指数函数经典例题(问题详解)

指数函数

1．指数函数の定义：

函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：

11在同一坐标系中分别作出函数y=2，y=，y=10x，y=の图象.

210xxx

1我们观察y=2x，y=，y=10x，y=

2yax(a0且a1)の图象和性质。

x1图象特征，就可以得到10x 图 象 a>1 0指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数f(x)x2bxc满足f(1x)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与

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f(cx)の大小关系是_____．

分析：先求b，cの值再比较大小，要注意bx，cxの取值是否在同一单调区间内．

解：∵f(1x)f(1x)， ∴函数f(x)の对称轴是x1． 故b2，又f(0)3，∴c3．

1上递减，在1，∞上递增． ∴函数f(x)在∞， 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)； 若x0，则3x2x1，∴f(3x)f(2x)． 综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)．

评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中

间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式

例2 已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则xの取值范围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围． 解：∵a22a5(a1)24≥41，

∴函数y(a22a5)x在(∞，∞)上是增函数，

 ∴3x1x，解得x．∴xの取值范围是∞． ，1414 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y16x2の定义域和值域． 解：由题意可得16x2≥0，即6x2≤1，

2． ∴x2≤0，故x≤2． ∴函数f(x)の定义域是∞， 令t6x2，则y1t，

又∵x≤2，∴x2≤0． ∴06x2≤1，即0t≤1． ∴0≤1t1，即0≤y1．

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1． ∴函数の值域是0， 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．

4．最值问题

例4 函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间[11]，上有最大值14，则aの值是_______．

分析：令tax可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后tの取值范围．

解：令tax，则t0，函数ya2x2ax1可化为y(t1)22，其对称轴为

t1．

， ∴当a1时，∵x11，

∴≤ax≤a，即≤t≤a． ∴当ta时，ymax(a1)2214． 解得a3或a5（舍去）；

， 当0a1时，∵x11，

1a1a ∴a≤ax≤，即a≤t≤，

11 ∴ t时，ymax1214， aa21a1a 解得a或a（舍去），∴aの值是3或．

评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程

例5 解方程3x232x80．

解：原方程可化为9(3x)2803x90，令t3x(t0)，上述方程可化为

1，∴3x9，∴x2，经检验原方程の9t280t90，解得t9或t（舍去）

9131513解是x2．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数y93x5の图象，可以把函数y3xの图象（ ）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

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D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数y93x5转化为t3x25，再利用图象の平移规律进行判断．

解：∵y93x53x25，∴把函数y3xの图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y93x5の图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题

1、比较下列各组数の大小： （1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若 解：（1）由故 （2）由 （3）由而

．

．因若

，故 ．因若

，则

．又

，故 ，这与已知 ，故

，这样 矛盾． ，这样有

，因

．

，故

．又 ，故

，故 ．又

．从而 ，故

． ．从

，故 ，比较 ，比较 ，比较

，且

与 与 与

； ； ；

，比较a与b； ，比较a与b．

为减函数．由

，

，且

，此时函数

（4）应有

．又因

（5）应有

．从而 ，则

．又

．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知矛盾．

小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．

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2，曲线则

分别是指数函数

与1の大小关系是 ( ).

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

,在 轴右侧令

,对应の函数值 ,

和

の图象,

由小到大依次为 ,故应选 .

小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识. 求最值

3，求下列函数の定义域与值域.

(1)y＝2

1x3; (2)y＝4x+2x+1+1.

1x3解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2

1x3の定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵

1≠x30，∴2≠1，

1x3∴y＝2の值域为｛y｜y>0且y≠1｝.

(2)y＝4x+2x+1+1の定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.

∴y＝4x+2x+1+1の值域为｛y｜y>1｝.

4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9xの最大值和最小值

1解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以t9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3

3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

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5、设 ，求函数 の最大值和最小值． ，设

，则原来の函数成为

分析：注意到

，利用闭区间上二次函数の值域の求法，可求得函数の最值．

解：设

，由

知，

，故函数最小值为

轴

，函数成为

，因端点 ．

，

较

，对称轴 距对称

远，故函数の最大值为

6．（9分）已知函数ya2x2ax1(a1)在区间[－1,1]上の最大值是14，求aの值.

