概率论与数理统计各章重点与公式

（1）排列组 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 合公式 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

（2）加法和种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序）

（3）一些常

对立事件（至少有一个）

见排列

顺序问题

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

（4）随机试

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试

验和随机事

验。

件

试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 和事件 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，

C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。

（6）事件的A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称关系与运算 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ， 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个

（7）概率的

条件：

公理化定义

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件 的概率。

1° ， 2° 。

（8）古典概

设任一事件 ，它是由 组成的，则有

型

P(A)= =

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空

（9）几何概间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何型 概型。对任一事件A，

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 （10）加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) （11）减法公

当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)

式

当A=Ω时，P( )=1- P(B)

定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发

（12）条件概生的条件概率，记为 。 率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) 乘法公式：

（13）乘法公

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

式

… …… … 。 ①两个事件的性

设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互的。 若事件 、 相互，且 ，则有

若事件 、 相互，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互。 必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互。

（14）性 Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的性

设ABC是三个事件，如果满足两两的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互。 对于n个事件类似。 设事件 满足

（15）全概公1° 两两互不相容， ， 式 2° ，

则有

。

设事件 ， ，…， 及 满足 1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ， 2° ， ，

（16）贝叶斯则 公式 ，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。 ，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 次试验，且满足

u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；

u 每次试验是的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不

（17）伯努利

影响的。

概型

这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。

用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。 第二章 随机变量及其分布

（1）设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概离散率为

型随P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

机变则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 量的。

分布显然分布律应满足下列条件： 律 （1） ， ， （2） 。

（2）设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 连续，

型随则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 机变密度函数具有下面4个性质： 量的1° 。 分布2° 。 密度

（3）

离散积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用与连相类似。 续型随机变量的关系

（4）设 为随机变量， 是任意实数，则函数 分布

函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° ； 2° 是单调不减的函数，即 时，有 ； 3° ， ； 4° ，即 是右连续的； 5° 。

对于离散型随机变量， ； 对于连续型随机变量， 。 （5）0-1P(X=1)=p, P(X=0)=q 分 分布 布

二在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，项则 可能取值为 。 分， 其中 ，

布 则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。

当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊设随机变量 的分布律为 松， ， ，

分则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。 布 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超

几随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 何分布

几，其中p≥0，q=1-p。

何随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 分布

均设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即 匀 分

布 a≤x≤b

其他，

则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为

a≤x≤b

0， x1， x>b。

当a≤x10, ,

其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。 X的分布函数为 ,

x<0。

记住积分公式：

正设随机变量 的密度函数为 态， ，

分其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，布 记为 。

具有如下性质： 1° 的图形是关于 对称的； 2° 当 时， 为最大值； 若 ，则 的分布函数为 。。

参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ， ，

分布函数为 。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。 如果 ~ ，则 ~ 。 。

（6）下分位表： ； 分位上分位表： 。 数

（7）离已知 的分布列为 函数散 ，

分布 型 的分布列（ 互不相等）如下：

，

若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。

连先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限续积分的求导公式求出fY(y)。 型

第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合离散型 分布

如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。

设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称

为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X x1 x2 xi

y1 p11 p21 pi1

y2 p12 p22

… … … …

yj p1j p2j

… … … …

这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）

连续型

对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）

（2）二维 随机变量的本质

（3）联合设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 分布函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4） （5）对于 . （4）离散 型与连续型的关系 （5）边缘离散型 分布

X的边缘分布为 ；

Y的边缘分布为 。

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ；

连续型

（6）条件离散型 分布

连续型

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）一般型 性 离散型

连续型

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

有零不

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件： ①可分离变量

②正概率密度区间为矩形 ＝0

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互， h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互。 特例：若X与Y，则：h（X）和g（Y）。 例如：若X与Y，则：3X+1和5Y-2。

