2008-2%E4%B8%AD%20%E9%AB%98%E6%95%B0%E8%AF%95%E5%8D%B7(180)[1]

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 一质点的运动轨迹为曲线C:x3t1,y14sint,zcost (位移单位:m)，

其中t为时间变量（单位:s），则质点在点(1,1,1)处的速度大小为（单位:m/s）：

【 】

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

2. 函数f(x,y)xy3在椭圆S:2x23y24上的最大值为 【 】 (A) 1 (B)

21 (C) (D) 2

22x2y,(x,y)(0,0)3. 设f(x,y)x2y2，则函数f(x,y)在(0,0)沿方向l(1,2)的

0,(x,y)(0,0)f方向导数|(0,0) 【 】

l(A) 0 (B)

22 (C) (D) 不存在 555x2y24. 设f(x,y)连续，且f(x,y)2xe1f(x,y)dxdy，其中D是由曲线

D y1x2和直线y0围成的平面闭区域，则f(x,y)dxdy 【 】

D (A)  (B) 2 (C) 5. 0dzzdy1zz2y2zy221 (D) 0 2 x2y2dx 【 】

111 (C)  (D) 

326二、填空题（每小题3分，共15分） (A)  (B) 6． 设 zxcosyycosx，则全微分dz|(0,0)__________________________.

1sinxsiny7．设函数uln(xa)2(yb)2(zc)2 在点(x,y,z)处的梯度u满足条件：

|u|1，则点(x,y,z)满足条件：__________________________________. 2 A-1

1222x2yz18．曲线 在点(1,1,2)处的切线方程为：________________. 2x2y3z309. 交换积分次序：02d1cosf(r,)dr_______________________________. 10. 设区域{(x,y,z)|x2y2z2R2}，则[(4x3y)225z2]dV_____.

2三、计算各题（每小题8分，共16分）

11. 设f(x,y)在(0,0)点可微，且f(0,0)0,fx(0,0)1,fy(0,0)2，求极限

lim[1fx01(x,2x)]x.

12. 已知xy2zez10，xexln(1t)0，ycost，求

dzzz，，|t0.

dtxy四、计算下列重积分（13，14题每题8分，15题10分，共26分）

113. 计算Ixydxdy，其中D{(x,y)|x2y21,yx,x0}.

3Dy14z2(1y2)14. 设空间立体由抛物线绕y轴旋转而成的旋转曲面围

x0成，求三重积分I(xyz)dxdydz.

15. 计算I|zx2y2|dxdydz，其中{(x,y,z)|x2y2z2R2,z0}.

五、应用题（每小题10分，共30分）

16. 求上半球面z1x2y2被柱面(x2y2)2x2y2所截下部分的面积. 17. 设一长方体内接于椭圆锥体{(x,y,z)|x22y2(z1)2,0z1}，且长方

体的三对侧面都平行于不同的坐标面，求此长方体体积的最大值. 六、证明题（本题8分）

18. 设二元函数f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,0)f(0,1)，证明：等式

xffy0至少在单位圆上某两点(x1,y1),(x2,y2)处成立. yx

A-2