浙江省浙南名校2020-2021学年高一下学期期中联考
数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x||x|＜3}，则A∩B＝（ ） A．（﹣3，5] B．[﹣3，5]
C．（﹣∞，5]
D．[0，3）
2．若复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量，，若
，则实数x的值是（ ）A．
B．1
C．5 D．﹣8
4．已知命题p：∃x∈R，x2+a＜0，那么“a≤0”是“p为真命题”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要
D．既不充分也不必要
5．已知函数y＝cosax+b（a＞0）的图像如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图像可能是（
A． B．
C． D．
）
6．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li＝101g，其中I0
指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，70]dB）对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[60，（单位：．下列选项中错误的是（ ） A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围[10﹣6，10﹣5]（单位：dB）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 7．已知平行四边形ABCD，若A．
B．
，
，且EF交AC于点M，则C．
D．
，若方程 ＝（ ）
8．已知函数f（x）＝max{x2，3﹣2|x|}，其中
有四个不同的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1x4+x2+x3
的取值范围是（ ） A．C．
B．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ） A．正四棱柱是长方体
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
10．已知函数f（x）＝2|sinx|+|cosx|，下列说法正确的有（ ） A．f（x）为偶函数 B．f（x）在
C．f（x）为周期函数
上单调递增
D．方程f（x）＝2在[0，π]上有三个实根
11．下列说法正确的有（ ） A．
的最小值为2
的最小值为
B．已知x＞1，则
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3 D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
12．设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a＞0），则下列说法正确的是（ ） A．若f（x）＝x有实根，则方程f（f（x））＝x有实根 B．若f（x）＝x无实根，则方程f（f（x））＝x无实根 C．若D．若
，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2个零点
，则函数y＝f（x）与y＝f（f（x））都恰有2零点
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．求值：
＝ ．
14．如图，△A'B'C'是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O'B'＝O'C'＝1，
，那么△ABC的周长是 ．
15．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，的面积为 ． 16．已知非零向量，，，满足
，
，CD＝4，，则四边形ABCD
，，若，则
的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知
（1）求tanθ的值； （2）求
[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]的值．
，
，且
．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对得到边分别为a，b，c，向量
，且
（1）求角C的值；
．
（2）若△ABC为锐角三角形，，求a﹣b的取值范围．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠CAB＝90°． （1）求该直三棱柱的表面积S；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积．
20．用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段．每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程．每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变．假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有m千克，其中水分占．
（1）求第一次漂洗后剩余残留物y与这次漂洗放入水的重量x的函数关系式． （2）若进行两次漂洗，加入水总重量为a千克，求剩余残留物y的最小值． 21．已知函数
（1）求f（x）的对称轴；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
sinxcosx﹣cos2x．
M是AB边上一点， ，且MA＝2MB，求△MBC的最大面积．
22．1）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于点（1，对称，且二次函数f（x）＝ax2+bx+c过点（1，0），f（0）f（2）＞0． （1）求的取值范围：
