4,6] 25 / 30

【拔高】

6．下列函数中，与函数y＝1

有相同定义域的是( ) x

A．f(x)＝ln x C．f(x)＝|x|

B．f(x)＝1

x D．f(x)＝ex

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解析：选A 当x>0时，

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有意义，因此函数y＝的定义域为{x|x>0}． xx

对于A，函数f(x)＝ln x的定义域为{x|x>0}； 1

对于B，函数f(x)＝x的定义域为{x|x≠0，x∈R}； 对于C，函数f(x)＝|x|的定义域为R； 对于D，函数f(x)＝ex的定义域为R.

所以与函数y＝1

x

有相同定义域的是f(x)＝ln x.

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7．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.

(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．

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解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0 3

⇒2a2－a－3＝0⇒a＝－1或a＝2. (2)∵对一切x∈R函数值均为非负， 3

∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0⇒－1≤a≤2.∴a＋3>0.

3173

∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－a＋22＋4a∈－1，2.

3

∵二次函数g(a)在－1，2上单调递减，

193∴g2≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.

419

∴g(a)的值域为－4，4.



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课程小结

1、求函数定义域应注意的问题

(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2、妙求函数的值域

(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；

(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；

(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.

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