维普资讯 http://www.cqvip.com 露 解题研究 例谈点面距离的求法 （甘肃省高台县第一中学 ７３４３００） 张彩霞 求点到平面的距离是高考中的一类常考题 型，也是立体几何学习中的一个难点内容之一．现 定义知：正三棱锥的顶点在底面内的射影是底面 的中心等等，利用这些结论，准确地定位垂足，从 而找到平面的垂线． 例ｌ 如图ｌ，在三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，ＰＡ＝ ， 举例说明求点面距离的一些常用方法： ｌ 定义法 由定义点到平面的距离是指点到平面的垂线 ＰＢ＝ＰＣ＝ 二 ｃ￡，ＡＣ—ｎ，ＡＢ＝ ，Ｂｃ一２ｎ， 段的长，因此找或作平面的垂线就成了关键． １．１ 记住特殊图形里特殊点的射影位置找平面 的垂线 求点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离． 解：因为ＡＣ—ｃ￡，ＡＢ一√３ ｃ￡，ＢＣ＝２ａ，即 ＡＣ ＋ＡＢ ＝ＰＣ， ，所以△ＢＡＣ是直角三角形，过 Ｐ作ＰＯ上平面ＡＢＣ，垂足为Ｏ，由ＰＡ—ＰＢ— ＰＣ知：垂足Ｏ是Ｒｔ△ＢＡＣ的外心也是斜边的中 厂 ———一 四面体Ｐ—ＡＢＣ中，若ＰＡ—ＰＢ—ＰＣ，则 点Ｐ在△ＡＢＣ内的射影为△ＡＢＣ的外心；若侧棱 与底面所成的角相等，则点Ｐ在△舳Ｃ内的射影 为△ＡＢＣ的外心；若Ｐ到△ＡＢＣ的三边的距离相 等，则点Ｐ在△ＡＢＣ内的射影为△ＡＢＣ的内心或 点．则Ｐｏ一 ３ 一√（ ｎ）。一ｎ。＝ Ｖ 旁心；若每个侧面与底面所成的二面角相等，则点 Ｐ在△ＡＢＣ内的射影为△ＡＢＣ的内心；若对棱 相互垂直，则点Ｐ在△ＡＢＣ内的射影为ＡＡＢＣ的 垂心；若三条侧棱两两互相垂直，则点Ｐ在 △ＡＢＣ内的射影为△ＡＢＣ的垂心；由正三棱锥的 评注：准确应用结论（１）ＰＡ—ＰＢ—ＰＣ，则 点Ｐ在△ＡＢＣ内的’射影为△ＡＢＣ的外心； （２）Ｒｔ△ＢＡＣ的外心是斜边的中点，是顺利解答 本题的关键． 师一．√专 干Ｔ＋ 可≤ 干Ｔ≤２ ｄＳ． 例７ 已知ｃ￡ ｂ，ｃ∈Ｉ ，且ｃ￡＋ｂ＋ｃ一１，求 证： ＋ 而＋ 而＜＇５ －． √ ・２ ２ 一√一２１ 一 ２＋６、 ３… ），② 一 又①＋②得： 例６ 已知ｃ￡，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ｃ￡＋ｂ＋ｃ一２，求 证明思路：活用单位“ｌ”，合理的分项，拆项， 技巧性较强． 了： 可而≤ ≤ ：３＿＿ａ＋１Ｅ。， 证： ＋ ＋ ≤瓶 巧性较强．因为 ‘ 证明思路：做“１”的代换，然后用均值定理，技 ： 丽： ： ＋１， ＿ 干 ≤ 害 ：３＿ｃ＋１ ． 一 ． ≤ ．莩，① ，② ．③ 当且仅当ｌ一 干Ｔ时，ｎ一０时等号取得， 又因为ｎ∈Ｒ＋，故等号不成立，②③式同理等号 不成立． ：、 ． ≤ ． 故１・ 一 丽＜ ： ． ≤ ・ －卜警 一警＋１，同理②③．－ｊ－￣ 所以￣／五 ＿ｒ＋￣／ ＿二Ｆ＿ｒ＋ Ｔ＜姜． 所以由＝个同向不等式得：√ ＋√ ＋ ≤瓶 维普资讯 http://www.cqvip.com 解题研究 霎 Ｐ ＳＣ两两互相垂直，／ＳＢＡ＝４５￣，／ＳＢＣ＝６０。