武汉市青山区2018-2019学年八年级下期末数学试题((有答案))

湖北省武汉市青山区2018-2019学年八年级下学期

期末考试数学试题

一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．若代数式A．x≥﹣2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x＞﹣2

C．x≥2

D．x≤2

2．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．1，2，2

B．1，1，

C．4，5，6

D．1，

，2

3．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） A．3：4：3：4

B．3：3：4：4

C．2：3：4：5

D．3：4：4：3

4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68， 在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

5．如果直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则有（ ） A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0

6．如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（ ）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm

7．小华周末坚持体育锻炼．某个周末他跑步到离家较远的和平公园，打了一会儿篮球后散步回家．下面能反映当天小华离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）

.

.

A． B．

C． D．

8．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时）

人数

5 10

6 15

7 20

8 5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A．6.2小时

B．6.4小时

C．6.5小时

D．7小时

9．设直线y＝kx+6和直线y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…，8），则S1+S2+S3+…+S8的值是（ ） A．

B．

C．16

D．14

10．AB＝2如图，矩形ABCD中，的最小值是（ ）

BC＝6，P为矩形内一点，PB，PC，，连接PA，则PA+PB+PC

A．4+3 B．2 C．2+6 D．4

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：3

﹣

的结果是 ．

12．函数y＝﹣6x+5的图象是由直线y＝﹣6x向 平移 个单位长度得到的． 13．数据5，5，6，6，6，7，7的众数为

14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为DE的中点，∠B＝66°，∠EDC＝44°，则

.

.

∠EAF的度数为 ．

15．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．

16．对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为 ．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分 17．（8分）计算： （1）（2）（

﹣+

+

）÷

18．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形． （1）求证：▱ABCD为矩形；

.

.

（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．

19．（8分）“大美武汉，畅游江城”．某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

20．（8分）如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）．

（1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围；

（2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？

.

.

21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．

22．（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表 x单位：台）

10 20

30 50

y（单位：万元/台） 60 55

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．

①该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）

②若该厂每月生产的这种机器当月全部售出，则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大？

.

.

23．（10分）已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF．

（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为 ；

（2）如图2，∠B＝90°，∠C＝150°，求AB、CD、EF之间的数量关系？ （3）如图3，∠ABC＝∠BCD＝45°，连接AC、BD交于点O，连接OE，若AB＝2

，BC＝6，则OE＝ ．

，CD＝

24．（12分）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．

（1）若m＝4，n＝3，直接写出点C与点D的坐标； （2）点C在直线y＝kx（k＞1且k为常数）上运动． ①如图1，若k＝2，求直线OD的解析式；

②如图2，连接AC、BD交于点E，连接OE，若OE＝2

.

OA，求k的值．

.

.

.

参

一、你一定能选对 1．若代数式A．x≥﹣2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

B．x＞﹣2

C．x≥2

D．x≤2

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：C．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．1，2，2

B．1，1，

C．4，5，6

D．1，

，2

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．

解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； B、∵12+12＝2≠（

）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；

C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； D、∵12+（故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

3．下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） A．3：4：3：4

B．3：3：4：4

C．2：3：4：5

D．3：4：4：3

）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．

【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选

.

.

项不能满足两组对角相等，故不能判定．

解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确． 故选：A．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．

4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.43，S丁2＝1.68， 在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可直接作出判断．解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68， ∴丙成绩最稳定， 故选：C．

【点评】本题主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5．如果直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则有（ ） A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0

【分析】根据一次函数y＝kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解．

解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， 又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0．

再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0． 故选：C．

【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：

.

.

直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

6．如图，在▱ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（ ）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm

【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12cm，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BE＝AB＝8cm， ∴CE＝BC﹣BE＝4cm； 故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

7．小华周末坚持体育锻炼．某个周末他跑步到离家较远的和平公园，打了一会儿篮球后散步回家．下面能反映当天小华离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）

.

.

A． B．

C． D．

【分析】根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．

解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较远的和平公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；

第二阶段：打了一会儿篮球，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变；

第三阶段：散步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于第一阶段的速度． 故选：B．

【点评】本题主要考查函数图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．

8．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时）

人数

5 10

6 15

7 20

8 5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A．6.2小时

B．6.4小时

C．6.5小时

D．7小时

【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可． 解：根据题意得：

（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 ＝（50+90+140+40）÷50

.

.

＝320÷50 ＝6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 故选：B．

【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．

9．设直线y＝kx+6和直线y＝（k+1）x+6（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk（k＝1，2，3，…，8），则S1+S2+S3+…+S8的值是（ ） A．

B．

C．16

D．14

【分析】联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出两直线与x轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出Sk＝×6×6（﹣

），将其代入S1+S2+S3+…+S8中即可求出结论．

解：联立两直线解析式成方程组，得：

，解得：

，

∴两直线的交点是（0，6）．

∵直线y＝kx+6与x轴的交点为（﹣，0），直线y＝（k+1）x+6与x轴的交点为（﹣∴Sk＝×6×|﹣﹣（﹣

）|＝18（﹣

），

，0），

∴S1+S2+S3+…+S8＝18×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）， ＝18×（1﹣）， ＝18×＝16．

.

