2018-2019学年江西省南昌二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）在下列实数中：﹣5、A．﹣5
B．
、2、0，最大的数是（ ）
C．2
D．0
2．（3分）澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底深处，发现了一种世界上最小的神秘生物，这种比细菌还要小的生物，身体非常小，计算单位要用0.000000001米．将数字0.000000001用科学记数法表示应为（ ） A．10×10
﹣10
B．1×10
﹣9
C．0.1×10
﹣8
D．1×10
﹣10
3．（3分）如图是由一些相同的小立方体组成的几何体的三视图，小立方体的个数是（ ）
A．7个
B．6个
C．5个
D．4个
4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a+2a＝3a C．2a•3a＝6a
2
3
6
3
3
6
B．2a﹣a＝a
D．2ab÷（﹣2ab）＝﹣b
6
2
4
32
5．（3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2
B．
2
C． D．1
6．（3分）关于抛物线y＝x﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ） A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
第1页（共20页）
C．抛物线与x轴无公共点 D．不论a为何值，都过定点
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．（3分）计算：﹣1﹣3＝ ．
8．（3分）如图，AB、CD是互相垂直的小路，它们用BE、EF、FC连接，则∠ABE+∠BEF+∠EFC+∠FCD＝ 度．
9．（3分）《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步．现不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，则要走多少步才能追上（两人步长相等）？设善于走路的人走x步可追上，则可列方程为 ．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AE＝BE＝3，BF＝2，平移线段EF，使E，F两点同时落在正方形的边上，则平移的距离为 ．
11．（3分）已知实数a，b满足a﹣a﹣6＝0，b﹣b﹣6＝0（a≠b），则a+b＝ ． 12．（3分）△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，∠B＝90°，点D在AB上，BD＝AP＝2PD时，PD的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
，点P在△ABC的边上，则当
2
2
13．（6分）（1）化简：；
（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；
第2页（共20页）
③过C作CF∥AB交PQ于点F．求证：△AED≌△CFD．
14．（6分）解不等式组：
．
15．（6分）某校举行数学竞赛，对获一等奖的学生奖励数学家的著作《好玩的数学》，对获二等奖的学生奖励创意学生笔记本，若网购《好玩的数学》14元/本，创意学生笔记本12元/本，若《好玩的数学》数量比创意学生笔记本的数量的一半多5本，买两种奖品共用了1020元，购买两种奖品的数量各是多少本？
16．（6分）某市中考必须在历史、地理、生物三门学科（分别用L、D、S表示）中随机抽考一门进行升学考试． （1）用列举法写出连续两年抽考的情况；
（2）求连续两年抽到相同学科进行升学考试的概率．
17．（6分）如图，点A、B、C是4×4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，在AC上找一点M，使S△BCM＝S△ABC；
第3页（共20页）
（2）在图2中，在△ABC内部（不含边界）找一点N，使S△BCN＝S△ABC． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB的一条直角边OA在x轴的正半轴上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，且∠BAO＝90°，S△AOB＝2． （1）求k的值及点A的坐标；
（2）△OAB沿直线OB平移，当点A恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A'的坐标．
19．（8分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题： 收集数据
（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 ．（只要填写序号即可）
①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生． 整理数据
（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为 、 ； ②估计全年级A、B类学生大约一共有 名． 成绩（单位：分） 频数 A类（80～100） B类（60～79） 频率 0.5 0.25 第4页（共20页）
C类（40～59） D类（0～39） 分析数据
16 8 （3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校 第一中学 第二中学 平均数（分） 71 71 极差（分） 52 80 方差 432 497 A、B类的频率和 0.75 0.82 你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．
20．（8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形．若显示屏AO与键盘BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO，此时点P为最佳视角，点C在OB的延长线上，PC⊥BC，BC＝12cm． （1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）当∠AOC＝120°时，点P在（1）中线段PC长是增大还是减小？请通过计算说明，并求出变化的值（结果精确到0.1cm，参考数据：
≈1.414，
≈1.732）．
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AE是弦，OG⊥AE与点G，交⊙O于点D，连结BD交AE于点F，延长AE至点C，连结BC．
第5页（共20页）
（1）当BC＝FC时，证明：BC是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径r＝5，当tanA＝，求GF的长．
22．（9分）如图，已知二次函数L1：y＝ax+2ax+a﹣2（a＞0）和二次函数
L2：y＝﹣a（x﹣2）+2（a＞0）图象的顶点分别为M、N，与x轴分别相交于A、B两点 （点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边），
