一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高
1km气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温（ ） A. 上升 ℃ B. 下降 ℃ C. 上升 ℃ D. 下降 ℃ 2. 若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
22
3. 计算x-2x的结果（ ）
A. B. C. D.
4. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下： 移植总数（n） 50 成活数（m） 270 235 400 369 750 662 1500 1335 0. 3500 3203 7000 6335 9000 8073 14000 12628 0.902 47 成活频率（ ） 0.94 0.87 0.923 0.883 0.915 0.905 0.7 由此可以估计该种幼树移植成活的概率为（ ）（结果保留小数点后两位） A. B. C. D. 5. 计算（a+3）（a-4）的结果是（ ）
A. B. C. D. 6. 点M（-2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A. B. C. D. 7. 由6个大小相同的小正方体组合成一个几何体，其俯视图如图所
示，其中正方形中的数据表示该位置的小正方体的个数，则该几何体的左视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 爱心图书馆决定给A、B、C、D、E、F、G、H、I共9个贫困山区捐赠图书，管理
员小张对各地区捐赠情况作了分析，并绘制了如下统计图和扇形图，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 捐书的总数为200万册
B. 捐书数据的中位数是16万册
第1页，共22页
C. 捐书数据的众数是15万册
D. 山区G获赠图书数超过9个地区获赠图书数的平均数
9. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角
形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
A，B为圆O上的点，10. 如图，且D为弧AB的中点，∠ACB=120°，
DE⊥BC于E，若AC= DE，则 的值为（ ）
A. 3 B. 2
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 计算 的结果是______． 12. 计算： =______．
13. 一个不透明的袋有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全
相同，随机摸出两个小球，则摸出两个颜色不同小球的概率是______． 14. 如图，在矩形ABCD中，2AE=BE，将△ABE，△DEC分别
沿BE，EC翻折，∠D′EA′=15°，则∠ECB=______．
AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，15. 如图，在△ABC中，且AD=CD，∠ADC=90°，
连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为______．
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2
16. 已知抛物线y=-x+mx+2-m，在自变量x的值满足-1≤x≤2的情况下，若对应的函数
值y的最大值为6，则m的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. y是x的反比例函数，且当x=2时，y=- ，请你确定该反比例函数的解析式，并求当y=6时，自变量x的值．
18. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD
上的点，且∠AQP=90°． 求证：△ADQ∽△QCP．
19. 某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩
为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分-100分；B级：75分-分；C级：60分-74分；D级：60分以下）
（1）写出D级学生的人数占全班总人数的百分比为______，C级学生所在的扇形圆心角的度数为______；
（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级______内；
（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
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8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的20. 如图是一个3×
顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为 ，2、 ，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的
格点三角形的最大面积．
21. 如图，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、
F，连接DE、CD交⊙O于G，连接EG并延长交BC于H．
（1）求证：DE∥BC；
（2）连接AG，若EH⊥BC，求sin∠DAG的值．
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22. 某文具店销售一种钢笔，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）
之间满足一次函数关系，下列表格记录了5天的销售单价x（元）对应的销售量y（件），但有一个数据有误． x y 40 300 45 220 55 150 58 120 65 50 （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果规定每天钢笔的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，求该钢笔销售单价x的范围．
C不重合）23. 在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、为射线BC上一动点，连接AD，
以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC= ，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
2
24. 如图1，已知抛物线y=ax-3ax-4a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），
与y轴交于C，S△ABC=5．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限内抛物线上一点，若以CD为直径的圆与x轴相切，求点D的坐标；