.

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及规律型中数字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出Sk＝18（﹣题的关键．

10．AB＝2如图，矩形ABCD中，的最小值是（ ）

BC＝6，P为矩形内一点，PB，PC，，连接PA，则PA+PB+PC

）是解

A．4+3 B．2 C．2+6 D．4

【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形， ∴PC＝PF， ∵PB＝EF，

∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，

.

.

∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴tan∠ACB＝

＝

，

，

∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4∵∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝90°， ∴AE＝故选：B．

＝2

，

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置 11．计算：3

﹣

的结果是 2

．

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 解：3

﹣

＝2．

．

故答案为：2

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 12．函数y＝﹣6x+5的图象是由直线y＝﹣6x向 上 平移 5 个单位长度得到的． 【分析】根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．

解：函数y＝﹣6x+5的图象是由直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度得到的． 故答案为上，5．

.

.

【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．

13．数据5，5，6，6，6，7，7的众数为 6 【分析】根据众数的定义可得结论．

解：数据5，5，6，6，6，7，7的众数为：6； 故答案为：6

【点评】本题主要考查众数的定义，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为DE的中点，∠B＝66°，∠EDC＝44°，则∠EAF的度数为 68° ．

【分析】只要证明∠EAD＝90°，想办法求出∠FAD即可解决问题； 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC＝66°，AD∥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∵EF＝FD， ∴FA＝FD＝EF， ∵∠EDC＝44°， ∴∠ADF＝∠FAD＝22°， ∴∠EAF＝90°﹣22°＝68°，

.

.

故答案为68°

【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

15．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 13 cm．

【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可． 解：因为正方形AECF的面积为50cm2， 所以AC＝

cm，

因为菱形ABCD的面积为120cm2， 所以BD＝

cm，

所以菱形的边长＝故答案为：13．

cm．

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．

16．对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为 ﹣5＜b＜5 ．

.

.

【分析】由题意，G（﹣2，3），M（2，﹣3），根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，求出直线经过点G或M时的b的值即可判断．

解：由题意，G（﹣2，3），M（2，﹣3），

根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，

当直线y＝x+b经过点G（﹣2，3）时，b＝5， 当直线y＝x+b经过点M（2，﹣3）时，b＝﹣5， ∴满足条件的b的范围为：﹣5＜b＜5． 故答案为﹣5＜b＜5

【点评】本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17．（8分）计算： （1）（2）（

﹣+

+

）÷

【分析】（1）根据二次根式的加减法可以解答本题； （2）根据二次根式的除法可以解答本题． 解：（1）

﹣

+

.

.

＝3＝2

﹣2；

+

+

（2）（）÷

＝+

＝4+．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．18．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形． （1）求证：▱ABCD为矩形； （2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）根据题意可求OA＝OB＝DO，∠AOB＝60°，可得∠BAD＝90°，即结论可得 （2）根据勾股定理可求AD的长，即可求▱ABCD的面积． 解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OB＝OD， ∴OA＝OD ∴∠OAD＝30°，

∴∠BAD＝30°+60°＝90° ∴平行四边形ABCD为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，

.

.

∴AB＝4，BC＝AB＝4

∴▱ABCD的面积＝4×4＝16

【点评】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

19．（8分）“大美武汉，畅游江城”．某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

【分析】（1）用最想去A景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数； （2）先计算出最想去D景点的人数，再补全条形统计图，然后用360°乘以最想去D景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数； （3）用1200乘以样本中最想去A景点的人数所占的百分比即可． 解：（1）被调查的学生总人数为8÷20%＝40（人）；

（2）最想去D景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6＝8（人）， 补全条形统计图为：

.

.

扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为

（3）1200×

＝420，

×360°＝72°；

所以估计“最想去景点B“的学生人数为420人．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和利用样本估计总体．

20．（8分）如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）．

（1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围；

（2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？

【分析】（1）依据直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2），即可得到当y1＜y2

时，x＞2；

.

.

（2）分两种情况讨论，依据△OPC的面积为3，即可得到点P的坐标． 解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）， ∴当y1＜y2时，x＞2；

（2）将（2，2）代入y1＝﹣x+b，得b＝3， ∴y1＝﹣x+3，

∴A（6，0），B（0，3）， 设P（x，﹣x+3），则 当x＜2时，由×3×2﹣解得x＝0， ∴P（0，3）；

当x＞2时，由×6×2﹣×6×（﹣x+3）＝3， 解得x＝4， ∴﹣x+3＝1， ∴P（4，1），

综上所述，点P的坐标为（0，3）或（4，1）．

【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，设P（x，﹣x+3），利用三角形的面积的和差关系列方程是解题的关键．

21．（8分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．

（1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．

.

×3×x＝3，

.