，Ｍ 为ＡＢ的中点，ＳＢ＝口，求Ｓ到平面ＡＢＣ的距离． Ｂ 解：由题意△ＳＡＢ是等腰直角三角形，又Ｍ 为ＡＢ的中点，所以ＡＢ上ＭＳ，又ＡＢ上ＣＳ， ＭＳ ｎ ｃｓ＝Ｓ，所以ＡＢ＿ｌ－平面ＳＭＣ，又ＡＢ ｃ 平面ＡＢＣ，所以平面ＡＢＣ上平面ｓＭｃ，且交线 图１ 图２ 是ＣＭ，过Ｓ作ＳＥ上ＣＭ，由面面垂直的性质得： ＳＥ上平面ＡＢＣ，所以ＳＥ的长即为Ｓ到平面ＡＢＣ 的距离． ’ＳＢ：口。，例２ 如图２，棱锥的底面是等腰三角形，底 边长ＡＢ一１２ ｃｍ，腰长ｉ０ ｃｍ，棱锥的侧面与底面 所成的二面角都是４５。，求棱锥的高． 解：棱锥的高即为Ｖ到平面ＡＢＣ的距离，作 ＶＯ＿ｌ－平面ＡＢＣ，垂足为０，由于棱锥的侧面与底 面所成的二面角都相等，所以易证得：０是／ＸＡＢＣ 的内心． 则ＢＣ一２ａ，ＳＣ一 ，ｓＭ一 ， ｃＭ：Ｆ－－￣９１ ４ａ，由等面积法得： ＳＣ・ＳＭ—ＭＣ・ ，解得．ｓＥ一 口， 作ＯＥ＿ｌ－ＡＢ于Ｅ，连ＶＥ，则由三垂线定理得 ＶＥ＿ｌ－ＡＢ，故／ＶＥＯ一４５是棱锥的侧面与底面 所成的二面角的平面角． 即Ｓ到平面ＡＢＣ的距离为 口． 评注：取等腰三角形底边的中点，得到线与线 ： 的垂直，是发现垂直关系的一种重要手段． １．３ 用三垂线定理找点在平面内的射影，从而 找到平面的垂线 因为ＡＡＢＣ内切圆的半径∞： ２ Ｘ÷Ｘ １２×￣／ｌｏ。一６。 —— 一 所以ＶＯ＝３为所求棱锥的高． 评注：如图３，利用分割思想将△ＡＢＣ分割为 例４ 如图５，正方体边长为口，求Ａ到平面 Ａ ＢＤ的距离． 解：由三垂线定理可证得：正方体的体对角线 所以连结ＡＣ 与平面Ａ。ＢＤ交于Ｈ，则ＡＨ ＿ｌ－平面Ａ。ＢＤ，由于ＡＤ—ＡＢ＝ＡＡ。＝口，且Ａ。Ｄ ＝三个三角形，故ｓ△仙ｃ一÷・ＡＢ・ｒ＋÷・ＡＣ・ｒ 与各个面上与其异面的面对角线互相垂直． ＋专・ＣＢ・ｒ＝ １・（ＡＢ＋ＡＣ＋ＣＢ一）・ｒ一 １ ・Ｐ・ｒ ＤＢ＝Ａ。Ｂ＝ ， ’所以 ： ，Ｓ△ 表示面积，Ｐ表示周 所以点Ａ在平面Ａ。ＢＤ内的射影Ｈ是 △Ａ。ＢＤ的外心也是重心，因为Ａ。０－＿ ・－ ＝ 长，ｒ表示△ＡＢＣ内切圆的半径． Ｃ ，Ｈ０一÷Ａ。０一号． 一 ，ＡＯ一 ， 所以在Ｒｔ△ＡＨ０中，ＡＨ一￣／Ａ０。一ＯＨ。＝ 口，即Ａ Ｎ￣－ＮＡ。ＢＤ的距离为 口． Ｃｌ 图４ １．２ 以垂面法定位垂足找平面的垂线： 即先过该点找或做该平面的垂面——再找 交线——再找或做交线的垂线，得结论：垂直于 交线的直线垂直于另一个平面，从而所做的交线 的垂线即为平面的垂线． 图５ 图６ 例３ 如图４，四面体Ｓ—ＡＢＣ中，ＳＡ，、ＳＢ、 评注：适当记忆某些结论，可提高思维的起 维普资讯 http://www.cqvip.com 解题研究 点，表现出与众不同的智慧与才华． ２ 等体积法 当该点在平面内的射影位置不好确定时，可 构造三棱锥，利用“三棱锥可把任一点当顶点与之 相对的面为底面时的体积不变”即“等体积法”计 ’例７ 如图８，棱长为２的正方体中，Ｅ、Ｆ分别 为ＡＢ、ＢＢ。的中点，求Ｄ。到平面ＤＥＦ的距离． 解：因为ＢＦ／／平面Ｄ ＤＥ，所以Ｆ到平面 Ｄ。ＤＥ的距离等于Ｂ到平面Ｄ。ＤＥ的距离， 设Ｄ。