第２９卷第１期 兰州交通大学学报 Ｖ０１．２９ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０１０ ２０１０年２月 文章编号：１００１－４３７３（２０１０）０１－０１０３—０３ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ 初始载荷对悬臂梁变形影响的解析解 杨治国， 张家玮 （兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州７３００７０） 摘要：给出了初始栽荷对悬臂梁挠度影响的闭合解．引入了初始载荷影响系数，讨论了初始载荷的大小、梁的惯 性矩、跨度诸因素对初始栽荷影响系数的影响．结果表明：初始载荷的存在会使悬臂梁在后续栽荷作用下的挠度减 小，其程度与初始裁荷的大小及梁的刚度有关．初始栽荷的这种非线性影响，应该在轻柔结构的设计中予以考虑． 关键词：闭合解；初始载荷；后续载荷；挠度；初始载荷影响系数 中图分类号：ＴＵ３１ 文献标志码：Ａ ０引言 般而言，工程结构和构件可以看成是在恒定 初始载荷和附加可变载荷的联合作用下工作［１一．当 一１基本公式 图ｌ为推导基本公式时选用的坐标系以及梁的 受力和变形情况．云是初始载荷 引起的梁的挠度； 是后续载荷 产生的挠度．分析时以梁的初始载 荷变形状态作为参考状态， 以此参考状态计起． ｐ 结构承受后续载荷时，将从初始载荷产生的参考状 态开始发生弯曲变形，在后续的弯曲变形中包含有 保守初始弯曲应力的影响．初始载荷的弯曲应力会 产生加劲效应，使结构在后续载荷作用下的内力和 变形减小．需要说明的是本文所考虑的这部分初始 载荷应力影响并非是由中面张力引起的加劲效应， 而是由初始载荷弯曲应力造成的． 潘家英等Ｄ－４３在研究斜拉桥的活载非线性效应 时，考虑了恒载轴向应力对梁（柱）弯曲刚度的影响， 但没有考虑弯曲应力的影响．Ｔａｋａｂａｔａｋｅ（１９９０）［５］ 首次考虑了初始恒载对简支梁的静力效应，应用 Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理导出了考虑初始恒载影响的简支梁 静力控制微分方程，并通过Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法研究了初 始恒载对简支梁活载挠度的影响． 图１ 坐标系与荷载分布 Ｆ １ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｌｏａｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ 考虑初始载荷非线性影响时，梁的静力控制方 程为［ ＥＩｖ，，，一 ［（ －］ 一 边界条件是： ｒ ＝０， ＝＝＝Ｏ， ：＝：０； （１） 本文在Ｔａｋａｂａｔａｋｅ研究的基础上给出了初始 载荷对悬臂梁挠度影响的闭合解，引入了初始载荷 影响系数，并对影响初始载荷影响系数的因素，即初 始载荷的大小和梁的惯性矩、跨度进行了讨论，得出 了考虑初始载荷非线性影响时，结构在后续载荷作 用下挠度的变化规律．计算结果表明：初始载荷对结 构的变形会产生非线性影响，这种影响在轻柔结构 中不可忽视． （２ａ） １＿，＝０，日 一ＴＥＡ（ 一０， —Ｌ． （２ｂ） 静力控制方程式（１）可以写成： 一亩一 Ｒ，Ｐ一为常数 刀吊烈 一 一（３） 其中： 收稿日期：２００９—０１—０６ 作者简介：杨治国（１９７７－），男，甘肃白银人，讲师． 兰州交通大学学报 第２９卷 Ｒ一一 １［２ ，厂 ＋（０ ） ］ 式中：ｒ为截面的惯性半径． （４） 式（３）是一个线性方程，为易于求解，假设式 （４）Ｒ表达式中的 为 （ｚ）一 。（ｚ） （５） ｆ（ｘ 一 （芒）。一亮（ ）。＋去（芒） 一 （ ） ＋ １．Ｔ）６－ １ Ｉ Ｘ） ＋ 去丽（芒） （１４ｄ） ２ 初始载荷影响系数及其影响因素 初始载荷对梁后续载荷挠度影响的最大值发生 在后续载荷挠度取得最大值处，这里用初始载荷影 式中：１０（ｚ）为不考虑初始载荷影响时，梁在后续载荷 作用下的挠度； 为考虑初始载荷影响时，后续载荷作 用下梁挠度的初始载荷影响系数．从文献［５］中得知： Ｊ９随 ／ 而变化（从１．０到０．８５），这里认为它是一个 已知量．将式（４，５）代人式（３）中，可以得到： 一￣Ｅ／（１一 ） （６） 其中， 可以写成： 一一Ｅ Ｉ Ａ２ ＿ － 。＋（ ）。＿，，０］ （７） 初始载荷作用下的挠度 为 云一ｚ４ Ｌ６（ ）。一４（ ）。＋（芒） ］（８ 用后续载荷 代替式（８）中的初始载荷五可以 得到 。（ ）．因此， 可以写成： 一 （９） 其中， 可写为 志一 １８ Ｒ＼｛ｐＬ３Ａ￣。 （１０） Ｅ，／式中：柔度 ＝＝＝Ｌ／ｒ． 五为 五一（一 ＋詈）。（ ） ３—３芒＋（ ）。］。 （１１） 对式（６）进行积分可得： 一Ｃ１＋Ｃ２ ＋Ｇｚ。＋Ｃ４ ＋ 刍删（１一 ）ｄｘｄｘｄｘｄｘ （１２） Ｃ１～Ｃ４是与梁两端约束条件有关的常数，悬臂梁的 可表述为 一Ｃ１＋Ｃ２Ｘ＋Ｃａｘ。