二维正态分布 随机变量的函数

（8）二维设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 均匀分布

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1

D1

O 1 x

图3.1 y

D2 1

1

O 2 x

图3.2

y D3

d c

O a b x 图3.3

（9）二维设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 正态分布

其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即X～N（

但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数Z=X+Y 分布

根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个的正态分布的和仍为正态分布（ ）。

n个相互的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ，

Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互，其分布函数分别为 ，则

Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： 分布

设n个随机变量 相互，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中

所谓自由度是指正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则

设X，Y是两个相互的随机变量，且

可以证明函数

t分布

的概率密度为 F分布

第四章 随机变量的数字特征 （1）一 维随机期望

变量的期望就是平均值 数字特征

函数的期望

方差

D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 ， 矩

切比雪夫不等式

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

设 ，且X与Y，可以证明 的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). 离散型

连续型

设X是离散型随机变量，其分设X是连续型随机变量，其布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n， 概率密度为f(x)， （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） Y=g(X) Y=g(X)

①对于正整数k，称随机变量①对于正整数k，称随机变X的k次幂的数学期望为X的量X的k次幂的数学期望为k阶原点矩，记为vk,即 X的k阶原点矩，记为vk,νk=E(Xk)= , k=1,2, …. 即

②对于正整数k，称随机变量νk=E(Xk)= X与E（X）差的k次幂的数 k=1,2, …. 学期望为X的k阶中心矩，记②对于正整数k，称随机变为 ，即 量X与E（X）差的k次幂 的数学期望为X的k阶中心= ， k=1,2, …. 矩，记为 ，即

=

k=1,2, …. 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期（1） E(C)=C

望的性（2） E(CX)=CE(X) 质 （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y； 充要条件：X和Y不相关。

（3）方（1） D(C)=0；E(C)=C

差的性（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) 质 （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b

（4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常

见分布0-1分布 的期望二项分布 和方差 泊松分布

几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 t分布

（5）二期望 维随机

变量的函数的期望 数字特征 方差

期望 p np n 0

＝

方差 2n (n>2) ＝

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即

与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 | |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关

而当 时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的：

相关系数

① ；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵 混合矩

对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：

（6）协(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 方差的(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

性质 (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）独（i） 若随机变量X与Y相互，则 ；反之不真。 立和不（ii） 若（X，Y）～N（ ），

相关 则X与Y相互的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 （1）大数定律

切比雪设随机变量X1，X2，…相互，均具有有限方差，且被同夫大数一常数C所界：D（Xi）定律

特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为 伯努利设μ是n次试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次大数定试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

律

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大设X1，X2，…，Xn，…是相互同分布的随机变量序列，数定律 且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

（2）中心极限定理 列维－设随机变量X1，X2，…相互，服从同一分布，且具有相 林德伯同的数学期望和方差： ，则随机变量

格定理

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为同分布的中心极限定理。

棣莫弗设随机变量 为具有参数n, p(0（3）二项定理

若当 ，则

超几何分布的极限分布为二项分布。 若当 ，则

其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。

在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

我 们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本 值）。我们称之为样本的两重性。

（4）泊松定理

第六章 样本及抽样分布 （1）数理统总体

计的基本概念

个体 样本

样本函数和统设 为总体的一个样本，称 计量 （ ）

为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。 常见统计量及样本均值 其性质 样本方差

样本标准差 样本k阶原点矩

样本k阶中心矩 ， ， ， ,

其中 ，为二阶中心矩。

（2）正态总正态分布 体下的四大分布 t分布

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中 表示自由度为n-1的 分布。

设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

F分布

其中

表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。

（3）正态总与 。 体下分布的性质

第七章 参数估计 （1）点估矩估计 计

设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。

若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。

极大似然当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。估计 又设 为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称

为样本的似然函数。

若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。

（2）估计无偏性 量的评选标准 有效性

一致性

设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。

E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X） 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。

设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有

则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。

若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

（3）区间置信区间设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个估计 和置信度 统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即

那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。

单正态总设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体的期望体步骤如下：

和方差的（i）选择样本函数；

区间估计 （ii）由置信度 ，查表找分位数； （iii）导出置信区间 。

已知方差，估计均值

（i）选择样本函数

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

（i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

（i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

（iii）导出 的置信区间

未知方差，估计均值

方差的区间估计

第八章 假设检验 基本思想

假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。

为 了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。

这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。

假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K；

(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值 计算统计量之值K；

将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。 第一类错误

当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}= ； 此处的α恰好为检验水平。

基本步骤

两类错误

第二类错误

当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}= 。

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。

在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

两类错误的关系

单正态总体均值和方差的假设检验 条件

零假设

已知

未知

未知

N（0，1）

统计量

对应样本 函数分布

否定域