到平面ＤＥＦ的距离为ｄ，则由等体积法 得： Ｄｌ－ＤＥＦ＝ Ｆ＿Ｄ１ ＤＥ：＝： Ｓ△雎Ｆ・ｄ—Ｓ△雎Ｂ・ＤＤ卜 Ｄｔ ＤＥ＝ＶＤ，一雎Ｂ，即 算点到平面的距离． 例５ 如图６，斜三棱柱衄Ｃ—Ａ。Ｂ。Ｃ。的侧 面ＡｌＡＣＣｌ ｊ＿底面ＡＢＣ，面 ＡＢＣ一９０，ＢＣ一 所以ｄ一 ＂－－： ． ￣ＡＤＥＦ Ｊ ２，ＡＣ一２√３，ＡＡ。ｊ＿Ａ。Ｃ，ＡＡ。一Ａ。Ｃ，求Ｃ到平 面Ａ。ＡＢＢ。的距离． 评注：转化思想是数学中的一种重要思想，无 时不在、无处不在，在学习中一定要记得灵活用 哦１ ４ 向量法 解析：Ｃ到平面Ａ。ＡＢＢ。的距离一Ｃ到平面 Ａ ＡＢ的距离，设Ｃ到平面Ａ。ＡＢ的距离ｄ，取ＡＣ 的中点Ｆ、ＡＢ的中点Ｅ，连结Ａ。Ｆ、Ａ。Ｅ、ＥＦ，因为 侧面Ａ。ＡＣＣ。ｊ＿底面ＡＢＣ，且ＡＡ。ｊ＿Ａ。Ｃ，ＡＡ。 ＝设平面ａ的法向量为ｎ，点Ｐ是平面ａ外的一 点，点Ｍ是平面ａ内的任一点，则点Ｐ到平面ａ的 Ａ。Ｃ，则Ａ。Ｆ ｊ＿底面ＡＢＣ，Ａ。Ｅ ｊ＿ＡＢ，由等体 数ｌ 积法得，Ｖ＾，一 ｃ—Ｖｃ－Ａ１ ，即ｓ△ ｃ・ＡｌＦ一 距离ｄ等于 一在法向量，ｌ方向上投影的绝对值， Ｉ ＳａＡ ，４１３・ｄ，解得ｄ一√３． 学ｌ 所以ｃ到平面Ａ。ＡＢＢ。的距离为√３． Ｉ１．１ ｃｏｓ（ ， 一 Ｇ Ｃ 例８ 已知ＡＢＣＤ Ｉ 第ｌ趸 Ｉ军 ｂ，３注：等体积法仅在构造的三棱锥中适用． 是边长为４的正方形， 总ｌ ３ 转化法 利用“若一个平面经过一条线段的中点，则线 Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的 中点，ＣＧ上 平面 ＡＢＣＤ，且Ｃ１Ｇ：２，求点 Ｂ到平面ＥＦＧ的距离． 解：建立如图９所示 的空间直角坐标系Ｃ一 ｘｙｚ，则由已知可得Ｇ（０，０，２），Ｅ（２，４，Ｏ），Ｆ（４，２， 图９ ｌ冒段的两个端点到平面的距离相等’’或“与平面平行 期Ｉ圭的直线上的点到平面的距离处处相等”将求一个 １月点到平面的距离的问题转化为另一个点到平面的 —一距离来解决． 例６ 如图７，正三棱柱ＡＢＣ—Ａ Ｂ Ｃ。的底 面边长为８，对角线ＢＣ。一１０，Ｄ为ＡＣ的中点，求 Ｂ 到平面Ｃ。ＢＤ的距离． 解：连结Ｂ。Ｃ于ＢＣ。交于点０，则平面Ｃ。ＢＤ 商一（２，４，一２）， 一（４，２，一２），亩一 （２，０，Ｏ） ． 设，ｌ一（ｚ，ｙ， ）为平面ＧＥＦ的法向量，则 ｒ ｆ，１．经过线段Ｂ Ｃ的中点０，因此Ｂ１到平面Ｃ。ＢＤ的 距离一Ｃ到平面Ｃ。ＢＤ的距离，所以本题转化为 求Ｃ到平面Ｃ ＢＤ的距离，设Ｃ到平面Ｃ。ＢＤ的距 １ ｛商一０ ｆ２ｚ＋４ｙ一２ｚ：０ ｌ ｚ一 ｎ． 一。 ｛４ｚ ２；一２ 一０ ｊ ： ， 离ｄ，等体积法得， ｃＩｃ，肋＝Ｖｃ，一ｏ ｃ，即 ，＾ 取ｚ一３，则ｚ—Ｙ＝１，所以，ｌ＝（１，１，３）为平面 ． ．ｄ—Ｓ△舢 ． 。，解得ｄ一 ＧＥＦ的一个法向量， 故点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为 ｄ一 一 一 ． 注：用向量法求点到平面ａ的距离是过平面ａ 内的任一点与该点所构造的向量在法向量聆方向 上投影的绝对值，而非过该点的任一向量在法向 图７ 图８ 量，ｌ方向上投影的绝对值． 黧
