。
方程的根与函数的零点练习题
1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间( )
x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
2
x＋2x－3，x≤0
3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝的零点个数为
－2＋lnx，x＞0
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2
4．已知函数f(x)＝x－1，则函数f(x－1)的零点是________．
解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.
1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
1
A．0,2 B．0，－
2
11
C．0， D．2，
22
2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
2
3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
xA．(1,2) C．(3,4)
4．下列函数不存在零点的是(
1
A．y＝x－
B．(2,3) D．(e,3) )
B．y＝2x－x－1 x＋1 x≥0
D．y＝
x－1 x＜0
2
xx＋1 x≤0
C．y＝
x－1 x＞0
5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定新 课 标 第 一 网
1
6．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是
2
-可编辑修改-
。
( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2
7．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．
9．下列说法正确的有________： ①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．
②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．
10．若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．
1
11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？
2
12．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时， (1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
-可编辑修改-
。
参
1．解析：选C.log5(x－1)＝0，解得x＝2，
∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.
2．解析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.
2
3．解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.
4．解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2
－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.答案：0和2
1．解析：选B.由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，使g(x)＝0，则x＝0或－1. 2
2．解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
2
3．解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，
3
∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．
4．解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零1
点为－，1；只有D中函数无零点．
2
5． 解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数．
1
6．解析：选B.设f(x)＝x3－()x－2，
2
111
则f(0)＝0－()－2<0；f(1)＝1－()－1<0；f(2)＝23－()0>0.∴函数f(x)
222
的零点在(1,2)上．
2a7．解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，由根与系数的关系，得1＋x＝－
a＝－2，
故x＝－3，即另一个零点为－3.答案：－3
8．解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，
-可编辑修改-
。
5a－1≥05a－1≤0，所以或
a＋1≥0a＋1≤0，
－1. X k b 1 .
9．解析：①错，如图．
11
解得a≥或a≤－1.答案：a≥或a≤
55
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.
答案：③④
10解：设f(x)＝x2－2ax＋a. 由题意知：f(0)·f(1)＜0， 即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． a＞0，a＜0，或w w w .x k b 1.c o m∴a＜0或a＞1. 1－a＜0，1－a＞0，
11．解：设f(x)＝log2x＋x2，
11113
∵f()＝log2＋()2＝－1＋＝－＜0，
22244
1
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区
2
11
间[，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x2＝022
1
在区间[，1]内有实根．
2
12．解：(1)因为方程有一正一负两根，
1a－＜0a所以由根与系数的关系得
Δ＝12a＋4＞0
，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，新课标第一网
-可编辑修改-
。
Δ＞0
所以必须满足a＋1
＞1af1＞0
a＞0
Δ＞0
，或a＋1
＞1af1＜0
a＜0
.
，不等式组无解．
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，
x1－1x2－1＞0即 x1－1＋x2－1＞0
x1x2－x1＋x2＋1＞0⇒
x1＋x2＞2
a－12a＋1a－a＋1＞0所以
2a＋1a＞2
a＜0
⇒a＞0
，不等式组无解．
即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(3)(4)所示，
a＞0a＜0
所以必须满足或，解得a＞0.
f1＜0f1＞0
∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.
-可编辑修改-
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