PC，PB分别交抛物线于M、N两点，（3）如图2，点P为直线x=2上一点，求证：
MN∥BC．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】
3=-18（℃） 解：（-6）×
∵上升为正，下降为负， ∴攀登3km后，气温下降18℃． 故选：D．
用每登高1km气温的变化量乘3，求出攀登3km后，气温变化多少即可． 此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，以及负数的意义和应用，要熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】
解：当分母x+2≠0，即x≠-2时，分式故选：D．
分式的分母不等于零．
在实数范围内有意义．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 3.【答案】B
【解析】
222解：x-2x=-x，
故选：B．
根据合并同类项的法则解答即可．
此题考查合并同类项问题，关键是根据同类项合并的法则解答． 4.【答案】C
【解析】
解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
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故选：C．
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 5.【答案】C
【解析】
2
解：原式=a-a-12，
故选：C．
根据多项式与多项式的乘法解答即可．
此题考查多项式与多项式的乘法，关键是根据多项式与多项式的乘法的法则计算． 6.【答案】A
【解析】
解：点M（-2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）． 故选：A．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7.【答案】D
【解析】
解：观察图形可知，该几何体的左视图是．
故选：D．
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由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3，据此可得出图形，从而求解．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
8.【答案】D
【解析】
12%=200（万册），此选项正确； 解：A．捐书的总数为24÷
B．由于A地区捐书数量为200×30%=60，G地区数量为200-（60+28+24+23+14+16+15+5）=15，
∴捐书数据的中位数是F地区的16万册，此选项正确； C．捐书的众数为15万册，此选项正确； D．9个地区获赠图书数的平均数为故选：D．
根据C地区数量及其百分别求得捐书总数，再用总数乘以A地区百分比求得其数量，继而由各地区数量之和等于总数求得G地区的数量，根据中位数、众数、平均数的定义分别计算即可判断．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 9.【答案】A
【解析】
＞15，此选项错误；
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解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
222
∴DE+CE=CD，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，
n-3
∴Sn=（）．
当n=9时，S9=（）故选：A．
9-3
=（）6，
根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变
n-3
化找出变化规律“Sn=（）”，依此规律即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，
n-3
解题的关键是找出规律“Sn=（）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题
型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 10.【答案】B
【解析】
解：如图，连接AD，BD，CD，OA，OD，OB，在⊙O上取一点K，连接AK，BK，在EB上取点Q，使EQ=CE，连接DQ．
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， ∵D为弧AB的中点，∠ACB=120°
，∠AOB=120°，∠AOD=∠BOD=60°∴∠K=60°
， ∴∠DCB=∠DOB=30°∵CE=QE，DE⊥BC，
∴CD=DQ，
， ∴∠CDQ=120°
， ∵∠CDB=∠ACB=120°
∴∠CDA=∠QDB，
， ∵∠DCE=∠DQE=30°， ∴∠DQB=150°+30°=150°， ∵∠ACD=120°
∴∠ACD=∠DQB，
在△ACD与△BQD中，
，
∴△ACD≌△BQD（ASA）， ∴AC=BQ，
∵CE=DE，AC=DE， ∴AC=CE=EQ=BQ， ∴BE：CE=2：1， 故选：B．
如图，连接AD，BD，CD，在EB上取点Q，使EQ=CE，根据D为弧AB的中点，∠ACB=120°，得到∠DCB=30°，根据线段垂直平分线的性质得到CD=DQ，求得∠CDQ=120°，推出∠ACD=∠DQB，得到△ACD≌△BQD，根据全等三角形的性质得到AC=BQ，再证明AC=EC=EQ=BQ即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11.【答案】
【解析】
解：原式=3=． 故答案为：
-2．
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
本题考查的是二次根式的加减法，在解答此类题目时要先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
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12.【答案】1
【解析】
解：==1．
根据同分母分式的加减运算法则，分母不变，只把分子相加减求解即可． 本题主要考查同分母分式的加减运算，最后结果能约分的一定要约分． 13.【答案】 【解析】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色不同的有12种结果，
∴两次取出的小球颜色不同的概率为故答案为：．
根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与两次取出的小球颜色不同的情况，然后根据概率公式求解．
此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】37.5°【解析】
=，
解：∵四边形ABCD是矩形 ，AD∥BC ∴∠A=90°∵cos∠AEB=
∴∠AEB=60°
∵折叠
，∠DEC=∠D'EC ∴∠AEB=∠A'EB=60°
=∠D'EA'， ∵∠AEB+∠A'EB+∠DEC+∠D'EC-180°
∴∠DEC=37.5°
