泰州市2020—2021学年高二下期末联考数学试卷含答案

答案

高二数学（文科）试题

(考试时刻：120分钟 总分：160分)

命题人：张圣官 吴春胜 审核人：杨鹤云 唐咸胜

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

1n1n2（参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s(xix)，其中xxi．）

ni1ni12一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合A1,0,1，B0,1,2，则AB ▲． 2．函数f(x)1x2的定义域为 ▲． 3．命题“xR，x21”的否定是 ▲．

4．已知幂函数f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)的值是 ▲．

5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编 号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号）， 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号 码为 ▲．

6．依照如图所示的伪代码，可知输出的S的值是 ▲．

7．已知某学生预备利用暑假时刻到北京研学旅行，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲．

8．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，

若f(2)f(0)f(3)2，则f(2)f(3)的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm），所得数据均在区间

S0 i1 While i5 SSi2 ii2 End While Print S （第6题） [155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估量该校高二年级身高在180 cm以上的男生人数为 ▲．

10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C，29 C，25 C，25 C，（单位：(C)2） 28 C，那么这5天最高气温的方差为 ▲．11．已知定义在R上的函数f(x)x32x1，若方程f(x)ax10恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a组成的集合为 ▲．

4131a2xxax, x1,32312．已知a0，函数f(x)若f(x)在区间(a,2a)上单调递

12(a1)lnxxax, x1,2增，则实数a的取值范畴是 ▲．

二、解答题（本大题共8小题，共100分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）

已知集合Ax 1x3，Bx x11. （1）求A（2）若A

14．（本小题满分12分）

一根直木棍长为6 m，现将其锯为2段．

（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m的概率； （2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m的概率．

15．（本小题满分12分）

B；

B是集合xxa的子集，求实数a的取值范畴．

已知p:1x1， q:aexb，其中a，b为实数． （1）若p是q的充要条件，求ab的值；

（2）若a1，be2，且p，q中恰有一个为真命题，求实数x的范畴．

16．（本小题满分12分） （1）求lg4lg50lg2的值；

（2）若实数a，b满足1log2a2log3blog6(ab)，求

17．（本小题满分12分）

已知1是函数f(x)ax33x的一个极值点，其中a为实数． （1）求实数a的值；

（2）求函数f(x)在区间[2,2]上的最大值．

18．（本小题满分12分）

某公司科技小组研发一个新项目，估量能获得许多于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y（单位：万元）和投资收益x（单位：万元）近似满足函数yf(x)，奖励方案满足如下两个标准：①f(x)为单调递增函数，②0f(x)kx，其中k0．

11

的值． ab

（1）若k1，试判定函数f(x)x是否符合奖励方案，并说明理由； 2（2）若函数f(x)lnx符合奖励方案，求实数k的最小值．

19.（本题满分14分）

已知函数f(x)x2ax，xR，其中a0． （1）若函数f(x)在R上的最小值是1，求实数a的值；

（2）若存在两个不同的点(m,n)，(n,m)同时在曲线f(x)上，求实数a的取值范畴．

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)exalnxb，x0，其中a0，bR． （1）若ab1，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）证明：存在唯独的正实数x0，使函数f(x)在x0处取得极小值；

（3）若ab0，且函数f(x)有2个互不相同的零点，求实数a的取值范畴．

2021～2021学年度第二学期期末考试

高二数学（文科）答案

一、填空题

1．1,0,1,2 2．[1,1] 3．xR，x21 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2 9．30 10．

14 510511．1, 12．(0,]

94二、解答题（本大题共6小题，共90分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

13．解：（1）∵B{x x11 }，

∴B{x x2 }， …………3分 ∵A{x 1x3 }， ∴AB{x 2x3 }． …………7分

B{x 2x3 }，

（2）由（１）得：A∴集合{x 2x3 }是集合xxa的子集，

∴a2． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，

∴两段木棍的长度分别为1 m和5 m，2 m和4 m，3 m和3 m，4 m和2 m，5 m和1 m，共计5种可能的情形， …………2分 其中恰有一段长度为2 m的情形共计2种， …………4分 记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m”为事件A， ∴P(A)2， …………6分 52． …………7分 5答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m的概率为（2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m”为事件B， ∴P(B)21， …………11分 631答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m的概率为． …………12分

315．解：（1）∵p:1x1，且p是q的充要条件，

∴q等价于e1exe1， …………3分 ∴ae1，be1，

∴ab1． …………6分 （2）由题意得q:1exe2，即q:0x2，

∵p，q中恰有一个为真命题， …………7分 当p真，q假时，

1x1, ∴ 即1x0， …………9分

x0或x2,当p假，q真时，

x1或x1, ∴即1x2， …………11分

0x2, 综上所述：实数x的范畴为[1,0)(1,2]． …………12分

16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22， …………6分 （2）设1log2a2log3blog6(ab)k， ∴a2k1,b3k2,ab6k，