1．解： ya2x2ax1(a1)， 换元为yt22t1(ta)，对称轴为t1.

a当a1，ta，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)

7．已知函数 （ 且 ） ，

（1）求 の最小值； （2）若求 の取值范围． ．解：（1）时，

有最小值为

， 当 即

（2） 当 当

时， 时，

； ．

，解得

8（10分）（1）已知f(x)2m是奇函数，求常数mの值； x31 （2）画出函数y|3x1|の图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无

解？有一解？有两解？

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解： （1）常数m=1

（2）当k<0时，直线y=k与函数y|3x1|の图象无交点,即方程无解;

xy|31|の图象有唯一の交点，所以方程当k=0或k1时, 直线y=k与函数

有一解;

当0是奇函数，求 の值．

为奇函数，

，

，

，

11 10. 已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2の最大值和最小值

42x2xxx

解：由已知得（3）-10·3+9≤0 得（3-9）（3-1）≤0 ∴1≤3x≤9 故0≤x≤2

1111而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2

42221x1令t=（）（t1）

241则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1

21当t=即x=1时，ymin=1

2当t=1即x=0时，ymax=2 11．已知解：由于是

12. (9分)求函数

，求函数 得 ，即

，即

の值域．

，解之得

，

，故所求函数の值域为の定义域，值域和单调区间

y2x23x2x22x2定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。

113 求函数y＝3精彩文档

の单调区间.

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分析 这是复合函数求单调区间の问题

11可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数

33∴u＝x2-3x+2の减区间就是原函数の增区间(即减减→增)

u＝x2-3x+2の增区间就是原函数の减区间(即减、增→减)

uu1解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，

33)时，u为减函数， 23∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.

2当x∈(-∞，

ax1

14 ，已知函数f(x)＝x (a>0且a≠1).

a1

u(1)求f(x)の定义域和值域；(2)讨论f(x)の奇偶性；(3)讨论f(x)の单调性.

解：(1)易得f(x)の定义域为｛x｜x∈R｝.

ax1y1y1设y＝x,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.

y1y1a1

解-

y1>0得-1ax11ax

(2)∵f(-x)＝x＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.

a11ax(ax1)22(3)f(x)＝＝1-.

ax1ax11°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.

ax122∴x为减函数，从而f(x)＝1-x＝为增函数.2°当0a1

15、已知函数f（x）=a－

2（a∈R）， 2x1（1） 求证：对任何a∈R，f（x）为增函数． （2） 若f（x）为奇函数时，求aの值。

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（1）证明：设x1＜x2

2(2x22x1)f（x2）－f（x1）=＞0 x1x2(12)(12)故对任何a∈R，f（x）为增函数． （2）xR，又f（x）为奇函数

f(0)0 得到a10。即a1

16、定义在R上の奇函数f(x)有最小正周期为2，且x(0,1)时，f(x)2x41x

（1）求f(x)在[－1，1]上の解析式；（2）判断f(x)在（0，1）上の单调性； （3）当为何值时，方程f(x)=在x[1,1]上有实数解. 解（1）∵x∈R上の奇函数 ∴f(0)0

又∵2为最小正周期 ∴f(1)f(21)f(1)f(1)0 设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），f(x)∴f(x)

2x(2x12x2)(2xx2x22x22x1)x x(-1,0)（2）设0∴在（0，1）上为减函数。

（3）∵f(x)在（0，1）上为减函数。 ∴f(1)f(x)f(0) 即f(x)(,) 同理f(x)在（－1，0）时，f(x)(,)

又f(1)f(0)f(1)0

∴当(,)(,)或0时

f(x)在[－1，1]内有实数解。

2152122512252152

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函数y＝a｜x｜(a>1)の图像是( )

分析 本题主要考查指数函数の图像和性质、函数奇偶性の函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.

解法1：(分类讨论)：

ax　　　　　(x0),去绝对值，可得y＝1x

(x0).()　　　　a又a>1，由指数函数图像易知，应选B.

解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.

∴应选B.

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