∵AD∥BC
∴∠ECB=∠DEC=37.5°
第12页，共22页
故答案为：37.5°
由矩形的性质可得∠A=90°，AD∥BC，由锐角三角函数可得∠AEB=60°，由折叠的性质可得∠AEB=∠A'EB=60°，∠DEC=∠D'EC，即可求∠ECB的度数． 本题考查翻折变换，矩形的性质，利用锐角三角函数求∠AEB的度数是本题的关键． 15.【答案】5
【解析】
解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G， 设CM=a， ∵AB=AC，
∴BC=2CM=2a， ∵tan∠ACB=2， ∴
=2，
a，
∴AM=2a，
由勾股定理得：AC=S△BDC=BC•DH=10，
=10，
DH=
，
， ∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°∴四边形DHMG为矩形，
=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG， ∴∠HDG=90°
=∠ADG+∠CDG， ∵∠ADC=90°
∴∠ADG=∠CDH，
在△ADG和△CDH中， ∵
，
∴△ADG≌△CDH（AAS）， ∴DG=DH=MG=∴AM=AG+MG， 即2a=a+a2=20，
+
，
，AG=CH=a+
，
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222
在Rt△ADC中，AD+CD=AC，
∵AD=CD，
22
∴2AD=5a=100，
∴AD=5或-5（舍）， ．．
故答案为：5
作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG=DH=MG=AM=AG+MG，列方程可得结论．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG=CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题． 16.【答案】- 或8
【解析】
，AG=CH=a+，根据
解：抛物线的对称轴为直线x=-当
=，
＜-1，即m＜-2时，则-1≤x≤2，y随x的增大而减小，即x=-1时，y=6，所
2
以-（-1）-m+2-m=6，解得m=-；
当-1≤≤2，即-2≤m≤4时，则-1≤x≤2，所以x=
（舍去），m2=2-2
时，y=6，所以-（
2）+
+2-m=6，解得m1=2+2当
（舍去）；
＞2，即m＞4时，则-1≤x≤2，y随x的增大而增大，即x=2时，y=6，所以
-22+2m+2-m=6，解得m=8， 综上所述，m的值为-或8． 故答案为-或8．
先求出抛物线的对称轴方程为x=
，讨论：若
＜-1，利用二次函数的性质，
2
当-1≤x≤2时，y随x的增大而减小，即x=-1时，y=6，所以-（-1）-m+2-m=6；若
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-1≤≤2，根据二次函数的性质，当-1≤x≤2，所以x=+2-m=6；当
时，y=6，所以-（
2）-
＞2，根据二次函数的性质，-1≤x≤2，y随x的增大而增大，
2
即x=2时，y=6，所以-2+2m+2-m=6，然后分别解关于m的方程确定满足条件
的m的值．
本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
17.【答案】解：设反比例函数的解析式为y=
∵当x=2时，y=- ， ∴k=- ，
∴该反比例函数的解析式为y=- ， 当y=6时，则有- =6， 解得x=- ． 【解析】
利用待定系数法即可解决问题．
本题考查反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
， 18.【答案】证明：∵∠AQP=90°∴∠AQD+∠PQC=90°，
又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠C=90°， ∴∠PQC+∠QPC=90°， ∴∠AQD=∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP． 【解析】
由正方形的性质得∠D=∠C=90°、即∠PQC+∠QPC=90°，由∠AQP=90°知
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，从而得∠AQD=∠QPC，即可得证． ∠AQD+∠PQC=90°
本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握正方形的判定与同角的余角相等是解题的关键．
B 19.【答案】4% 72°【解析】
50%=50人，D成绩的人数占的比例为2÷50×100%=4%， 解：（1）总人数为25÷
×50）=360°×20%=72°表示C的扇形的圆心角360°（10÷， 故答案为：4%，72°；
（2）由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内； 故答案为：B； （3）
×500=380（人），
答：估计这次考试中A级和B级的学生共有380人．
（1）先求出总人数，再求D成绩的人数占的比例；C成绩的人数为10人，占的50=20%，表示C的扇形的圆心角=360°×20%=72°比例=10÷； （2）根据中位数的定义判断；
500=10%，所以，这次考试中A级和B级的学生（3）该班占全年级的比例=50÷10%=380人． 数=（13+25）÷
本题考查对统计图形的识图、读图能力．从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
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20.【答案】解：如图所示：
8- ×2×3- ×1×5- ×1×8=6.5 如图所示，格点三角形的面积最大，S=2×
【解析】
依据格点△ABC的三边长分别为
，2、
，将该三角形的各边扩大一定倍
数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法得出是解题关键．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
21.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB，AC切⊙O于D，E， ∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED， ∵2∠ADE+∠DAE=180°，2∠B+∠BAC=180°，
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∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．
（2）解：∵EH⊥BC，DE∥BC， ∴EH⊥DE，
∴DG是⊙O的直径，
∵CF，CE是⊙O的切线， CF=CE，∠DCF=∠DCE， ∵∠EDC=∠DCF， ∴∠EDC=∠ECD， ∴DE=EC=CF，
同法可证：BD=BF=CE=DE， ∵DE∥BC，DE= BC，
∴DE是△ABC的中位线， ∴AD=BD=BF=CF， ∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，
