２０１３年第４期 河北理科教学研究 问题讨论 椭圆双曲线涉及两垂直半径的一组性质 上海市宝山区宝林路宝林六村４２号１０１室姜坤崇２０１９９９ 设Ａ为椭圆或双曲线上的任意一点，则 称线段ＯＡ（０为中心）为椭圆或双曲线的 半径．本文给出涉及椭圆、双曲线两垂直半 径的一组性质，这些性质中的一个为定值结 论，其余均为不等式结论．对于这些性质的 证明，虽每一个都可进行，但下面我们 将采取用前面的性质证明后续性质的方法， 以显示它们之问的联系，并能简化证明 过程． 性质１ 设ＯＡ，ＯＢ为椭圆 ＋ ： １（ａ＞ｂ＞０）的两条半径，且ＯＡ上ＯＢ，则 （ ＋＿＿ 为定值 ； （２） ≤ Ｄ ｌ≤ （３）考 ≤一ＡＢ－≤ ； ｃ４， 老 ≤－。Ａ一十一。曰－≤。＋６； （５） ａ＋ ｂ≤ ＋ ≤ ； ㈦ ≤ ＋ ≤ ：± ｎ４ ６４ ‘ 证明：如图１，设Ｉ ＯＡ ｌ：ｐ。，ｌ ＯＢ Ｉ＝ ・ １ ２・ ｌ０２（ＩＤｌ，Ｐ２＞０）， ｘＯＡ＝０，贝０ ｘＯＢ＝ ＋号，由三角函数的 ｆ 定义可知 Ａ（１０１ ｃｏｓＯ，Ｐｌ ｓｉｎＯ）， 曰（一ｆＤ２ｓｉｎＯ，ｆＤ２ｃｏｓＯ）． 分别将点Ａ，口的坐 图１ 标代入椭圆的方 程得 ｂ２１０２ｌ ｃｏｓ ＋ａ２ｌ０ ｓｉｎ 一ａ ｂ ＝０， ｂ２ｌＤ；ｓｉｎ ＋ａ２Ｊ０２ｃｏｓ ０一ｎ ｂ ＝０， 分别解出』０ ，Ｐ；得 Ｊ０１＝ ２ ＝ ■ ａ ｂ ① ② （１）由①、②式得 ｌ １ １ １ ＋丽 ＋ ２ ０ｓｉｎ ＋ｂ２ｃｏｓ２ ａ２ｃ￣ｓ２ ＋ｂ ｓｉｎ ０ —— 一＋ —— 一 一 ： ０ ６ （定值）、 （２）①Ｘ②得 ＯＡ Ｉ ．１ ＯＢ Ｉ ０ ６ ‘ ； 口４ ６４ ０ ｂ （ｓｉ ＋ｃｏｓ￣０）＋（ａ４＋ｂ４）ｓｉｎ２ ｃｏ ２０１３年第４期 河北理科教学研究 问题讨论 ａ ６ ａ２ ｂ２（１＿２ｓｉＺＯｅｏｓ２０）＋（ａ４＋ｂ４）ｓｉｎＺＯｅｏ￣Ｏ 口４ ６４ 一ｏ ｂ ＋（０ 一６ ） ｓｉｎ２０ｃｏｓ ０ ４０４ ６４ —４ａ ６。＋（ａ 一ｂ ） ｓｉｎｚ２０’ 所以当且仪当ｓｉｎ２０＝０， Ａ在椭圆 的顶点处时，Ｉ ＤＡ ｌ ・ｌ ＯＢ ｌ 取得最大值 ａ ６ ；当且仅当ｓｉｎ２０：±１时，即点Ａ在直 线Ｙ＝ 或ｙ＝一 上时，ｌ ＤＡ ｌ ・Ｉ Ｄ Ｉ 取得最小值 ． 综上即得 ≤Ｉ ＯＡ Ｄ Ｉ≤ａｂ． ａ ＋Ｄ （３）由勾股定理及（１）的结论得 Ｉ ＡＢ Ｉ ：Ｉ ＯＡ ｌ ＋ｌ ｌ ：旦 善Ｉ ＯＡ ｌ・ｌ ＯＢ Ｉ ．又由（２）的结论得 ≤ ａ ＋Ｄ Ｉ ＯＡ １．Ｉ ＤＢ ｌ≤ 所以粤 ａ ＋Ｄ ≤ ・ＡＢ ｉ ２≤ａ２ ．即考 ≤－ＡＢ・≤ ＝『 ‘ ＝１ ０ＡＩ＋１ ＯＢ Ｉ，￣ＵｔＯＡ Ｉ ＋Ｉ ０Ｂ Ｉｈ ＋ ２ ＯＡ １ｌ． ・Ｉ… ０Ｂ ｌ：ｌ． Ｂ： ＡＢ 得 ≤・ＯＡ ＯＢ・≤。６，且以上两 个不等式左边、右边取等号的条件均一致，故 丽８ａ２ ｂ２ ＋６） 删 ≤ Ｉ ＯＡ Ｉ＋Ｉ ＯＢ ｌ≤ａ＋ｂ． （５）ｉＳ，ｔ ＝ ＿＿＋ ，则由（１）的结 论知ｔ。 １ ＋丽１ ＋ Ｔ 百 ２ ０ ＋６ ＾ —＋ ａ Ｄ ｒ 广 ・又由（２）的结 论得 ≤ 面面≤ ≤ ： ， Ｉ以 所以 （ａ＋６） 口 ６２ ≤ ≤——— ａ ．Ｂ ．即 ＪＪ—丁≤ Ｄ ａｏ。 １ ． １ ￣／２（０ ＋ｂ ） Ｔ＿ ＋Ｔ一面≤—— 广’ （６）证明用到（１）和（２）的结论，请读者 自己给出，限于篇幅，这里从略． 性质２设ＯＡ、ＯＢ为双曲线＿了Ｘ－一 ： ａ ｂ。 １（６＞ａ＞０）的两条半径，且ＯＡ Ｊ－０Ｂ，则 （１ ＋ 为定值 ； （２）Ｉ ＯＡ ＯＢ Ｉ≥ ； （３）Ｊ ＡＢ Ｊ≥ ； ／Ｉ ｚ ｚ （４） ・ＯＢ・≥ ； ㈥ ＯＡ—— 一 ｌ Ｉ’ｌ＋ ０Ｂ Ｉ ≤ （ｂ 一ａ２） ２０ ６ 设Ｉ ＯＡ Ｉ＝ｌ０ｌ， ＼ ｌ ＯＢ ｌ＝１０２（１０１， Ｐ２＞０）， ｘＯＡ＝ ０，则 ｘＯＢ：０＋ 号，则Ａ（ｐ ｃ。ｓ０， ） ＼图２ ・ １３ ・ ２０１３年第４期 河北理科教学研究 ０问题讨论 ４ ｂ Ｐ１ ｓｉｎＯ），Ｂ（一Ｐ２ｓｉｎＯ，Ｐ２ｃｏｓＯ）．分别将点Ａ， Ｂ的坐标代入双曲线的方程得 ｂ２ｌＤ２ｌ ｃ０ｓ２ ０一ａ２ＩＤ２１ ｓｌ￣ｎ２ 一ａ ｂ ＝０， （ａ ＋ｂ ）ｓｉｎ２ ｃｏｓ２ 一ａ ｂ （ｓｉ 口＋ｃｏｓ＇０） ４ ６４ （ａ ＋ｂ ）ｓｉ Ｏｃｏｄ０一ａ ｂ （１—２ｓｉｎ ０ｃｏｄ０） ｂＥ１０ ｓｉｎ ０一ａ２ｌＤ２２ｃ０ｓ 一ａ。ｂ ＝０， 一 ： ： （ａ ＋ｂ ） ｓｉｎ２Ｏｃｏｓ ０一ｎ ｂ —一 一 分别解出Ｐ ，Ｐ 得 ＩＤ ＝ Ｄｔ ，③ ， 一 （２＋６ ）。ｓｉ当且仅当 ｉｎ２０ ｎ２２８—４０。６。‘ “ ａ．ＩＤ；＝ ｚ （１）由③、④式得 １ １ ， ④ ＝±１，即点 在直线Ｙ＝ 或Ｙ＝一 上时， Ｉ ＯＡ ｌ ・Ｉ ｏ曰ｌ 取得最小值 １ １ ，从 丽—— 一＋丽＋— — ＋ 一 而Ｉ ＯＡ ＯＢ ｌ≥ ． ｂ ｃ０ｓ ０—０２ ｓｉｎ ０ ｂ。ｓｉｎ２ 一０ ｃｏＳ２ （３）～（６）的证明从略． 参考文献 ａ ｂ 骧 ： （定值）． ａ ｂ 、 ～ ‘ 王绍锋．对圆锥曲线一个性质的探究［Ｊ］．中学数 学教学，２０１ １（５） （２）③×④得 王国涛．一道高考试题的探究与推广［Ｊ］．中学数 学研究（广州），２０１０（５） ３ 王户世．从一道高考题看椭圆的一个性质［Ｊ］．中 ｎ ｂ Ｉ ＯＡ Ｉ ・Ｉ ＯＢ Ｉ ＝Ｐ ・Ｐｉ＝ 口 ６ ｂ２ｃｏｓ２ 一ｎ２ｓｉｎ ０ ｂ ｓｉｎ２ 一０。ｃ０Ｓ２ 一 学数学，２０１０（４） （上接第５页） 正解：因为把ｌ０个指标分成５个部分， １００１不同分法（或ｃ４４或ｃ：：）． 点评：当分组数超过３个时，若没有给出 “每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡 只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为 第二类元素，共１４个元素．当这些元素都有 区别时共有Ａｌ４种排法． 但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎 ｄ １４ 板法解决的，而要用双排列方法解决．而双排 问题就是把元素分成相同的两类，然后加以 解决． 么变化，其实就是一种情况的共有— ＝ ・１４・