＋Ｃ４ｚ。＋ ［ 一皇厂（ｚ）］ （１３） 其中： Ｃ１一Ｃ２—０ （１４ａ） Ｃ３一 （ １一 志）（１４ｂ） Ｃ４一一美 （９一是）（１４ｃ） 响系数卢一 ／ 一表示考虑和不考虑初始载荷影 响时后续载荷挠度的比值．其中， 表示考虑初始 载荷影响时梁在后续载荷作用下的最大挠度，＿０一 表示不考虑初始载荷影响时梁在后续载荷作用下的 最大挠度． 悬臂梁的最大挠度发生在ｚ—Ｌ处， ｒ ４ １ ＝＝＝告（告～０．００９ ５２３ ８１ｋ） （１５） 卢一＂Ｏｍａｘ．一１—０．０７６ １９０ ５ｋ （】６） ＯｗＩｘ 将式（１０）中 代人式（１６），可得： １ 卢一 ０ ０７———６ １１９ ０ 西（１７） ．． ５， 。 、 十—— 一Ｉ ｒ／ 下面就与悬臂梁初始载荷影响系数ｐ有关的几 个因素进行分析． 采用下面的参数进行分析： Ｅ一２１０ ＧＰａ，Ｊ一口Ｊ Ｘ ｊ０，Ｌ＝口Ｌ×Ｌｏ，其中， ，０—６．１２×１ ｍ４， ＝＝：７ １ＴＩ，ｒ一０．０８３ ｍ， 一 ８４．３， 一５ ｋＮ／ｍ． 考察悬臂梁在初始载荷、惯性矩、跨度变化时， 初始载荷影响系数ｐ的相应变化．在图形表达中，采 用无量纲坐标，竖轴表示初始载荷影响系数 ，横轴 表示后续载荷 与初始载荷 的比值 ／ ． １）初始载荷大小对 的影响．图２中，当ｉ，／ｉ，一 ０．４，０．５，１．０，５时，悬臂梁的卢值较不考虑初始载荷非 线性影响时分别减小５５．６６ ，４４．５５ ，１６．７３ ， ０．８Ｏ ．因此，可以看出：考虑初始载荷非线性影响 时，初始载荷 越小（即 越大），梁后续载荷挠度 减小的越少，说明结构越轻，后续载荷作用下的 挠度越大，即考虑初始载荷非线性影响时，由于初始 恒载大小的不同，在同样的后续载荷作用下，轻型结 构产生的挠度要比重型结构大，而且结构越轻，挠度 越大． ２）惯性矩对 的影响．图３中，当Ｆ／ｂ一０．４时， ０．５Ｉｏ的悬臂梁要比１．０Ｉｏ的悬臂梁卢值小６２．５４ ， １．５Ｊｏ的悬臂梁要比１．ＯＪｏ的悬臂梁 值大４４．７７ ． 第１期 杨治国等：初始载荷对悬臂梁变形影响的解析解 １０５ 后续载荷与初始载荷之比 ／ 不同时，均有相似的 规律．可以看出：梁截面惯性矩越小，初始载荷的非 线性影响越大． ３）跨度对卢的影响．图４中，当户／ 一０．４时， １．２５Ｌ。的悬臂梁要比１．０Ｌ。的悬臂梁卢值小 ６１．Ｏ４ ，０．７５Ｌ。的悬臂梁要比１．０Ｌ。的悬臂梁卢值 大８４．３５ ，后续载荷与初始载荷之比 ／ 不同时， 均有相似的规律．可以看出：梁的跨度越大，初始载 荷的非线性影响越大． 图２ 与 关系曲线 Ｆｉｇ．２ 一ｐ－／ｉ，ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ 图３嘶变化时 与￣－／ｉ，关系曲线 ｒｉｇ．３ —Ｙ／ｉ，ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｆｏｒ ｖａｒｉｏｕｓ嘶 图４吼变化时 与 关系曲线 ｉＦｇ．４ －Ｊ／ｉ，ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｆｒｏ ｖａｒｉｏｕｓ ｔｔＬ ３ 结语 在考虑几何非线性的情况下，初始载荷弯曲应 力会对结构在后续载荷作用下的静力反应产生影 响．本文通过对初始载荷影响系数卢表达式的讨论， 明确了初始载荷的大小、惯性矩、跨度诸因素对 的 影响，得出了考虑初始载荷非线性影响时，悬臂梁在 后续载荷作用下挠度的变化规律．初始载荷的存在， 会使悬臂梁在后续载荷的作用下所产生的挠度减 小，其程度与初始载荷的大小及悬臂梁的刚度有关． 初始载荷的这种非线性影响，应该在轻柔结构 的设计中予以考虑． 参考文献： Ｅ１３张晓敏，张培源，彭向和．初应力位形上小的变形问题 ＥＪ３．工程力学，２００３，２０（３）：１２５—１２８． Ｅ２３潘家英，吴亮明，高路彬．大跨度斜拉桥活载非线性研 究［Ｊ］．土木工程学报，１９９３，２６（１）：３１—３７． ［３］辛克贵，刘钺强，杨国平．大跨度斜拉桥恒载非线性静 力分析［Ｊ］．清华大学学报：自然科学版，２００２，４２（６）： ８１８－８２１． Ｅ４３张雪松，梁鹏，贾丽君，等．非线性因素对超大跨度斜拉 桥成桥内力的影响［Ｊ］．公路交通科技，２００４，２１（９）：４７ －５１． ［５］Ｔａｋａｂａｔａｋｅ Ｈ．Ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｄｅａｄ ｌｏａｄｓ ｉｎ ｓｔａｔｉｃ ｂｅａｍｓ ＥＪ３．Ｊ．Ｓｔｒｕｃｔ．Ｅｎｇｒｇ．ＡＳＣＥ，１９９０，１１６（４）：１１０２—１１２０． （下转第１１１页） 第１期 袁春辉等：桩底土与桩相互作用的模型试验研究 ６１７—６２１． １ｌ１ Ｔｒｅｎｄｓ ｉｎ Ｄｅｅｐ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ．［Ｓ．１．］：ＡＳＣＥ，２００４：２０２— ２２１． ［６］ 王建华，智胜英．