∴∠ECG=∠CEG=∠EDC=30°，
∴GE=GC，设GE=GC=m，则DG=2m，CD=3m，AD= m， ∴AG= = = m，
∴sin∠DAG= = ．
【解析】
（1）只要证明∠ADE=∠B即可解决问题．
（2）想办法证明△ABC是等边三角形，证明GE=GC，设GE=GC=m，则DG=2m，CD=3m，AD=
m，求出AG即可解决问题．
本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22.【答案】解：（1）设y=kx+b
把x=40，y=300和x=45，y=220分别代入上式得，
解得，
把x=40，y=300和x=55，y=150分别代入上式得，
解得，
把把x=40，y=300和x=58，y=120分别代入上式得，
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解得，
故第二组数据错误，y与x之间的函数解析式为y=-10x+700． （2）由题意得，
解得，30＜x≤46．
设利润为w，则有，w=（x-30）（-10x+700）
2
整理为顶点式得，w=-10（x-50）+4000
∵-10＜0，抛物线开口向下，当30＜x≤46时，w随x的增大而增大 ∴当x=46时，w有最大值，为3840．
（3）依题意剩余利润为w-150，即w≥3600，
2
令-10（x-50）+4000-150=3600 解得，x1=45，x2=55
若即w≥3600，则45≤x≤55． 答：（1）y=-10x+700．
（2）当售价定为46元时有最大利润3840元． （3）为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，该钢笔销售单价x的范围为最低45元至最高55元之间． 【解析】
（1）依题意直接设y=kx+b，再根据图表将其中数据依次带入找出错误数据，从而确立y与x的正确函数关系为y=-10x+700．
（2）依题意可得30＜x≤46，设利润为w，则w=（x-30）（-10x+700），将其化为顶点式，由于对称轴直线不在30＜x≤46之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．
（3）根据题意易得剩余利润为w-150，利用图象说明当w-150≥3600时的x的取值范围．
本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力． 23.【答案】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°， ∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF， ∵∠DAF=∠BAC=90°， ∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
第19页，共22页
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB=45°， ∴∠AGD=45°， ∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4． ∴DQ=4-x，△AQD∽△DCP， ∴ ， ∴ ， ∴
．
②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°， ∴AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x．
过A作AQ⊥BC， ∴∠Q=∠FAD=90°，
∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D， ∴∠ADQ=∠AFC′， 则△AQD∽△AC′F． ∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP， ∴ ， ∴ ， ∴
．
【解析】
（1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；∴∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；∴∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD． ∠ACF=∠ABD=45°
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，
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所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=
，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴
，∴
，问题可求．②点D在
线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得
，∴
，问题解决．
此题综合性强，须运用所学全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的类型．
24.【答案】解：（1）抛物线y=ax2-3ax-4a（a＞0），令y=0，则x=-1或4，令x=0，则
y=-4a，
即点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（4，0）、（0，-4a）， S△ABC= ×AB×OC= ×5×4a=5，解得：a= ，
2
故二次函数表达式为：y= x- x-2…①；
（2）如下图，圆F的直径为CD，与x轴的切点为E，过点D作GD⊥x轴，
则∠CED=90°，EF⊥x轴， ∵∠CEO+∠OCE=90°，∠OEC+∠GED=90°，∴∠GED=∠OCE， ∴△OEC∽△GDE，∴ ，
22
设：点D坐标为（x， x- x-2），则点F（ x， x- x-2），
E（ x，0），G（x，0）， ∵ ，即： 故点D坐标为（
，解得：x=（负值已舍去），
，）；
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（3）设点P的坐标为（2，m），点C（0，-2），
将点P、C坐标代入一次函数表达式y=kx+b得： ，解得： 即直线PC的表达式为：y=
，
x-2…②，
同理直线PB表达式为：y=- m（x-2）…③，
2
联立①②并整理得： x-
x=0，解得：x=0或m+3（舍去x=0），
即点M[m+3， （m+2）（m+3）-2]
同理联立①③并解得：x=4或-m-1（舍去x=4）， 故点N坐标为[-m-1， m（m+1）+2m）]， 直线BC的k值为 ，
直线MN的k值为： = ， 故：MN∥BC． 【解析】
（1）求出点A、B、C的坐标分别为（-1，0）、（4，0）、（0，-4a），利用S△ABC=×AB×OC，即可求解； （2）利用△OEC∽△GDE，则
，即可求解；
（3）求出点M、N的坐标，利用直线BC的k值为，直线MN的k值为：
=，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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