几种电梯运行模式的比较及应用

ICSINPRACTICEANDTHEORYMay,　2008　

工　　程

几种电梯运行模式的比较及应用张海龙1,　高东红2

(1.北京大学医学部临床200123班,北京　100083)

(2.北京大学医学部生物数学与生物统计教研室,北京　100083)

摘要:　通过对上班高峰时段的电梯运行情况进行分析,以“最后被运送的乘客的等待时间最短”的“最大最

小”原则作为其评价指标,以“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则为依据,对高层楼宇中人员流动高峰时段的几种电梯运行方案建立了数学模型进行描述与比较,找到了电梯停靠楼层的最佳方案,并对北京大学第三医院外科楼的运行方案做出定量的数学证明.

关键词:　数学模型;电梯运行

繁华的都市和人口密度的高度集中使得电梯成为人们生活中不可缺少的一种交通工具.在办公场所,每天清晨和傍晚的上下班时间都会在拥挤的人潮中听到对电梯运行速度和安排的不满和抱怨.然而在电梯运行速度既定的情况下,合理的安排电梯停靠楼层的方案变成了提高电梯运行效率的唯一出路.考虑到上班时人群由一层分散至其他各层的过程与下班时人群由各层集中至一层的过程对称,本文通过对上班高峰时段的电梯运行情况建立数学模型进行描述,对高层楼宇人员流动高峰时段的几种电梯运行方案进行比较,找到电梯停靠楼层的最佳安排,并对北京大学第三医院外科楼的电梯运行方案做出解释.

1　模型假设及参量描述

[1,2]

1.1　对电梯运行规则的假设

1)楼层数为(b+1)(bΕ1);

2)电梯每次上行均在第1层满载,容量为k,下行不接客;

3)第1层无乘客出电梯,在允许到达的其余各层均有乘客出电梯;

4)每层有m名工作人员,即在电梯运送所有乘客完毕后,每层累计有m名乘客在该层

出电梯,则需电梯运送的乘客总数为b3m;1.2　对电梯运行时间的假设

1)忽略电梯启动与制动时的加速及减速过程;2)电梯运行中每经过一层的时间为常数,设为t1;

3)考虑到安全角度,电梯停靠时门的打开与关闭都非常缓慢,可认为此时供乘客出入电梯的时间为常数而与出入电梯的人数无关,设该常数为t2;

收稿日期:2006205221

66数　学　的　实　践　与　认　识38卷

我们将所用变量列为表1:

表1

变量

b+1mkt1t2T

含　　义

楼层总数每层的工作人员数电梯容量

电梯在相邻两层间运行所用的时间电梯停靠时供乘客出入电梯的时间运送所有乘客的总时间单位无单位无单位人秒秒秒

2　常见电梯运行模式的比较为简化描述同时不失一般性,我们假设有两台电梯同时运行.电梯运行方案的比较有多种标准,如:乘客平均等待时间,电梯单位时间的运送人数等,这里我们考虑到如何在上下班的电梯乘坐高峰期,及时的将所有等待的乘客快速运至目的地,尽快疏散等候区的乘客目标更有实际意义,因此我们使最后被运送的乘客的等待时间T最短,即“最大最小”原则作为其评价指标[3],并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则,将常见运行模式的描述如下:2.1　随机运行方案[4]

该方案允许电梯可以在任意层停靠,由于随机运行,两台电梯平均运行周期均为(23b3t1+b3t2),共运送乘客23k人,运送所有乘客共b3m人,所用时间为T,依比例关系可得:

2kbm

-

2bt1+bt2T

(1)

可解得:

2

bm(2t1+t2)T=

2k

(2)

2.2　奇偶层运行方案

该方案要求两台电梯中一台停靠奇数层,另一台停靠第1层和偶数层,这里对b的奇偶性进行讨论:

2.2.1　当b为偶数时,b+1为奇数.停靠奇数层的电梯的运行周期为(23b3t1+

b3t2󰃗2),而停靠偶数层的电梯的运行周期为(23(b-bt21)3t1+b3t2󰃗2),故运送所有乘客

所用时间即为完成运送至奇数层的乘客所用的时间,仿(1)式可得:

k=km2bt1+

T

2(3)

2

即

2

bm(4t1+t2)T=

4k

(4)

10期张海龙,等:几种电梯运行模式的比较及应用67

　　2.2.2　当b为奇数时,b+1为偶数.停靠奇数层的电梯的运行周期为(23(b-1)3t1+(b-1)3t2󰃗2),而停靠偶数层的电梯的运行周期为(23b3t1+(b+1)3t2󰃗2),故运送所有乘客所用时间即为完成运送至偶数层的乘客所用的时间,仿(3)(4)式可得:

bm(4bt1+bt2+t2)(5)T=

4k

2.3　分段运行方案[2,3,4]

该方案将以(b3n+1)(02bt1+(b-nb)t2k(6)=

(1-n)bmT1

2nbt1+nbt2k=nbmT2

(7)

整理得

T1=

2

bm(1-n)(2t1+t2-k

nt2)(8)(9)(10)

2222bnm(2t+t)T2=

k

T=max(T1,T2)

　　令n=n3时有T1=T2=T3,则T=T3.由于T1是n的减函数,T2是n的增函数,0n3时有T2>T3>T1,即T=T2>T3,反之则有T=T1>T3,因此当n=n3时T有最小值,即当

n=n

3

=

(2t1+t2)2+t21-1

2t

nt2)(t1+t2)(11)