（1）函数y＝ax+2ax+a﹣2（a＞0）的顶点坐标为 ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，x的取值范围是 ；
（2）当AD＝MN时，求a的值，并判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）； （3）当B，C是线段AD的三等分点时，求a的值．
2
2
2
六、（本大题1小题，12分）
23．（12分）我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”． 概念理解
（1）下列四边形中属于邻对等四边形的有 （只填序号）； ①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形； ②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形； ③顺次连接矩形各边中点所得的四边形； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形； 性质探究
第6页（共20页）
（2）如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB＞CD， 求证：∠BAC与∠CDB互补； 拓展应用
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4．在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．
第7页（共20页）
2018-2019学年江西省南昌二中九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．【解答】解：∵﹣5＜0＜2＜∴﹣5、故选：B．
2．【解答】解：0.000000001＝1×10． 故选：B．
3．【解答】解：俯视图图中有4个正方形，那么最底层有4个正方体， 由主视图可得第二层最多有2个正方体， 由左视图可得第二层只有1个正方体， 所以共有5个正方体， 故选：C．
4．【解答】解：A、a+2a＝3a，故本选项错误； B、2a与a不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、2a•3a＝6a，故本选项错误；
D、2ab÷（﹣2ab）＝﹣b，故本选项正确； 故选：D．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB＝AB＝2，BM＝1， 则在Rt△BMF中， FM＝故选：B．
6．【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确； 当x＝2时，y＝x﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
2
6
2
4
2
3
5
3
2
3
3
3
﹣9
，
．
、2、0，最大的数是
，
第8页（共20页）
∵△＝[﹣（a+1）]﹣4（a﹣2）＝a﹣2a+9＝（a﹣1）+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1+a﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确． 故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．【解答】解：﹣1﹣3 ＝﹣1+（﹣3） ＝﹣（1+3） ＝﹣4． 故答案为：﹣4．
8．【解答】解：过点A作AB的垂线，过点D作CD的垂线，两线相交于点Q，则 ∠BAQ＝∠CDQ＝90°， ∵CD⊥AB，QA⊥AB， ∴CD∥QA，
∴∠AQD＝180°﹣∠CDQ＝90°，
∵七边形ABEFCDQ的内角和为：（7﹣2）•180°＝900°， ∴∠ABE+∠BEF+∠EFC+∠FCD＝900°﹣90°×3＝630°． 故答案为：630．
222
9．【解答】解：设善于走路的人走x步可追上，则不善于走路的人走了（x﹣100）步， 依题意，得：故答案为：
＝＝
． ．
10．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
第9页（共20页）
∴AD＝AB＝AE+BE＝6， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵E′F′是EF平移得到的， ∴EF＝E′F′，EF＝E′F′， ∴四边形EFF′E′是平行四边形， ∴∠EFF′+∠FF′E′＝180°，
∴∠DF′E′+∠FF′C+′BFE+∠EFB＝180°， ∵∠CFF′+∠CF′F＝90°， ∴∠E′F′D+∠EFB＝90°， ∵∠BEF+∠EFB＝90°， ∴∠BEF＝∠E′F′D，
在△BEF与△DF′E′中，，
∴△BEF≌△DF′E′（AAS）， ∴DE′＝BF＝2， ∴AE′＝AD﹣DE′＝4， ∴EE′＝
∴平移的距离为5； 故答案为：5．
＝5，
11．【解答】解：∵a﹣a﹣6＝0，b﹣b﹣6＝0（a≠b）， ∴a、b是一元二次方程x﹣x﹣6＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝1； 故答案为：1．
第10页（共20页）
2
2
2
12．【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝8，∠A＝30°， ∴BC＝AC＝4，AB＝
＝
＝4
，
①当点P在AC边上时，如图1所示： ∵∠A＝30°，AP＝2PD， ∴PD⊥AB于D， ∴PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴即：
＝＝
，
，
∴PD＝3；
②当点P在BC边上时，如图2所示： ∵∠B＝90°，
∴PD﹣BD＝PA﹣AB＝PB， ∴PA﹣AB＝PD﹣BD， ∴（2PD）﹣（4∴PD＝
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
）＝PD﹣（
22
），
2
③当点P在AB边上时，如图3所示： ∵AD＝AB﹣BD＝4∴PD＝
，
或
，
﹣
＝3
＝AP+PD，AP＝2DP，
综上所述，PD的值为3或故答案为：3或
或
．
第11页（共20页）
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．【解答】（1）解：原式＝
（2）证明：由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED， 在△AED与△CFD中，
＝
．
，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
14．【解答】解：原不等式组为，
解不等式①，得x＜6， 解不等式②，得x≥2， ∴2≤x＜6．
15．【解答】解：设购买《好玩的数学》书x本，创意学生笔记本y本，
依题意，得：，
第12页（共20页）
解得：．
答：购买《好玩的数学》书30本，创意学生笔记本50本． 16．【解答】解：（1）方法一：画树形（状）图如下：
所有可能的结果：L、L，L、D，L、S；D、L，D、D，D、S；S、L，S、D，S、S；
