高中数学(必修一)第四章 指数 练习题及答案解析

学校:___________姓名：___________班级：_____________

一、解答题

1．计算：2331.5612．

2．求下列各式的值： (1)362；

1(2)6； 4521 (3)

(4)213164．

3．（1）已知xx

（2）设2x8y1，9y3x9，求xy的值．

3xyx,y0；

4．（1）化简：11161136x4yxy45341233210 ；3812123，计算：

x2x27xxxx11212；

1（2）计算：100

1212285308．

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5．求解下列问题： (1)证明：

(2)已知pa3qb3rc3，且1． 求证：paqbrc22logax1logab． logabx1a1b1c123pqr．

131313

6．求下列各式的值： (1)32；

(2)43；

(3)83π；

(4)x22x1x26x9，x3,3．

7．计算下列各式：

823321（1）22254

0120.50.01；

7（2）29

0.5100.12227233037； 48212.552534（3）330.06250.030；

48

3（4）x2xx0；

3 第 2 页 共 13 页

11123223ab3aba0,b0. （5）15166ab3

8．化简求值：

123b2(1)22a4b323aba3a3a8ab4313a3a25aa3；

(2)(log43log83)

9．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足ykax25（kR，0a1，x0）． (1)求实数k的值；

(2)经过测试知a0.9227，求在25℃室温下，刚泡好的85℃的茶水大约需要放置多长时间才能产生最佳饮用口感（结果精确到1分钟）．（参考数据：lg70.8451，lg121.0792，lg0.92270.0349）

10．计算求值 (1)

1(2)lglg2log224log327log23；

2lg2． lg33326193208；

11(3)已知6a2b3，求的值．

ab

11．定义域均为R的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)g(x)10x． (1)求函数f(x)与g(x)的解析式；

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(2)证明：g(x1)g(x2)2g(

x1x2)； 2(3)试用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1x2)与g(x1x2)．

12．已知函数ya（a0且a1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，记fxxax． ax2(1)求a的值；

(2)求证：fxf1x为定值；

1(3)求f2012f201200f的值．

201

二、单选题

lnx,x0,13．已知函数fxx，则ffe（ ）

e,x0,A．e 14．x3x21385B．0

1C．

eD．1

化成分数指数幂为（ ） A．x2

1B．x15

4C．x15

4D．x5

2

三、填空题

15．若0ba1，pab，qba，rbb，则__________．（用连接） 16．已知a1117，则a2a2______． a17．一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg20.3010，lg30.4771，精确到0.1h）

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参：

1．6

【分析】先将根指数幂转化成分数指数幂的形式，在按照分数指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式2332故答案为：6 2．(1)6 (2)

12113321262111333111236236．

3125 322(3)23 (4)

【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解； （2）利用指数幂的运算性质即可求解；

（3）将根式转化为分数指数幂，再利用幂的运算性质即可求解； （4）利用指数幂的运算性质即可求解. (1)

解：366(2)

121221262126；

51解：642(3)

522253125； 5253222525解：32103811210521223 232311323233110213(4) 解：21316342132344213232133211. 23．（1）4；（2）27

【分析】（1）对x2x23两边平方，求出xx17，再对此式两边平方，化简可得x2x247，从而

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11代入可求结果，

（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于x,y的方程组，求出x,y的值，从而可求得xy的值 【详解】（1）因为xx121211223，所以xx9，

2所以xx129，所以xx17， 所以xx172，即x2x2249，所以x2x247，

2所以

x2x27xx1xx12124774． 73（2）因为2x8y1，所以2x23y1，即x3y1． 又9y3x9，所以32y3x9，即2yx9，

x3(y1)x21由，解得，

2yx9y6故xy的值为27． 4．（1）10y；（2）3

【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.

3xy10y． 31342xy103412【详解】（1）原式（2）原式1005．(1)证明见解析 (2)证明见解析

1122182136100218210183．

1212【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.

（2）令pa3qb3rc3k，结合指数运算，通过证明等式左边右边k3来证得等式成立. （1）

1logaxlogxalogxablogaab1logab右边 左边1logabxlogxalogxab1（2）

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2令pa3qb3rc3k，则pakkk22，qb，rc， acb13所以pa2qb2rc1313131231111kkkkk3， abcabc13131311111kkk3pqr333kk3，

abcabc13所以paqbrc22123pqr．

1313136．(1)-2 (2)3 (3)π3

2x2,3x1,(4)

4,1x3.

【分析】根据根式与分数指数幂的转化化简求值即可. (1)

3232

(2)

4324323

(3)

83π83ππ3

(4) 原式x12x32x1x3，

当3x1时，原式1xx32x2； 当1x3时，原式x1x34．

2x2,3x1, 因此，原式4,1x3.7．(1)

16；(2)100；(3)3；(4)x2；(5)9a. 15【分析】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值.

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121422【详解】(1)原式1210112116.

