数学
本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数a、b、c、d伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A. a 【答案】B 【解析】
B. b
C. c
D. d
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知，a>3，0 ∴b 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 2. 长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ） 1 A. 0.38×108 【答案】D 【解析】 B. 38×106 C. 38×108 D. 3.8×107 【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：a×10n，1≤a<10，n为整数的位数减1． 【详解】解：38000000=3.8×107， 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. a3−a2=a 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. a3与a2不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. a2⋅a=a3，故该选项正确，符合题意； C. a2 B. a2⋅a=a3 C. a2 ()3 =a5 D. a6÷a2=a3 ()3 =a6，故该选项不正确，不符合题意； D. a6÷a2=a4，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ） 2 A. 面① 【答案】C 【解析】 B. 面② C. 面⑤ D. 面⑥ 【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解． 【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键． 5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易证AOB≌A′OB′(SAS)，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为AA′、BB′的中点， ∴OA=OA′，OB=OB′， ∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等）， ∴在AOB与△A′OB′中， OA=OA′∠AOB=∠A′OB′， OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)， ∴AB=A′B′， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 3 6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即示．已彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC=25°）AC=32米） ，则彩旗绳AB的长度为（ ） A. 32sin25°米 B. 32cos25°米 C. 32sin25°米 D. 32cos25°米 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解：AC表示的是地面，BC表示是图书馆， ∴AC⊥BC， ∴ABC为直角三角形， ∴AB=ACcos25=32°cos25°（米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7. 如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ） A. AD=AE B. AD=DF C. DF=EF D. AF⊥DE 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得 =ADAE=,DFEF，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得 =ADAE=,DFEF，故A，C正确； �A,F在DE的垂直平分线上， �AF⊥DE，故D选项正确， 4 而DF=EF不一定成立，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=k(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为x半径作圆，当A与x轴相切、B与y轴相切时，连结AB，AB=32，则k的值为（ ） A. 3 B. 32 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点A,B分别作y,x轴的垂线，垂足分别为E,D，AE,BD交于点C，得出B的横坐标为1， A的纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k)，则AC=k−1,BC=k−1，根据AB=32，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C， 5 依题意，B的横坐标为1，A的纵坐标为1，设A(k,1)，B(1,k) �C(1,1)， 则AC=k−1,BC=k−1， 又�∠ACB=90°，AB=32， �(k−1)2+(k−1)2=(32)2 �k−1=3（负值已舍去） 解得：k=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分） 9. 分解因式：a2−1=____． 【答案】(a+1)(a−1)． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：a2−1(a+1)(a−1)． 故答案为：(a+1)(a−1) 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．10. 若关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 6 【答案】m<1 【解析】 【分析】根据根的判别式求出∆=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴∆=(−2)2−4×1×m=4−4m>0 解得：m<1， 故答案为：m<1． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，①当∆=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当∆=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当∆=b2−4ac<0时，方程没有实数根． 11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 【答案】(7.5−10x) 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为(7.5−10x)． 故答案为：(7.5−10x)． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 12. 