2024年福建省中考数学真题试卷及答案

一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的．

1. 下列实数中,无理数是（ ） A. 3

B. 0

C.

2 3D.

5 2. 据3月12日电,世界知识产权组织近日公布数据显示,2023年,全球PCT《人民日报》（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件,中国申请量为69610件,是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ） A. 696110

B. 696.1102

C. 6.961104

D. 0.6961105

3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体,其俯视图是（ ）

A. B.

C. D.

4. 在同一平面内,将直尺、含30角的三角尺和木工角尺（CDDE）按如图方式摆放,若AB则1的大小为（ ）

CD,

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75

5. 下列运算正确的是（ ）

A. a3a3a9 B. a4a2a2 C. a32a5 D. 2a2a22

6. 哥德提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是（ ） A.

1 4B.

1 3C.

12 D.

2 37. 如图,已知点A,B在

O上,AOB72,直线MN与O相切,切点为C,且C为AB的中点,则

ACM等于（ ）

A. 18 B. 30 C. 36 D. 72

8. 今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,第一季度社会消费品零售总额120327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元,则符合题意的方程是（ ） A. 14.7%x120327 C.

B. 14.7%x120327 D.

x120327

14.7%x120327

14.7%9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图,其中OAB与ODC都是等腰三 角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中点,OEOF．下列推断错误的是（ ）

A. OBOD C. OEOF

B. BOCAOB D. BOCAOD180

210. 已知二次函数yx2axaa0的图象经过Aa,y1,B3a,y2两点,则下列判断正确的是2（ ）

A. 可以找到一个实数a,使得y1a C. 可以找到一个实数a,使得y20

B. 无论实数a取什么值,都有y1a D. 无论实数a取什么值,都有y20

二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分．

11. 因式分解:x2x

12. 不等式3x21的解集是______．

13. 学校为了解学生的安全防范意识,随机抽取了12名学生进行相关知识测试,将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图,则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位:分）

14. 如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形

EFGH的面积为______．

15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y限．若A1,2,则点B的坐标为______．

k

的图象与O交于A,B两点,且点A,B都在第一象x

16. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在

直线的夹角PDA为70,帆与航行方向的夹角PDQ为30,风对帆的作用力F为400N．根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用,与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学模型:FAD400,则f2CD______．（单位:N）（参考数据:sin400.,cos400.77）

三、解答题:本题共9小题,共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 计算:(1)054．

18. 如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD边上,AEBAFD,求证:BEDF．

19. 解方程:

3x1． x2x220. 已知A,B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中,A地甲类学校有考生3000人,数学平均分为90分:乙类学校有考生2000人,数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分

（2）若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为82分,据此,能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能,请给予证明:若不能,请举例说明．

21. 如图,已知二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中

A2,0,C0,2．

（1）求二次函数的表达式

（2）若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标． 22. 如图,已知直线l1l2．

（1）在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l规作图,不写作法,保留作图痕迹）

l1l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离;（要求:尺

（2）在（1）的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且ABC为等腰直角三角形,求

ABC的面积．

23. 已知实数a,b,c,m,n满足3mn（1）求证:b212ac为非负数

（2）若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数？说明你的理由．

24. 在手工制作课上,老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD,要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AEFB）,恰好得到纸盒的展开图,并利用该展开图折成一个礼品盒,如图3所示．

bc,mn． aa

图1 图2 图3 （1）直接写出

AD的值 AB（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”,如图4所示,那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）

图4

A． B．

C． D．

（3） 卡纸型号 规格（单位:cm） 单价（单位:元） 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 3040 2080 8080 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式,适当调整AE,EF的比例,制作棱长为10cm的正方体礼品盒,如果要制作27个这样的礼品盒,请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数）,并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒,其展开图在卡纸上的分布情况）,给出所用卡纸的总费用．

（要求:①同一型号的卡纸如果需要不止一张,只要在一张卡纸上画出设计方案;②没有用到的卡纸,不要在该型号的卡纸上作任何设计;③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上;④本题将综合考虑“利

用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分,总费用最低的才能得满分;⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

25. 如图,在ABC中,BAC90,ABAC,以AB为直径的O交BC于点D,AEOC,垂足为

E,BE的延长线交AD于点F．

（1）求

OE的值 AE（2）求证:△AEB∽△BEC （3）求证:AD与EF互相平分．

2024年福建省中考数学真题试卷解析

一、选择题．

1. 【答案】D 2. 【答案】C 4. 【答案】A 5. 【答案】B 6. 【答案】B 7. 【解析】 8. 【答案】A 9. 【答案】B 10. 【答案】C

【解析】解:二次函数解析式为yx2axaa0

2二次函数开口向上,且对称轴为x2aa,顶点坐标为a,aa2 2当a0时,0aa, 2ay1aa2

当a<0时,aa0 2aa2y1a

故A,B错误,不符合题意 当a0时,0a2a3a 由二次函数对称性可知,y2a0

当a<0时,3a2aa0,由二次函数对称性可知,y2a,不一定大于0 故C正确符合题意;D错误,不符合题意 故选:C．

二、填空题．

11. 【答案】xx1 12. 【答案】x1 13. 【答案】90

14. 【答案】2 15. 【答案】2,1

【解析】解:如图:连接OA，OB

∵反比例函数y∴2k

的图象与O交于A,B两点,且A1,2 x

k，k2 1设Bn，m,则nmk2 ∵OBOA22125 ∴mn222525

则mnm2n22mn549 ∵点B在第一象限 ∴mn3

把nmk2代入得m∴m11，m22

经检验:m11，m22都是原方程的解 ∵A1,2

23，m23m2m1m20 m，∵B21 ，故答案为:21

16. 【答案】128 【解析】解:如图

∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA为70,帆与航行方向的夹角PDQ为30 ∵ADQPDAPDQ703040,1PDQ30 ∵AB∥QD

∵BADADQ40

在Rt△ABD中,FAD400,ABD90

∵F2BDADsinBAD400sin404000.256 有题意可知,

BDDQ

∵BDC190 ∵BDC90160

在RtBCD中,BD256,BCD90

∴f2CDBDcosBDC256cos60256故答案为:128

1128 2三、解答题.

