上海市2014高考数学压轴卷试题 理(含解析)

考生注意：

1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 函数f(x)x1的定义域为_____________

log0.2(3-x)2已知F是抛物线y4x的焦点，A,B在抛物线上，M（3,2）为线段AB的中点，则OAB的面积为_____________

32已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)2x9x12x，则不等式

|f(x)|f(1) 的解集是_____________

*2已知数列{an}其前n项和为Sn，且Snn2n2(nN)，则数列{an}的通项公式为

_____________

零向量a,b满足|a|2|b|2，且|a2b|(2,23],则a,b夹角的取值范围是_____________

（x在

a7)的展开式中含有7x2 ，则a2=_____________ x已知复数z1a2i,z2bi,z1是z1的共轭复数。若z1z2-4，则b的取值范围是_____________ 已知cos24，sin20,且tan(2)1,则sincos_____________ 5红、黄、蓝三色灯泡分别有3、2、2支，把它们挂成一排，要求红色灯泡不能全部相邻，则看到的不同效果有_____________个。

已知函数f(x)2sin(x)（其中xR，0，)的部分图象如图所示。如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f(x)函数的图像，则函数g(x)的解析式是_____________

在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为______________ 若

an是(3x)n(nN*,n2)展开式中

x2项的系数，则

32333n(23n)=_____________ limaaanx2x15sin若点P(x,y)在曲线（为参数，R）上，则的取值范围是

yy45cos_____________

x2y2已知F1、F2是双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点

abF2关于直线ybx对称,,则该双曲线的离心为_____________ a选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. “ab0”是

11的 ab （ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 若函数f(x)的导函数在区间a,b上的图像关于直线x则函数yf(x)在区间[a,b]上的图象可能是

ab对称， 2（ ）

A．①④ B．②④

C．②③ D．③④

已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推

出m的是 （A）且m （B）且m （ ）

∥ （C）mn且n （D）mn且1



若数列{an}满足

an＋1an1*

－＝d(n∈N，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列

（ ）

1

{}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是

bnA．10 B．100 C．200 D．400

解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. （本题满分12分）

如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为

上的点， 点M为BC中点．

（I）求证：B1M∥平面O1AC；

（II）若AB＝AA1，∠CAB=30°，求二面角C-AO1 -B的余弦值．

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知函数f(x)x(a2)xalnx2a2(其中a2) （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在

上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；

2

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆Oπππ

交于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点

424

B(x2，y2)．

3

（1）若x1＝，求x2；

5

4

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

3

(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.

在数列{an},{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1 成等比数列（nN）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；{an},{bn} （Ⅱ）证明：

*11115.

a1b1a2b2a3b3an2bn212

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

在平面直角坐标系xOy中．已知M(0,3)，平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4记动点P的轨迹为D．

（I）求轨迹D的方程，

（Ⅱ）设过点E（0．1）且不垂直于坐标轴的直线l1:yk1xb1与轨迹D相交于A，B两点，若在y轴上存在一点Q，使得直QA，QB关于y轴对称．求出点Q的坐标；

（Ⅲ）是否存在不过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l，它与轨迹D及圆

E:x2(y1)29 从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足EDECEGEF？

若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k的值；若小存在，请说明理由．

2

2014年上海高考数学押题卷（理） 填空题

（2,3）

2. 22

3. {x|x-,或x525,或x1} 25,n12 5. （，] an332n1,n2[1，1]

8.  6. 1

32 9. 180 5

12. 18

2)3 11113． (,)

222sin(4x

57

11. (，) 33

14．5

选择题

15. A 16. D 17. C 18. B 解答题

（1）证明省略. （1）

（2）

251． 17当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减,在(1，)上单调递增。aa当0a2时，f(x)在(0,)上单调递增,在(，)上单调递减。22

当a2时，f(x)在(0,)上单调递增。aa当0a2时，f(x)在(0,),(1，)上单调递增,在(，1)上单调递减。22

（2） (,2){1}(0,2]． ln2（1）x2 = －

2

； （2）tanα＝2． 10

（1）a26，b29，a312，b316，a420，b425;证明省略.

