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RC一阶电路时间常数测量的研究
作者：王豪 屠华
来源：《科技视界》2012年第29期
【摘 要】本文论述了RC一阶电路中时间常数τ的概念、物理意义，以及在实际电路中时间常数τ的具体求法，阐述了它在充放电过程中所起的作用。 【关键词】RC一阶电路；时间常数τ
Research on Measuring the First-Order RC Circuit Time Constant WANG Hao TU Hua
【Abstract】this paper discussed the concept and physical significance of the first-order RC circuit time constant--τ and how to use it in practical circuit. It also expounds how the time constant （τ） plays a role in the charge and discharge process.
【Key words】First-order RC circuit；Time constant（τ） 0 引言
一阶RC电路是电路原理基础课中重要的内容，它包含了两个部分，既零输入、零状态响应，其本质是一个放电电路和充电电路。在《脉冲与数字电路》和《电路基础》课本中，都详细地讲述了电容器充、放电的暂态过程。在这个过程中，由于电压的存在，电流不停地变化，直至充、放电完成，电流值等于零。充、放电的过程可以进行得很慢，也可以瞬间完成，它持续时间的长短是由回路中的时间常数决定。实验通过示波器测出电路的时间常数，它反映了电路充、放电时间的快慢。 1 设计原理
1.1 RC电路的充电过程
在图1电路中，设电容器上的初始电压为零，当开关S向“2”闭合瞬间，由于电容电压Uc不能跃变，电路中的电流为最大，I=Us/R，此后电容电压随时间逐渐升高，直至Uc=Us，电流随时间逐渐减小，最后I=0，充电过程结束，充电过程中的电压Uc和电流I均随时间按指数规律变化。Uc和I的数学表达式为： Uc（t）=Us（1-e-t/RC） （1） I=（Us/R）e-t/RC
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式（1）为其电路方程，是一阶微分方程（用一阶微分方程描述的电路为一阶方程）。 在式（1）中引入τ=RC，这是一个有电路元件参数决定的参数，称为时间常数。 图1 图2
在时间t=τ时，Uc（t）=Us（1-e-t/RC）= Us（1-e-t/t）=63.2%Us，即在充电过程中就是电容电压Uc从0增长到63.2%Us所经历的时间。
在充电过程中时间常数等于充电电压U以起始点的充电速度等速地充到稳定所需的时间。我们可以从图2来看，取一个以时间t为横坐标，充电是电容器电端电压U为纵坐标的直角坐标系，最一个充电过程中U随时间变化的波形，如下：
在起始点（原点，即电容器上的初始电压为零），做切线，即为起始点的充电速度直线。 直线方程为U=Us/τt
在U=Us时，直线与曲线的交点P点所对应的时间就是时间常数τ。
从图2中可以看出经过一个时间常数τ，充电并没有结束，理论上要无限长的时间电容器充电才能完成，实际上当t=5τ时，Uc已达99.5%Us，充电过程近似结束。 1.2 RC电路的放电过程
当电容器已经充有电压Us，将开关S向“1”闭合，电容器立即对电阻R进行放电，放电开始时的电流为I=Us/R，放电电流的实际方向与充电时相反，放电时的电流I与电压Uc均随时间按指数规律衰减为零，电流和电压的数学表达式为： Uc（t）=Us e-t/RC （2） I=-（Us/R）e-t/RC
（2）式中，Us为电容器的初始电压，这一暂态过程为电容放电过程，放电曲线如图3。 在时间t=τ时，Uc（t）=Us e-t/RC= Us e-t/t=36.8%Us.即在放电过程中就是电容电压Uc从Us下降到36.8%Us所经历的时间。 图3 2 实验内容
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表1
2.1 从电路板上选 R=2KΩ， C =0.1μF 组成如图1所示的RC充放电电路； 2.2 调节信号发生器，调到226HZ左右；
2.3 在RC电路输入U=16V矩形脉冲序列信号，将示波器的测试探极接在电容两端，调节示波器Y轴和X轴各控制旋钮，使荧光屏上呈现出一个稳定的指数曲线。
2.4 将示波器屏幕上的两条水平光标分别移到曲线的最底点和最高点，找到充电的指数曲线，固定下方的水平光标不动，调节上方的水平光标，找到63.2%Us的地方。按“CURSORS”切换到△T，将一条垂直光标移到起始点，另一条垂直光标移到63.2%Us的地方，示波器显示的△T就是充电过程的时间常数，把数据记录到表格中。
2.5 将示波器屏幕上的两条水平光标分别移到曲线的最底线和最高线，找到放电的指数曲线，固定下方的水平光标不动，调节下方的水平光标，找到36.8%Us的地方。按“CURSORS”切换到△T，将一条垂直光标移到起始点，另一条垂直光标移到36.8%Us的地方，示波器显示的△T就是充电过程的时间常数， 把数据记录到表格中。
2.6 重复步骤4、5各5次，将数据记录表格，τ与τ理论相比较并计算其相对误差。 图4
数据记录表（表2）： 3 实验结果与分析
τ1 = （0.200 +0.200+0.200+ 0.200+0.220）/5=0.204 ms s1
=■4=0.009ms
τ2= （0.220 +0.180+.200+ 0.220+0.200）/5=0.204 ms s2
=■4=0.017ms τ理论=RS=0.200ms
E1=E2=（τ-τ理论）/τ理论=2%
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表2 4 结论
计算可得充、放电时，电路中的时间常数都是0.204 ms，其相对误差也都是E=2%，可以看出电路中充、放电时没有特别的差异。在利用示波器测量时间常数的过程中，由于选择了比较适合的输入电压、电容、电阻值，能在示波器上得到大小、形状很好的图形，便于观察和调节。而且在示波器的屏幕上能够直接读出所需要的实验数值，实验操作过程中很方便。RC电路是最基本的一阶动态电路，在模拟电路、脉冲电路中具有广泛的应用。本文对一阶RC电路在方波激励下的时域响应进行了详细的讨论，并对积分电路及微分电路应该满足的条件及实验过程中应该注意的问题进行了讨论。 【参考文献】
[1]许树玲.一阶RC电路时间常数测量的难点及解决方案[J].大学物理实验，2010. [2]李彩萍，李乐生.方波激励下一阶RC 电路响应的研究[J].数字技术与应用，2011. [3]聂文艳，王仲根.一阶 RC 电路教学的四步分析法[J].科技创新导报，2012. [4]姜玉亭.一阶RC电路阶跃响应实验改革[J].科技信息，2010.
[5]许树玲.一阶RC电路时间常数测量的难点及解决方案[J].大学物理实验，2010，10.