（2）试判断y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a是否有两个不同的交点？若有，请求出两交点间距离的取值范围；若没有，请说明理由．
参
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1． 故选：D．2． 故选：A．3． 故选：C．4． 故选：B．5． 故选：A． 6． 故选：C．7． 故选：B．8．故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．故选：AD．10． 故选：ACD．11． 故选：BCD．12． 故选：ABD． 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13． 故答案为：5． 14． 故答案为：6． 15． 故答案为：16． 解：∵
，．
，
，
∴•＝2×1×cos＜，＞＝1，∴cos＜，＞＝，∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝
，
），
建立如图平面坐标系，且A（2，0），B（，
设＝∵
＝（2，0），＝＝（，
y＝0，
），＝＝（x，y），
，∴x2+y2﹣x﹣
∴C在以B（，∵
）为圆心，1为半径的圆上，
表示圆上点到点A（2，0）的距离，
）到点A（2，0）的距离为
+1，最小值为﹣1，
﹣1，
＝
，
又∵圆心B（，∴∴
的最大值为的取值范围为[
﹣1，
+1]．
故答案为：[+1]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． 解：（1）由∵∴
，
∴（2）∵（sinθ+2cosθ） ＝
＝
，
，∴
．
•[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]＝（sinθ﹣cosθ）
＝cosθsinθ，得
，
，∴sinθ+cosθ＞0，sinθ﹣cosθ＜0，
，
＝
．
18． 解：（1）∵向量，，且，
∴a＝2b﹣2ccosA，即2b＝a+2ccosA， ∴2sinB＝sinA+2sinCcosA，
∴2sin（A+C）＝sinA+2sinCcosA，即2sinAcosC+2cosAsinC＝sinA+2sinCcosA， ∴2sinAcosC＝sinA， ∵A∈（0，π），sinA≠0， ∴
，
∵C∈（0，π）， ∴（2）∵
．
，
，
，
，
∴由正弦定理可得∴a﹣b＝4sinA﹣4sinB＝
∵△ABC为锐角三角形，可得，可得，有
，则
∴a﹣b的取值范围为（﹣2，2）． 19．解：（1）（2）由题得：
，
；
最小，如下图所示
组合1：组合2：组合3： 四棱柱还可以有另外两种情况，
因为两个棱柱的表面积是固定的，当拼起来时，接触面积重合，重合的面积在新图形中只被算一次，当接触面积最小时，表面积最大，所以组合1大柱体的表面积最大， 所以此时外接球直径
，
，
；
20． 解：（1）由题意可知，，即；
（2）设第一次漂洗后残留物为y1，第一次加入水量为x1，第二次加入的水量为x2， 则有x1+x2＝a， 因为
，即
，
又，
所以，
又，
当且仅当时取等号，
故二次漂洗后残留物y的最小值为21． 解：（1）令
（2）由（1）知，因为
又因为A∈（0，π），所以①当
时，
，
，k∈Z，得对称轴为
，
．
，k∈Z．
＝
，所以， ，
，得
，当且仅当b＝c时取等号，
．
解法1：由余弦定理可知，所以
当且仅当b＝c时取等号，
，
，
解法2：设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理可知，
圆上弦长BC＝2一定，动点A在圆弧上运动，当b＝c时，△ABC底边BC上的高最大，此时△ABC面积最大值为②当方法如①，
时，
，
，所以△MBC的最大面积为
，
，
．
即△MBC的最大面积为，当且仅当b＝c时取等号．
22． 解：（1）由题得a+b+c＝0，∵f（0）f（2）＝c（4a+2b+c）＞0， ∴（a+b）（3a+b）＜0即∵a2＞0∴
；
，
（2）解法1：设点P（x，y）是函数y＝g（x）图像上的任意一点，
则点P（x，y）关于点（1，1）对称的点P'（x'，y'）在函数y＝f（x）的图像上．
∴即，
∵点P'（x'，y'）在在函数y＝f（x）的图像上， ∴2﹣y＝f（2﹣x），
∴y＝2﹣f（2﹣x）（若直接写出g（x）＝2﹣f（2﹣x）就给分）
即g（x）＝2﹣f（x）＝2﹣a（2﹣x）2﹣bx﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣4a﹣2b﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣3a﹣b，
由方程g（x）＝2﹣a，得ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0， ∵△＝（4a+b）2﹣4a（2a+b）＝
，
设y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a有两个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2）， 即x1，x2是方程ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0的两个根， ∴
，
∴＝∵∴
∴．
，
＝
，
，
解法2：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于点（1，1）对称， ∴y＝g（x）的图像与直线y＝2﹣a是否有两个不同的交点 ⇔y＝f（x）与y＝a是否有两个不同的交点，
由方程f（x）＝a得ax2+bx+c﹣a＝0即ax2+bx﹣2a﹣b＝0， ∵△＝b2+8a2+4ab＝（b+2a）2+4a2＞0，
∴y＝f（x）与y＝a有两个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2）， 即x1，x2是方程ax2+bx﹣2a﹣b＝0的两个根， ∴
， ，
∴
＝∵∴
∴．
＝，
，