（2）证明省略.

（Ⅱ） Q(0,4). （Ⅲ）存在满足题意的直线；

y2x21. （1）4k277957. 4

============================= 详细解析见下 填空题 【答案】 （2,3）

【解析】 log0.2(3-x)0log0.2103-x1解得x(2,3)

【答案】 22 【解析】

设A(x,y1),B(x2,y2),则y14x1,y24x2。两式相减整理得：y1y2y1y22，即2k2,k1,直线AB方程为yx1经过2x1x21OF(y1y2)22222

焦点F，且倾斜角为45.利用抛物线的定义可解得y12(21)，y22(21)。SOAB【答案】 {x|x-,或x 【解析】

525,或x1} 2f(x)6x218x126(x1)(x2),令f(x)0解得x(1,2)所以f(x)在(0,)上的增区间是(0,1)，(2,)，减区间是(1,2). f(1)5，f(2)4f(1)。令f(1)f(x),整理得(x1)2(2x5)0，即

555x11,x2.所以|f(x)|f(1)在R上的解集是{x|x-,或x,或x1}222

【答案】 an5,n1

2n1,n2

【解析】

Snn22n2,a1S15。当n1时，anSnSn1n22n2[(n1)22(n1)2]2n1 5,n1an2n1,n22【答案】 （，]

33 【解析】

|a2b|(2,23](a2b)2(4,12],即a4b-4ab44-8cos(4,12]。 112cos[),（，].2233【答案】 1

【解析】 在C7(x)

r7r22a1()r7x2r1,7C7a,a1,a21的展开式中含有7x2 x1] 【答案】 [1， 【解析】

z1是z1的共轭复数。z1z2(a2i)(bi)ab2(a2b)i-4ab2-4,a2b0-2b-2,解得b[1,1]

【答案】 2

32 5 【解析】

cos243tan2tan，且sin20,tan2,tan(2)541tan2tan

3tan4sin3cos7141,tan7sin,cos352521tan3sin4cos4-7-13或sin,cos。因此sincos255252

【答案】 180 【解析】

753A7-A5A3 先无全排列，再剔除不符合条件的排列，最后再进行组合。180322A3A2A2

【答案】 2sin(4x【解析】

2) 3由图可知T22,T。所以2,f(x)2sin2(x)2sin(2x)4612463222即,f(x)2sin(2x)g(x)2sin(4x)333

57

【答案】 (，)

33【解析】

设ADB,xBD,在ABD,ADC中，由余弦定理得x2k294x2k21cos,解得6x23k219.2xk4xk832832

又23x449x216,6x2,19-3k233332549573k2，k3333 【答案】 18 【解析】

anC3若

2n2nn(n1)n23n11318()2ann1n32333n1()18(1)18limlim23naaannn

展开式中x项的系数，则

2

【答案】 (,【解析】

111) 22x15sin(x1)2(x4)25,方程表示圆心C(1,4),y45cos

半径r5的圆.从点P(2，0)作圆的切线，设夹角为2，设直线PC14的倾斜角为，则tan,tan,23111x2111tan(),tan(),(,)22y22

【答案】 5 【解析】由题知，ybx为渐近线方程，PF1F2是P90的三角形 a

PF12a,PF22b,F1F22c,PF2-PF12a,即b2a,c2a2b2，离心率e5 【答案】 A 【解析】

ab0,ab110,即,前者是后者的充分条件。ababab11反之，则可有a0b,前者不是后者的必要条件。选A.ab【答案】 D 【解析】 由题知，f(x

abababab)f(x)，f(x)f(x)c(常数）， 2222则函数yf(x)的图象在区间[a,b]上中心对称，图像③④符合，故选D 。 【答案】 C

【解析】

对(A),两平面垂直，任一平面上的直线不一定垂直另一个平面。错误。对(B),两平面垂直，一条直线平行其中一个平面，则不一定垂直另一个平面。错误。对(C),两直线平行，且其中一条直线垂直一平面，则另一直线垂直该平面。正确，选C.对(D),两直线垂直，且两平面平行，则直线与平面无确定关系。错误。