2943101512523751009337100. 27312(2)原式103184839125352734140.513. (3)原式50.50.41222281(4)原式x2x2x2. (5)原式9a326b2369a. 8．(1)a2 5(2) 621111531

【分析】（1）结合指数幂的运算公式以及立方差公式化简整理即可求出结果； （2）结合对数的换底公式化简整理即可求出结果. (1)

123aa8b12baa3原式21122511 a34b32a3b3a3a2a3a131313aa32b3115336a2ba

21112a4b32a3b3a3a613a(a2b)(a2ab4b)4b2aba2313132313131323131323a2ba1 aa6131356a43aa5616a451366a2

a451366

a2， (2)

原式(2lg23lg2)lg3236． 9．(1)60

lg3lg3lg2115 第 8 页 共 13 页

(2)大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感

【分析】（1）直接由x0时，y85代入求解即可；

（2）将y60代入函数关系式，再结合对数的运算性质求解即可. （1）

依题意，当x0时，y85，所以85ka025，解得k60， 所以实数k的值是60． （2）

由（1）知，当a0.9227时，y600.9227x25，

x当y60时，600.9227x2560，即0.92277， 12两边取对数，得xlg0.9227lg7lg12， 所以xlg7lg120.84511.07927．

lg0.92270.0349所以刚泡好的85℃的茶水大约需要放置7分钟才能产生最佳饮用口感． 10．(1)44 9(2) 2(3)1

【分析】（1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1)

33261932832323023217227144；

(2) lg1lg2log224log327log23 232lg2lg2log238log33log23 log23339log23； 22第 9 页 共 13 页

(3)

alog63，blog23，

则

11log36，log32； ab11所以log36log32log331．

ab11．(1)f(x)(10x(2)证明见解析

1211x1g(x)(10) )，

210x10x(3)f(x1x2)f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)，g(x1x2)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)

【分析】（1）由题意可得：f(x)g(x)10x，再根据函数的奇偶性可得：f(x)g(x)10xf(x)g(x)，进而结合两个式子求出两个函数的解析式．

（2）由（1）可得g(x1)g(x2)的表达式，再利用基本不等式把g(x1)g(x2)进行化简整理即可得到答案． （3）由（1）可得f(x1)、f(x2)、g(x1)、g(x2)、f(x1x2)与g(x1x2)的表达式与结构特征，进而可求 (1) 解：

f(x)g(x)10x℃

f(x)g(x)10x，

f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

f(x)f(x)，g(x)g(x)

f(x)g(x)10x℃

由℃，℃解得f(x)(10x(2)

x解：g(x1)g(x2)(10112111g(x)(10xx)． )x，210101211x21)(10) 210x110x211111111(10x110x2)(x1x2)210x110x22 x1221022101010x210x1x22101x1x222g(x1x2)，当且仅当10x110x2，即x1x2时取等号； 2所以g(x1)g(x2)2g((3)

x1x2) 2 第 10 页 共 13 页

解：

1111f(x)(10xx)，g(x)(10xx)．

21021011f(x1x2)(10x1x2x1x2)

210110x110x2(x2x1) 210101x1x210x110x211x1x210x110x21(10x2x1x1x2)(10x2x1x1x2) 44101010101010111111(10x1x1)(10x2x2)(10x1x1)(10x2x2) 4410101010f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)

111g(x1x2)(10x1x2)x1x2

2210111110x110x2x1x2 221010111111(10x1x1)(10x2x2)(10x1x1)(10x2x2)． 4410101010g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)

即f(x1x2)f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)，g(x1x2)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)； 12．(1)a4 (2)证明见解析 (3)100

【分析】（1）函数yax在1,2上单调，得到a2a20，排除a5，得到答案. 4x（2）fxx，代入数据计算得到fxf1x1，得到证明.

42（3）根据fxf1x1，两两组合计算得到答案. （1）

解：因为函数yax（a0且a1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数yax（a0且a1）在1,2上单调，

所以当x1和x2时，函数yax（a0且a1）在1,2上取得最值，即a2a20， 解得a4或a5（舍去），所以a4． （2）

4x解：由（1）知，a4，所以fxx，

42 第 11 页 共 13 页

4x41x4x4故fxf1xx1xx1．

424242424x（3）

解：由（2）知，fxf1x1，

120021191001011，1，，1， 20120120120120120112200所以fff

201201201因为

f1201200ff2012201119f201100f201101f1100100． 20113．C

【分析】直接代值计算即可. 【详解】felne=1,

1则ffef1e

故选：C. 14．B

【分析】直接化根式为分数指数幂，即可得出答案．

【详解】解：x3x21341585xx1323 85x1385x1685x．

故选：B. 15．prq

【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小即可

【详解】解：因为0b1，所以函数yxb在(0,)上为增函数， 因为0ba1，所以0bbab1b1，即0rp1， 因为0b1，所以函数ybx在R上为减函数， 因为0ba1，所以b0bbbab1，即bqr1， 所以prq， 故答案为：prq

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16．3

【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】由a1117，可得a0，a2a20， aaa1212(aa)723．

12122故答案为：3 17．6.6

【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案. 【详解】设xh后血液中的药物量为ymg， 则有y20001100令y1000得：x 0，

xlg20.30106.6

12lg3120.4771故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.6

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