【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；

（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF＝AE，设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠FCH＝∠EAG， 又∵CD＝AB，BE＝DF， ∴CF＝AE， 又∵CH＝AG， ∴△AEG≌△CFH，

∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE， ∴∠FHG＝∠EGH， ∴FH∥GE，

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图，连接EF，AF，

∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形， ∴四边形GFHE为菱形， ∴EF垂直平分GH， 又∵AG＝CH，

.

.

∴EF垂直平分AC， ∴AF＝CF＝AE，

设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x， 在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴AE＝5．

【点评】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

22．（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表 x单位：台）

10 20

30 50

y（单位：万元/台） 60 55

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．

①该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）

②若该厂每月生产的这种机器当月全部售出，则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大？

.

.

【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以求得y与x的函数关系式；

（2）①根据函数图象可以求得z与a的函数关系式，然后根据题意可知x＝40，z＝40，从而可以求得该厂第一个月销售这种机器的总利润；

②根据题意可以得到每台的利润和台数之间的关系式，从而可以解答本题． 解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

，得

，

即y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+65（10≤x≤70，且为整数）； （2）①设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n，

，得

，

∴z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90， 当z＝40时，40＝﹣a+90，得a＝50， 当x＝40时，y＝﹣0.5×40+65＝45， 40×50﹣40×45 ＝2000﹣1800 ＝200（万元），

答：该厂第一个月销售这种机器的总利润为200万元； ②设每台机器的利润为w万元，

w＝（﹣x+90）﹣（﹣0.5x+65）＝﹣x+25，

.

.

∵10≤x≤70，且为整数， ∴当x＝10时，w取得最大值，

答：每个月生产10台这种机器才能使每台机器的利润最大．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23．（10分）已知，在四边形ABCD中，点E、点F分别为AD、BC的中点，连接EF．

（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB、CD、EF之间的数量关系为 2EF＝AB+CD ；

（2）如图2，∠B＝90°，∠C＝150°，求AB、CD、EF之间的数量关系？ （3）如图3，∠ABC＝∠BCD＝45°，连接AC、BD交于点O，连接OE，若AB＝2

，BC＝6，则OE＝

．

，CD＝

【分析】（1）根据三角形的中位线和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．首先证明△AFB≌△KFC，推出AB＝CK，再利用勾股定理，三角形的中位线定理即可解决问题；

（3）如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．想办法求出点E、O的坐标即可解决问题； 解：（1）结论：AB+CD＝2EF， 理由：如图1中，

.

.

∵点E、点F分别为AD、BC的中点， ∴BC＝FC，AE＝ED， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠GCF， ∵∠BFA＝∠CFG， ∴△ABF≌△CFG（ASA）， ∴AB＝CG，AF＝FG， ∵AE＝ED，AF＝FG，

∴2EF＝DG＝DC+CG＝DC+AB； 故答案为2EF＝AB+CD．

（2）如图2中，作CK⊥BC，连接AF，延长AF交CK于K．连接DK，作DH⊥CK于H．

∵∠ABF＝∠KCF，BF＝FC，∠AFB＝∠CFK， ∴△AFB≌△KFC， ∴AB＝CK，AF＝FK，

∵∠BCD＝150°，∠BCK＝90°， ∴∠DCK＝120°，

.

.

∴∠DCH＝60°， ∴CH＝CD，DH＝

CD，

CD）2+（AB+CD）2＝AB2+CD2+AB•CD，

在Rt△DKH中，DK2＝DH2+KH2＝（∵AE＝ED，AF＝FK， ∴EF＝DG， ∴4EF2＝DK2，

∴4EF2＝AB2+CD2+AB•CD．

（3）如图3中，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系如图所示．

由题意：A（1，1），B（6，0），D（4，2）， ∵AE＝ED， ∴E（，），

∵中线AC的解析式为y＝﹣

，中线BD的解析式为y＝x，

由，解得，

∴O（，），

.

.

∴OE＝＝，

故答案为．

【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平面直角坐标系、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会建立平面直角坐标系解决问题，属于中考压轴题．

24．（12分）在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD．

（1）若m＝4，n＝3，直接写出点C与点D的坐标； （2）点C在直线y＝kx（k＞1且k为常数）上运动． ①如图1，若k＝2，求直线OD的解析式；

②如图2，连接AC、BD交于点E，连接OE，若OE＝2【分析】（1）根据题意把m＝4，n＝3代入解答即可； （2）①利用待定系数法确定函数关系式即可； ②根据勾股定理和函数关系式解答即可．

解：（1）∵OA＝m，OB＝n，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD， ∴C（n，m+n），D（m+n，m）， 把m＝4，n＝3代入可得： C（3，7），D（7，4），

.

OA，求k的值．

.

（2）①设C（a，2a），由题意可得：解得：m＝n＝a， ∴D（2a，a），

∴直线OD的解析式为：y＝x， ，D（m+n，m）， ②由B（0，n）可得：E（∴

可得：（m+n）2＝16m2， ∴m+n＝4m，n＝3n， ∴C（3m，4m），

∴直线OC的解析式为：y＝x， 可得：k＝．

），OE＝2

，

OA，

，

【点评】此题考查一次函数的综合题，关键是根据待定系数法确定函数关系式和勾股定理解答．

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