【答案】 B 【解析】

正项数列{}为“调和数列”，若数列{bn}为等差数列，90=b1＋b2＋…＋b9＝

bnb1b999(b4b6)9b4b6b4b6100，所以b4·b6的最大值为100，选B. 22【答案】（1）证明省略. 【解析】

（2）

1

251． 17

【答案】（1）

当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减,在(1，)上单调递增。aa当0a2时，f(x)在(0,)上单调递增,在(，)上单调递减。22

当a2时，f(x)在(0,)上单调递增。aa当0a2时，f(x)在(0,),(1，)上单调递增,在(，1)上单调递减。22（2） (, 【解析】

2){1}(0,2]． ln2

【答案】（1）x2

2 = －10

； （2）tanα＝2． y 【解析】

B A （1）解法一：因为x3

1＝，y1＞0，所以y1＝1－x24

5

1＝5

．

所以sinα＝4，cosα＝3

． ………………………3D O C 55分 所

以

x2＝cos(α＋

π

4

)＝cosαcos

π4

－sinαsinπ4＝－2

(21题图)

10

． …………………………………6分 解法二：因为x3

1＝5，y1＞0，所以y1＝1－x2434→34

1＝5．A(5，5)，则OA＝(5，5

)，…………

2分

→OB＝(xy→→→→

AOB，所以342 2，2)， 因为OA·OB＝|OA||OB|cos∠5x2＋5y2＝2 ……4

分

又x2

2

2

2＋y2＝1，联立消去y2得50 x2－302x2－7＝0 解得x2 2＝－10或7210，又x0，所以x2 2＜2＝－10

． ………………………6分

解法三：因为x3

1＝，y1＞0，所以y1－x24344

51＝

1＝5．

因此A(5，5)，所以tanα＝3

．………2分

所以tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分 由y＝－7x，

x2

＋y2

＝1．

得x＝±2 10，又x2 2＜0，所以x2＝－10． …………………6

分 （

2

）

S1

cosα＝－

11＝2

sinα4

sin2α． …………………………………………8分 因为α∈(

ππππ3π4，2)，所以α＋4∈(2，4

)． 所以S1π2＝－

2sin(α＋4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π1

2)＝－4cos2α．……………………………10分 因为

S4

4

1＝3

S2，所以sin2α＝－3

cos2α，即tan2α＝－

x 4

． …………………………………12分 3

2tanα41ππ所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α∈(，)，所以tanα＝2

1－tanα32422．………14分

【KS5U答案】

（1）a26，b29，a312，b316，a420，b425;证明省略.

（2）证明省略. 【KS5U解析】

2（Ⅰ）由条件得2bnanan1，an1bnbn1

由此可得

a26，b29，a312，b316，a420，b425．

2猜测ann(n1)，bn(n1)． 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即

akk(k1)，bk(k1)2，

那么当n=k+1时，

2akak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk12(k2)2．

bk2所以当n=k+1时，结论也成立．

2由①②，可知ann(n1)，bn(n1)对一切正整数都成立． 7分

（Ⅱ）n≥1时，115．n≥2时，由（Ⅰ）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n．

a1b16121111a1b1a2b2a3b3an2bn2故11111(22)622334n(n1)11111111(22) 15分 622334nn11111(2)622n1115.1216分

综上，原不等式成立． 【KS5U答案】

y2x21. （I）（1）4（Ⅱ） Q(0,4).

（Ⅲ）存在满足题意的直线；k 【KS5U解析】

277957. 4