低应变条件下桩土相互作用的阻尼系 数［Ｊ］．岩石力学与工程学报，２００７，２６（９）：１８００—１８０８． ［７］ 余云燕，鲍亦兴，陈云敏．有损伤框架结构中波动分析 Ｅ２３ 黄理兴．动测桩身完整性的新理念［Ｊ］．岩石力学与工 程学报，２００２，２１（３）：４５４－４５６． 蔡靖，王建华．基桩缺陷量化低应变动测研究 ［３３ 张献民，ＥＪ］．振动工程学报，２００４，１７（１）：２０—２４． ［８３ 余云燕．回传射线矩阵法分析埋置框架的瞬态动力响 应［Ｄ１］．杭州：浙江大学，２００４． ［Ｊ］．岩土工程学报，２００３，２５（１）：４７—５０． ［４］ 王雪峰，吴世明．基桩动测技术［Ｍ］．北京：中国科学技 术出版社，２００１． －Ｉ９］ 余云燕，鲍亦兴，陈云敏．埋置框架质量检测的探讨 ［５３ 蔡靖，张献民，王建华．基桩完整性检测中桩土相互作 ［Ｊ］．力学学报，２００６，３８（３）：３３９—３４６． 用参数的试验研究［Ｊ］．岩土工程学报，２００６，２８（５）： Ｍｏｄｅｌ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｐｉｌｅ－ｓｏｉｌ Ｉｎｔｅｒｒａｃｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ Ｂｏｔｔｅｍ ｏｆ Ｐｉｌｅ ＹＵＡＮ Ｃｈｕｎ—ｈｕｉ ， ＹＵ Ｙｕｎ－ｙａｎ ，ＰＡＯ Ｙ．Ｈ． （１＿Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｌ￣ｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｖｅｒｓｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０。Ｃｈｉｎａ； ２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｇｅｏｔｅｅｈｎｉｅａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｉｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００２７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｕａｎｇｈｅ Ｒｉｖｅｒ ｓａｎｄ ａｎｄ ｓａｌｉｎｅ ｓｏｉｌ ａｔ ｔｈｅ ｓｏｕｔｈ ｏｆ Ｘｉｎｊ ｉａｎｇ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ ａｓ ｐｉｌｅ－ｂｏｔｔｏｍ－ｓｏｉｌ，ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｉｌｅ－ｂｏｔｔｏｍ—ｓｏｉｌ ａｎｄ ｐｉｌｅ ｗｅｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｗｉｔｈ ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｍｏｄｅｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｒｅｖｅｒｂｅｒａ— ｔｉｏｎ－・ｒａｙ ｍａｔｒｉｘ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｆｉｔ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｎｄ ｄａｍｐｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｐｉｌｅ－ｂｏｔｔｏｍ－－ｓｏｉｌ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｍｐａｃｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｗａｖｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒａｔｉｏｓ ａｎｄ ｔｉｍｅ，ｄａｍｐｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ａｎｄ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｎｓｅｒ ｓｏｉ１ ｉｓ，ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｒ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｄｏｗｎｗａｒｄ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｔｉｍｅ－ｈｉｓｔｏｒｙ ｃｕｒｖｅｓ ａｔ ｔｏｐ ｏｆ ｐｉｌｅ ｂｉａｓｅｓ．