11ab6k∴k1k218． …………12分 abab2317．解：（1）∵f(x)ax33x，

∴f(x)3ax23， …………2分 ∵1是函数f(x)ax33x的一个极值点，

∴f(1)0， …………3分 ∴3a30，

∴a1， …………5分 当a1时，f(x)3x233(x1)(x1)，满足题意． …………6分 （2）由（1）得：f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，

∴x11，x21， …………8分

x 2 (2,1) f(2)  1 0 (1,1)  1 0 (1,2)  2 f(2) f(x) f(x) 增 极大值 减 极小值 增 …………10分

∵f(1)2，f(2)2，

∴f(x)在区间[2,2]上的最大值是2． …………12分

18．解：（1）∵f(x)x， ∴f(x)12x0，

∴函数f(x)x是区间[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分 当x[1,4)时，f(x)x1xx1x，不满足标准②， 2综上所述：f(x)x不符合奖励方案． …………4分 （2）∵函数f(x)lnx符合奖励标准， ∴f(x)kx，即lnxkx， ∴klnxx， ∴设g(x)lnxx，x[1,5]， ∴g(x)1lnxx2， 令g(x)0，∴xe，

x (1,e) e (e,5) g(x)  0 _ g(x) 增 极大值 减 ∴g(x)lnxx的极大值是g(e)1e，且为最大值， ∴k1e， 又∵函数f(x)lnx，x[1,5]， ∴f(x)1x0，∴函数f(x)在区间[1,5]上单调递增，满足标准①，∵x[1,5]，∴f(x)lnx0，

综上所述：实数k的最小值是1e． 2aa219．解：（1）∵f(x)xax(x2)4，xR，

∴当xa2时，f(x)a2min41， ∵a0，∴a2． （2）∵(m,n)，(n,m)同时在函数f(x)的图象上，

…………6分 …………8分

…………10分 …………12分

…………2分

…………4分 m2amn,∴2 …………6分 nanm,∴(m2n2)a(mn)nm， …………7分 ∵mn，

∴mna1，且ma1， 2∴na1m， …………9分 ∴m2ama1m，

∴方程m2(1a)m1a0有解，m∴(1a)24(1a)0，且(a1， …………11分 2a12a1)(1a)()1a0 22∴1a4或1a0，且a3,1， …………13分 ∵a0，

∴a1． …………14分 （注：若没有考虑ma1，得到a1，扣2分） 220．解：∵f(x)exalnxb， ∴f(x)exa， x（1）∵ab1，

∴f(x)exlnx1，f(x)ex1， …………2分 x∴切点为(1,f(1))，即(1,e1)，切线的斜率为f(1)，即切线的斜率为e1， ∴函数f(x)在x1处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，

即y(e1)x2． …………4分 （2）令f(x)0，得xexa0， 设h(x)xexa，x0，

∴h(x)(x1)ex0，∴h(x)在区间(0,)上单调递增， ∵h(0)a0，h(a)a(ea1)0，

∴h(0)h(a)0，且h(x)在区间(0,)上的图象不间断，

∴存在唯独的x0(0,a)，使h(x0)0， …………6分 ∴存在

f(x) f(x) x (0,x0)  x0 (x0,)  0 减 极小 增 唯独的x0(0,)，使函数f(x)在

xx0处取得极小值． …………8分

axexa（3）∵ab0，∴f(x)ealnxa，x0， ∴f(x)e，

xxxx由（2）可得：函数f(x)的极小值为f(x0)，且x0ex0a0， ∴f(x0)ex0alnx0aex0(1x0lnx0x0)， 设r(x)1xlnxx，x0，∴r(x)lnx2，

∴当0xe2时，r(x)0，当xe2时，r(x)0， …………10分 由（2）可得：函数h(x)xexa在区间(0,)上单调递增， （ⅰ）当0ae时，

∵ax0ex0e，∴h(x0)h(1)，∴0x01， ∴f(x0)ex0[(1x0)(x0lnx0)]0，

∴当x0，f(x)0，无零点， …………12分 （ⅱ）当ae时，

∵ax0ex0e，∴h(x0)h(1)，∴x01， ∵r(x)1xlnxx在区间(1,)上单调递减， ∴r(x0)r(1)0， ∴f(x0)ex0r(x0)0，

11111a∵f()ealnaeaa(lna1)0，其中0x0，

aaa1∴f()f(x0)0，且函数f(x)在区间上(0,x0)单调递减，图象不间断，

a∴f(x)在区间上(0,x0)上有唯独的零点，

又∵f(a)eaalnaa，ae，

设t(a)eaalnaa，ae，∴t(a)ealna2， ∵(ealna2)ea11aee0，∴t(a)elna2在区间(e,)上单调递增， ae∴t(a)t(e)ee30，∴t(a)eaalnaa在区间(e,)上单调递增， ∴t(a)t(e)ee2e0，即f(a)0， 又∵ax0ex0x0，

∵f(x0)f(a)0，且函数f(x)在区间上(x0,)单调递增，图象不间断， ∴f(x)在区间上(x0,)上有唯独的零点，

综上所述：函数f(x)有2个互不相同的零点时，实数a的取值范畴为(e,)．……16分