（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况； 其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是L、L，D、D，S、S． ∴P（连续两年抽到相同学科）＝；
方法二：列表格如下：
L D S L L、L L、D L、S D D、L D、D D、S S S、L S、D S、S 所有可能的结果：L、L，L、D，L、S；D、L，D、D，D、S；S、L，S、D，S、S；
（2）由（1）可知，从历史、地理、生物三门学科中连续两年随机抽考，共有9种不同的情况； 其中连续两年抽考相同学科的有3种，分别是L、L，D、D，S、S． ∴P（连续两年抽到相同学科）＝． 17．【解答】解：（1）在图1中，点M即为所求；
（2）在图2中，点N即为所求．
第13页（共20页）
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．【解答】解：（1）∵S△AOB＝2，点B在双曲线上， ∴k＝2S△AOB＝2×2＝4，
∵△OAB是等腰直角三角形，且∠BAO＝90°， ∴
∴OA＝AB＝2， ∴A（2，0）；
（2）∵△OAB沿直线OB平移， ∴AA′∥OB，设AA′与y轴交于点E， ∴由AB＝2可得OE＝2， ∴y＝x﹣2，
解方程组得或
∴平移后的点A′的坐标为（，﹣1）或（﹣+1，﹣﹣1）．
19．【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③， 故答案为：②、③；
第14页（共20页）
（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；
②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名． 故答案为：60°，30°，432；
（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．
第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．
20．【解答】解：（1）当PA＝45 cm时，连接PO， ∵D为AO的中点，当PD⊥AO， ∴PO＝45 cm．
∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°， ∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝
（2）当∠AOC＝120°时，过点D作DE⊥OC交BO的延长线于E，过点D作DF⊥PC，垂足为F， ∴四边形DECF是矩形， 在Rt△DOE中，
∵∠AOE＝60°，DO＝AO＝12， ∴DE＝DOsin60°＝12×∴FC＝DE＝6
＝6
，EO＝DO＝6，
＝27cm；
，DF＝EC＝EO+BO+BC＝6+24+12＝42，
在Rt△PDF中， ∵∠PDF＝30°， ∴PF＝DFtan30°＝42×∴PC＝PF+FC＝14
+6
＝14＝20
，
≈34.＞27．
故线段PC长是增大了．
第15页（共20页）
五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21．【解答】（1）证明：∵OD⊥AE， ∴∠ODB+∠GFD＝90°， ∵BC＝FC，
∴∠BFC＝∠FBC＝∠GFD， ∴∠ODB+∠FBC＝90°， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠OBD+∠FBC＝90°， ∴CB⊥AB， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵⊙O半径为5，tanA＝， ∴sinA＝，cosA＝，
∴在Rt△AOG中，OG＝OA•sinA＝5×＝3，AG＝OA•cosA＝5×＝4＝GE， ∴GD＝5﹣3＝2， ∵OG⊥AE， ∴AG＝GE，
第16页（共20页）
∴OG是△ABE的中位线， ∴BE＝2OG＝6，BE∥OG， ∴∠D＝∠FBE，∠BEF＝∠FGD， ∴△FGD∽△FEB， ∴∴
＝＝
， ，
解得：GF＝1．
22．【解答】解：（1）∵y＝ax+2ax+a﹣2（a＞0） ∴y＝a（x+1）﹣2，
∴顶点坐标为M（﹣1，﹣2）． ∵M（﹣1，﹣2），N（2，2），
∴当x＞﹣1时，L1 的y值随着x的增大而增大，当x＜2时，L2的y值随着x的增大而增大． ∴x的取值范围是﹣1＜x＜2． 故答案是：（﹣1，﹣2），﹣1＜x＜2．
（2）如图1，
2
2
MN＝
＝
2
＝5，
，xB＝﹣1+
，
．
当y＝0时，即a（x+1）﹣2＝0，解得xA＝﹣1﹣当y＝0时，即﹣a（x﹣2）+2＝0，xC＝2﹣∴AD＝（2+
）﹣（﹣1﹣
）＝3+2
．
2
，xD＝2+
第17页（共20页）
当AD＝MN时，即3+2＝5，解得a＝2．
此时，四边形AMDN是矩形．
（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：
①点C在点B的左边，如图2，BC＝（﹣1+即﹣3+2
＝3，解得a＝．
）﹣（﹣1+
）＝3﹣2
，AB＝CD＝2
，
）﹣（2﹣
）＝﹣3+2
，AC＝BD＝3，
②点B在点C的左边，如图3，CB＝（2﹣即2
＝3﹣2
．
，
解得a＝
六、（本大题1小题，12分）
23．【解答】解：（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，不是邻对等四边形； ②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，不是邻对等四边形； ③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，邻边相等，不是邻对等四边形；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，满足一组邻角相等且对角线相等，是邻对等四边形； 故答案为：④；
（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE＝BA，连接BE，如图1， 在△ABC与△ECB中，
，
∴△ABC≌△ECB（SAS）．
第18页（共20页）
∴BE＝CA，∠BAC＝∠E． ∵AC＝DB， ∴BD＝BE． ∴∠BDE＝∠E．
∴∠CDB+∠BDE＝∠CDB+∠E＝∠BAC+∠CDB＝180°． 即∠BAC与∠CDB互补．
（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形， 如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE＝4， 连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形． 理由如下： 连接AE，BD， ∵CE＝C4， ∴∠CDE＝∠CED．
∵∠BCD＝2∠B＝∠CDE+∠CED， ∴∠ABC＝∠CED， ∵AC＝BC ∴∠ABC＝∠BAC ∴∠DCE＝∠ACB ∴∠ACE＝∠BCD． 在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴BD＝AE，即四边形ABED为邻对等四边形． ∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC． ∴
，
第19页（共20页）
∴DE＝．
第20页（共20页）
