数学归纳法

数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①当nn（n00N）时，P(n)成立；

0②假设nk(kn,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数nn时，P(n)成立．

0（2）第二数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①当nn（n00N）时，P(n)成立；

0②假设nk(kn,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数nn时，P(n)成立．

02．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法

①当n1,2,3,,l时，P(1),P(2),P(3),,P(l)成立，

②假设nk时P(k)成立，由此推得nkl时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立． （2）反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①P(n)对无限多个正整数n成立；

②假设nk时，命题P(k)成立，则当nk1时命题P(k1)也成立，那么根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立． 3．应用数学归纳法的技巧

（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n0也成立，而且验证起来比验证n1时容易，因此用验证n0成立代替验证n1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．

（2）起点增多：有些命题在由nk向nk1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．

（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设nk时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用． （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 5．归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法． 例题讲解

1．用数学归纳法证明：

111(11)(1)(1)(1)33n1（nN*,n1）

473n22．已知对任意nN，n1，a*n3330且a1a2an(a1a2an)2，

求证：a

nn．

n7．试证：对一切自然数n（n1）都有22n2．

8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．

9．设0a1，a 10．已知a数．

111a，an11a，求证：对一切nN均有an1 ana21，an22n1an1(1)an，求证：对一切nN，a都是整

n

11．设f(n)1111，是否存在关于正整数n的函数g(n)使等

23n式f(1)f(2)f(n1)g(n)[f(n)1]对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论．