时该方案达到最优

23

bm(1-m)(2t1+t2-T=

k

23212b(n)m(2t+t)=

k

(12)

2.4　随机与分段相结合的方案

该方案同样将以(b3n+1)(0各层出电梯的机率相等,即平均在每层有k󰃗b名乘客出电梯.由于目的地为第(b3n+2)层至第(b+1)层的乘客可由两台电梯运送,而目的地为第2层至第(b3n+1)层的乘客仅由一台电梯运送,故所需的总时间为运送目的地为第2层至第(b3n+1)层的乘客所用的时间,仿(1)可得

k3nb

2bt1+bt2b=bnmT

(13)

即

2

bm(2t+t2)T=

k

(14)

由于总时间为运送目的地为第2层至第(b3n+1)层的乘客所用的时间,而这些楼层之间

68数　学　的　实　践　与　认　识38卷

仅有一台电梯按“平均”原则运送乘客.故当b3nΕ1,即b3n+1Ε2时,无论n为何值,该电梯每运行一次可向第2层至第(b3n+1)层间的每一层运送(k󰃗b)名乘客,运送总次数为(m3b󰃗k),运行一次所用时间为(23b3t1+b3t2),故T取(14)式之值,也易理解T与楼层的分段情况,即n无关.

3　电梯运行效率的比较

我们容易得到:

222

bm(4t1+t2)bm(2t1+t2)bm(2t1+t2)<<4k2kk22

bm(4bt1+bt2+t2)bm(2t1+t2)bm(2t1+t2)<<

4k2kk

(15)(16)

从运行效率角度比较有:奇偶层运行方案>随机运行方案>随机与分段相结合的方案.又因

为

(2t1+t2)2(2t1+t2)2+t2(17)1>得

(2t1+t2)2+t21>2t1+t2>0

(18)

即

(2t1+t2)2+t21-2t1

(t1+t2)>

12

(19)

故1>n3>0.5,此时易得:

2

bm(1-n)(2t1+t2-nt2)k

2

bm(1-2

bm(4t1+t2)<

4k

(20)(21)

n)(2t1+t2-k

nt2)<

bm(4bt1+bt2+t2)4k

综上考虑电梯的运行效率可得:分段运行方案>奇偶层运行方案>随机运行方案>随机与分段相结合的方案.因此我们得出结论:分段运行方案是及时的将所有等待的乘客快速运至目的地,尽快地疏散等候区的乘客并满足“最大最小”原则的最优方案.

4　应　　用

以北京大学第三医院新建外科楼为例,各参数取值为b=18,t1=2秒,t2=10秒,由(11)式可得n3=0.535,即应以第10.6层为界,取整数应为第10或11层:

1)当取第10层时,n=(10-1)󰃗18=0.5,代入(12)式中的两个等式,并取较大者可得T=14583m󰃗k秒;

2)当取第11层时,n=(11-1)󰃗18=5󰃗9,同上可得T=14003m󰃗k秒;

故应以第11层为界,将第1-11层作为下段,第12-19层作为上段,并按分段运行方案运行,该方案与其目前的运行方案一致.

5　讨　　论

通过上述分析我们得出在满足上述假设和目标的情况下,将楼层分为上下两段由两台

10期张海龙,等:几种电梯运行模式的比较及应用69

电梯分别承担运送任务是一种最优的方案.北京大学第三医院外科楼的电梯运行曾采用过分段运行方案和随机运行方案.结果表明采用随机运行方案在清晨上班高峰运送全部工作人员平均需要50分钟;改用以第11层为界的分段运行方案后,运送时间缩短为35分钟.实际结果与理论预测相吻合.当然上述模型存在许多细节没有完善,如未考虑到电梯可能会因某层无乘客出电梯而不在该层停靠,每层的工作人员人数可能并不均等,但是这个易于理解且计算简单的模型给我们提供了一个解决电梯运行安排的有效方案,并能对事实给出合理的解释.

通过这一实例,我们看到对电梯运行方案的合理规划所带来的现实意义,同时上述分析也让我们认识到了数学模型在改善生产生活环境的巨大作用[527].

在此感谢北京大学第三医院动力科的吴洪亮等老师提供的电梯运行数据.

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ApplicationandComparisonofArrangement

ofElevatorRunning

12

ZHANGHai2long,　GAODong2hong

(1.PekingUniversity3rdHospital,ClinicalMedicineDepartmentGrade2001,

Beijing100083,China)

(2.PekingUniversityHealthScience,CenterBiomathematicsandBiostatistics

Department,Beijing100083,China)

Abstract:　Weanalyzethefactofelevatorrunningduringthepeaktime.Using“Max2Min”principle(shorteningthewaitingtimeofthelastpassenger)and“Ratio”principle(theratioofrunningperiodtototaltimeequalstothatofthenumberofpassengerstransportedduringtheperiodtothenumberoftotalpassengers)asindex,wedesignseveralmathematicalmodelsonthearrangementofelevatorrunningduringthepeaktimeandcomparethem.AlsoareasonableexplanationisgivenfortheelevatorarrangementinthebuildingofsurgeryinPekingUniversity3rdhospital.

Keywords:　mathematicalmodel;elevatorrunning