如图，ABC和A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA:AA′=1:2，则ABC和A′B′C′的周长之比为__________． 【答案】1:3 7 【解析】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：OA:AA′=1:2， ∴OA:OA′=1:3， 设ABC周长为l1，设A′B′C′周长为l2， ABC和A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形， lOA1∴1==． l2OA′3∴l1:l2=1:3． ∴ABC和A′B′C′的周长之比为1:3． 故答案为：1:3． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 13. 如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为 1°108°，根据折叠的性质求得(5−2)×180=5∠BAM,∠FAB′,在VAFB′中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为 1°108°， (5−2)×180=5将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM， 则∠BAM=11∠BAE=×108°=54°， 22∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF， 8 11∠BAM=×54°=27°，∠AB′F=∠B=108°， 22′180°−∠B−∠FAB′180°−108°−27在VAFB′中，∠AFB===°45°， ∴∠FAB′=故答案为：45． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14. 2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面__________米． 【答案】19 【解析】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x=0求平移后的抛物线与y轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： A(−40,4)、B(40,4)、H(0,20)， =yax2+20， 设抛物线解析式为： =yax2+20， 将A(−40,4)代入解析式 解得：a=−1， 100x2∴y=−+20， 100x2 消防车同时后退10米，即抛物线y=−+20向左（右）平移10米， 100 9 x+10)(平移后的抛物线解析式为：y=−100令x=0，解得：y=19， 故答案为：19． 2+20， 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简．再求值：(a+1)2+a(1−a)，其中a=【答案】3a+1；3+1 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：(a+1)2+a(1−a) 3． 3=a2+2a+1+a−a2 =3a+1 当a=33时，原式=3×+1=3+1 33【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 10 【答案】【解析】 4 9【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种， 4， 94答：某同学获一等奖的概率为． 9则某同学获一等奖的概率为： 【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键． 17. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？ 【答案】原计划平均每天制作200个摆件． 【解析】 【分析】设原计划平均每天制作x个，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作x个，根据题意得， 11 30003000=+5 x1.5x解得：x=200 经检验，x=200是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作200个摆件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结AF、CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）己知BC=6cm，当四边形AFDC是菱形时．AD的长为__________cm． 【答案】（1）见解析； （2）18 【解析】 【分析】（1）由题意可知△ACB≌△DFE易得AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°即AC∥DF，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在Rt△ACB中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得 60°；由菱形得对角线平分对角得∠CDA==AB2=BC12cm，∠ABC=∠FDA=30°，再由三角形外 BD6cm，最后由AD角和易证∠BCD=∠CDA即可得BC===AB+BD求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知△ACB≌△DFE， ∴AC=DF，∠CAB=∠FDE=30°， \\AC∥DF， ∴四边形AFDC地平行四边形； 【小问2详解】 90°，∠CAB=如图，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，BC=6cm， 60°， ∴AB=2BC=12cm，∠ABC=四边形AFDC是菱形， ∴AD平分∠CDF， 12 ∴∠CDA=∠FDA=30°， ∠ABC=∠CDA+∠BCD， ∴∠BCD=∠ABC−∠CDA=60°−30°=30°， ∴∠BCD=∠CDA， ∴BC=BD=6cm， ∴AD=AB+BD=18cm， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 BMI= 体重（单位：kg） 22身高（位置：m） 60≈23.4． 1.602BMI例如：某人身高1.60m，体重60kg，则他的=中国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖； BMI≥28为肥胖． 某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI值并绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； 13 （2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数； （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，BMI值为27，他想通（结果精确到1kg） 过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg．【答案】（1）见解析 （2）110人 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进而补全统计图即可求解； （2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解； （3）设小张体重需要减掉xkg，根据BMI计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 抽取了7÷35%=20人， 属于偏胖的人数为：20−2−7−3=8， 补全统计图如图所示， 【小问2详解】 200×8+3=110（人） 20【小问3详解】 设小张体重需要减掉xkg， 依题意，27−x<24 1.702解得：x>8.67, 答：他的体重至少需要减掉9kg， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统 14 计图表获取信息是解题的关键． 20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC，点C在格点上． （1）在图①中，ABC的面积为 9； 2（2）在图②中，ABC的面积为5 （3）在图③中，ABC是面积为 5的钝角三角形． 2【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 SABC【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为h，依题意得=在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，AB=19=AB·h，解得h=3，即点C2232+12=10，以AB=10为底，设AB边上的高为h，依题意得 =SABC1=AB·h5，解得h=10，将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，2与网格格点的交点即为点C； （3）作BD=AB=【小问1详解】 解：如图所示， 以AB=3为底，设AB边上的高为h， 5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B、C即可． SABC依题意得：=解得：h=3 19=AB·h 22即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可， 15 答案不唯一； 【小问2详解】 由网格可知， AB=32+12=10 以AB=10为底，设AB边上的高为h， 依题意得：=S1ABC2=AB·h5 解得：h=10 将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，答案不唯一， 【小问3详解】 如图所示， 作BD=AB= 5，过点D作CD∥AB，交于格点C， 由网格可知， BDAB22+125，AD=10， �△ABD是直角三角形，且AB⊥BD ∵CD∥AB 16 =∴SABC15=AB·BD． 22【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； （2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． =y12x−180 【答案】（1） （2）180 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； y4x+60(25≤x≤60)，联立=y12x−180（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为=(15≤x≤40)，即可求解． 【小问1详解】 ykx+b，将(15,0)，(40,300)代入得， 解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为=015k+b= ， 40k+b=300 解得：k=12， b=−180=y12x−180(15≤x≤40)； ∴ 【小问2详解】 yk1x+b1(25≤x≤60) 设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为= 17 (60,300)代入得， 将点(25,160)，16025k1+b1= 30060k1+b1=k1=4， 解得：=b601y4x+60(25≤x≤60)； ∴=联立=y12x−180 =+y4x60x=30 解得：=y180∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 【感知】如图①，点A、B、P均在O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使 AE=PC，连结BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， ∴∠BAP+∠BCP=180°． ∠BAP+∠BAE=180°， ∴∠BCP=∠BAE． ABC是等边三角形． ∴BA=BC， ∴PBC≌EBA(SAS) 18 请你补全余下的证明过程． 90°，AB=BC，点P在O上，且点P与点B在【应用】如图③，O是ABC的外接圆，∠ABC= AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=22PA，则 【答案】感知：45；探究：见解析；应用：【解析】 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； PB的值为__________． PC22． 3探究：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，通过证明PBC≌EBA(SAS)，可推得PBE是等边三角形，进而得证； 应用：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，通过证明PBC≌EBA(SAS)得，可推得PBE是等腰直角三角形，结合PE=PA+PC与PE=【详解】感知： 2PB可得PC=3PA，代入 PB即可求解． PC45°， 由圆周角定理可得∠APB=∠AOB=故答案为：45； 探究： 证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， 12∴∠BAP+∠BCP=180°． ∠BAP+∠BAE=180°， ∴∠BCP=∠BAE． ABC是等边三角形． ∴BA=BC， ∴PBC≌EBA(SAS)， �PB=EB，∠PBC=∠EBA， ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴PBE是等边三角形， ∴PB=PE， ∴PB=PE=PA+AE=PA+PC， 即PB=PA+PC； 19 应用： 延长PA至点E，使AE=PC，连结BE， 四边形ABCP是O的内接四边形， ∴∠BAP+∠BCP=180°． ∠BAP+∠BAE=180°， ∴∠BCP=∠BAE． AB=CB， ∴PBC≌EBA(SAS)， ∴PB=EB，∠PBC=∠EBA， ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°， ∴PBE是等腰直角三角形， ∴PB2+BE2=PE2， ∴2PB2=PE2， 即PE=2PB， PE=PA+AE=PA+PC， ∴PA+PC=2PB， PB=22PA， ∴PA+PC=2×22PA=4PA， ∴PC=3PA， PB22PA22， ∴==PC3PA3故答案为：22． 3 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC≌EBA， 20 进行转换求解． 23. 如图①．在矩形ABCD==，AD5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿．AB390°，EQ交边AD或边DC于点Q，折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=（t>0） 连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． （1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________； （2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE； （3）当点P在边AD上运动时，PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； （4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）13 （2） 3 2179−35或t=或t=7 62（3）见解析 （4）0 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F,A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求 解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接BQ， 21 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAQ=∠ABE=90° ∵∠PEQ=90°， �四边形ABEQ是矩形， 当点P和点B重合时， ∴QE=AB=3，BE=2 在Rt△QBE中，BQBE2+QE232+2213，故答案为：13． 【小问2详解】 如图所示， �∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°， ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°， �∠1=∠3 ∴PBE∽ECD， � PEBEDE=CD， ∵BE=2，CD=AB=3， ∴tan∠PQE=PEDE=BE2CD=3； 【小问3详解】 22 如图所示，过点P作PH⊥BC于点H， �∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， �PH=AB=3 又�EC=BC−BE=5−2=3 ∴PH=EC， ∴PHE≌ECQ ∴PE=QE ∴PQE是等腰直角三角形； 【小问4详解】 ①如图所示，当点P在BE上时， �QE=QF=3,AQ=BE=2， 在Rt△AQF中，AFQF2−AQ232−225，则BF=3−5， �PE=t，则BP=2−t，PF=PE=t， 在RtPBF中，PF=2PB2+FB2， �t2=(3−5)2+(2−t)2 23 解得：t=9−35 2当t<9−35时，点F在矩形内部，符合题意， 2�0 2在Rt△PBE中，PE=PB2+BE2 (5−t)2=(t−2)+22， 17， 62解得：t=③当点P在AD上，当F,D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t=2+3+2=7 综上所述，0 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+2（b是常数）经过点(2,2)．点A的坐标为(m,0)，点B在该抛物线上，横坐标为1−m．其中m<0． 24 （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点B在x轴上时，求点A的坐标； （3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2−m时，求m的值． （4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连结AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物，设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点） D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的 一半时，直接写出所有满足条件的m的值． −x2+2x+2；顶点坐标为(1,3) 【答案】（1）y=（2）A−3,0 （3）m=−1或m=−2或m=()5+121−1 或m=221（4）m=−2+2或m=2−23或m=−2 【解析】 【分析】（1）将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当y=0时，−x2+2x+2=0，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1−m．其中m<0，得出m=−3，即可求解； （3）①如图所示，当1<1−m<1+3，即−3 （4）根据B在x轴的上方，得出−3 【小问1详解】 解：将点(2,2)代入抛物线y=−x2+bx+2，得， 2=−4+2b+2 解得：b=2 ∴抛物线解析式为y=−x2+2x+2； ∵y=−x2+2x+2=−(x−1)2+3， ∴顶点坐标为(1,3)， 【小问2详解】 解：由y=−x2+2x+2， 当y=0时，−x2+2x+2=0， 解得：x1=1−3,x2=1+3， ∵抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1−m．其中m<0． ∴1−m>1 ∴1−m=1+3 解得：m=−3， ∵点A的坐标为(m,0)， ∴A(−3,0)； 【小问3详解】 ①如图所示，当1<1−m<1+3，即−3 ∵顶点坐标为(1,3)，P(1−3,0) 则纵坐标之差为3−0=3 依题意，3=2−m 解得：m=−1； ②当1−m≥1+3，即m≤−3时， ∵B(1−m,−(1−m)2+2(1−m)+2)，即B(1−m,−m2+3)，依题意，3−(−m2+3)=2−m， 解得：m=−2或m=1（舍去）， ③当1−3<1−m<1，即0 27 解得：m=5+12或m=1−52（舍去）， ④当1−m≤1−3，即m≥3， 则0−(−m2+3)=2−m， 解得：m=−21−121−12（舍去）或m=2， 综上所述，m=−1或m=−2或m=5+12或m=21−12；【小问4详解】 解：如图所示， ∵B在x轴的上方， ∴1−3<1−m<1+3 28 ∴−3 SBCD+SCOD SAOC+SBOC,S=∵S=BOCAOBC ①当E是AC的中点，如图所示 则SAOBC=2SCEOD， m−m2+3−x2+2x+2， ∴E,代入y=22−m2+3mm即=−+2×+2， 222解得：m=−2−2（舍去）或m=−2+2； ②同理当F为AO的中点时，如图所示，SACF=SCFO，SBCD=SCOD，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半， 2 29 ∴ m=1−3， 2解得：m=2−23， ③如图所示， 设SBOC=S，则SDBC=1S， 2∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D 1S+SCDF=SFDB+SAOC 211即S+SCDF=S−SCDF+SAOC 221∴SAOC=SCDF， 2∴ ∴CF=AO， ∴F−m,−m+3， ∵B,F关于x=1对称， ∴ (2)−m+1−m=1， 21解得：m=−， 21综上所述，m=−2+2或m=2−23或m=−2． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 30 31
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