17. 【答案】4

18. 【解析】证明:四边形ABCD是菱形

ABAD,BD

AEBAFD

ABE≌ADFAAS

BEDF．

19. 【答案】x10．

【解析】解:

3x 1x2x2方程两边都乘x2x2,得3x2x2x2xx2． 去括号得:3x6x24x22x 解得x10．

经检验,x10是原方程的根．

20. 【答案】（1）86; （2）不能,举例见解析． 【小问1详解】

由题意,得A地考生的数学平均分为【小问2详解】 不能．

举例如下:如B地甲类学校有考生1000人,乙类学校有考生3000人,则B地考生的数学平均分为

190300080200086． 5000194100082300085． 4000因为8586

所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高．

221. 【答案】（1）yxx2

（2）3,4 【小问1详解】

解:将A2,0,C0,2代入yxbxc

2得42bc0

c2b1 解得c2所以,二次函数的表达式为yxx2． 【小问2详解】

设Pm,n,因为点P在第二象限,所以m0,n0．

2S△PDB依题意,得

S△CDB1BDnn22,即2,所以2．

1COBDCO2由已知,得CO2 所以n2CO4． 由m2m24

解得m13,m22（舍去） 所以点P坐标为3,4． 22. 【答案】（1）见解析; （2）ABC的面积为1或解:如图

5． 2

直线l就是所求作的直线． 【小问2详解】

①当BAC90,ABAC时

ll1l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,根据图形的对称性可知:

BC2

ABAC2 S△ABC1ABAC1． 2

②当ABC90,BABC时

分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足为M,N

AMBBNC90． ll1l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离

CN2,AM1．

MABABM90,NBCABM90 MABNBC,△AMB≌△BNC BMCN2．

在RtABM中,由勾股定理得AB2AM2BM2 AB5．

S△ABC15ABBC． 22

③当ACB90,CACB时,同理可得,SABC5． 2

综上所述,ABC的面积为1或

5． 223. 【答案】（1）证明见解析; （2）m,n不可能都为整数,理由见解析． 【小问1详解】 解:因为3mnbc,mn aa所以ba3mn,camn．

222则b12ac[a3mn]12amn

a29m26mnn212a2mn a29m26mnn2

a2(3mn)2．

因为a,m,n是实数,所以a(3mn)0

22所以b212ac为非负数． 【小问2详解】

m,n不可能都为整数．

理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数． ①当m,n都为奇数时,则3mn必为偶数． 又3mnb,所以ba3mn． a因为a为奇数,所以a3mn必为偶数,这与b为奇数矛盾． ②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数． 又因为mnc,所以camn． a因为a为奇数,所以amn必为偶数,这与c为奇数矛盾． 综上所述,m,n不可能都为整数． 24. 【答案】（1）2; （2）C; （3）见解析． 【小问1详解】 解:如图:

上述图形折叠后变成:

由折叠和题意可知,GHAEFB,AHDH ∵四边形EFNM是正方形 ∴EMEF,即AGEF

∴GHAGAEFBEF,即AH∵AHDH ∴

AB

ADAHDH2 ABAB∴

AD的值为:2． AB【小问2详解】

解:根据几何体的展开图可知,“吉”和“如”在对应面上,“祥”和“意”在对应面上,而对应面上的字中间相隔一个几何图形,且字体相反 ∴C选项符合题意 故选:C． 【小问3详解】 解:

型号卡纸型号 型号型号Ⅰ 1 Ⅱ 3 58 Ⅲ 2 需卡纸的数量（单位:张） 所用卡纸总费用（单位:元）根据（1）和题意可得:卡纸每格的边长为5cm,则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为:

∴型号Ⅲ卡纸,每张卡纸可制作10个正方体,如图:

型号Ⅱ卡纸,每张这样的卡纸可制作2个正方体,如图:

型号Ⅰ卡纸,每张这样的卡纸可制作1个正方体,如图:

∴可选择型号Ⅲ卡纸2张,型号Ⅱ卡纸3张,型号Ⅰ卡纸1张,则

102231127（个）

∴所用卡纸总费用为:

． 202533158（元）25. 【答案】（1）

1 2（2）证明见解析 （3）证明见解析 【小问1详解】

ABAC,且AB是O的直径 AC2AO．

BAC90

在RtAOC中,tanAOCAC2． AOAE． OEAEOC

在Rt△AOE中,tanAOCAE2 OEOE1 AE2【小问2详解】

过点B作BM∥AE,交EO延长线于点M．

BAEABM,AEOBMO90．

AOBO △AOE≌△BOM AEBM,OEOM．

OE1 AE2BM2OEEM MEBMBE45

AEBAEOMEB135,BEC180MEB135 AEBBEC． ABAC,BAC90

ABMCBE BAECBE △AEB∽△BEC．

【小问3详解】 如图,连接DE,DF．

AB是

O的直径

ADBAFB90,AB2AO．

ABAC,BAC90

BC2BD,DAB45．

由（2）知,△AEB∽△BEC

AEAB2AOAO,EAOEBD BEBC2BDBD△AOE∽△BDE BEDAEO90． DEF90． AFBDEF

AF∥DE．

由（2）知,AEB135

AEF180AEB45． DFBDAB45

DFBAEF AE∥FD

四边形AEDF是平行四边形

AD与EF互相平分．