Ｌａｍｉｎａｒ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｈａｖｅ ｇｒｅａｔｅｒ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ＷａＶｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｒｅｖｅｒｂｅｒａｔｉｏｎ－ｒａｙ ｍａｔｒｉｘ；ｐｉｌｅ—ｓｏｉｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ；ｄａｍｐｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｏｅｆｆｉ— ｃｉｅｎｔ；ｍｏｄｅｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ．址 ． 舢 “ ．址．址 札 舢 ．址 ．址．址 ．‘正．‘．Ｌ．‘ｌＬ ．址．ｊ也 （上接第１０５页） Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ｉｎｉｔｉａｌ Ｌｏａｄ ｏｎ Ｓｔａｔｉｃ Ｄｅｆｌｃｅｔｉｏｎ ｏｆ Ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ Ｂｅａｍｓ ＹＡＮＧ Ｚｈｉ—ｇｕｏ． ＺＨＡＮＧ Ｊｉａ—ｗｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｇｎ，ｌ￣ｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎ￣：Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｌｍｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｌｏａｄｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａ ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉＳ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｔｏ ｃａｌｃｕ— ｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｌａｔｅｒ－ａｐｐｌｉｅｄ ｌｏａｄｓ ｆｏｒ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｂｅａｍｓ．Ａｎ ｉｎｉｔｉａｌｌｏａｄ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｆａｃｔｏｒ ｉＳ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｉｉｆｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｆｆｅｃｔ ａｎｄ ｈｏｗ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉＳ ａｆｆｅｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｌｏａｄ， ｍｏｍｅｎｔ ｏｆ ｉｎｅｒｔｉａ ａｎｄ ｓｐａｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｕｇｇｅｓｔ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ ｌｏａｄｓ ｉｎ ｅｘｉｓｔ— ｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｌａｔｅｒ－ａｐｐｌｉｅｄ ｌｏａｄｓ ｗｏｕｌｄ ｂｅｃｏｍｅ ｒｅｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｏｆ ｉｎｉｔｉａＩＩｏａｄ ａｎｄ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅａｍ ａｎｄ ｓｕｃｈ ｅｆｆｅｃｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｌｉｇｈｔｗｅｉｇｈｔ ａｎｄ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｉｎｉｔｉａｌ ｌｏａｄ；ｌａｔｅｒ－ａｐｐｌｉｅｄ ｌｏａｄ；ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ；ｉｎｉｔｉａｌ ｌｏａｄ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｆａｃｔｏｒ
